极值点偏移的典型例题

S'" WJ极值点偏移的问题(含答案)1.已知f(x)=lnx-ax,(a^常数)(D若函数f(x)在x=1处的切线与尤轴平行，求a的值;(2)当a=1时，试比较f(m)与f(上)的大小；m⑶f(x)有两个零点x,x，证明：x-x>e21 2 1 2变式：已知函数/(x)=lnx-ax2,a为常数。⑴讨论f(x)的单调性；(2)若有两个零点x,x，，试证明：x-x>e.1 2 1 22-顷⑴=x2+ax+sln哥,xg(0,1);若f(x)在定义域内单调递增，求a的取值范围；当a=-2时，记f(x)取得极小值为f(xy若f(x)=f(x),求证x+x2>2x0.已知f(x)=Inx-2ax2+x,(agR)(1)(2)若f(1)=0，求函数f((1)(2)令g(x)=f(x)-(ax-1),求函数g(x)的单调区间;(3)若a=-2,正实数x,x，满足(危)+f(x)+xx=0,证明:(3)1 2 1 2 12设a>0,函数f(x)=lnx-ax,g(x)=lnx- ~—x+1证明：当x>1时，g(x)>0恒成立；若函数f(x)无零点，求实数a的取值范围；若函数f(x)有两个相异零点x,x,求证：xx>e21 2 12

5.已矢f(x)=\x—2a|—alnx,常数aeR。(D求f(x)的单调区间；⑵f(x)有两个零点x,x，且x<x；1 2 1 2(i)指出a的取值范围，并说明理由；(ii)求证：xi•x2<8a36.设函数f(x)=ex—ax+a(aeR)，其图象与x轴交于A(x，0)，B(x，0)两点，且x<x.1 2 1 2求a的取值范围;(2)证明：f(/气x2)<0(f，(x)为函数(2)证明：f(3)设点C(3)设点C在函数j=f⑴的图象上，且△ABC为等腰直角三角形，记x—1f~7=t，求X—11(a—1)(t—1)的值.【解】(1)f,(x)=ex—a.若aW0，则f'(x)〉0，则函数f(x)是单调增函数，这与题设矛盾.所以a>0,令f'(x)=0，贝x=lna.当x<Ina时，f\x)<0，f⑴是单调减函数；x>Ina时，ff(x)>0，f⑴是单调增函数；于是当x=lna时，f⑴取得极小值.因为函数f(x)=ex-ax+a(aeR)的图象与x轴交于两点人料，0)，B(x2，0)(x1<x2)，所以f(Ina)=a(2—Ina)<0，即a>e2..此时，存在1<Ina，f(1)=e>0；存在3lna>Ina，f(3lna)=a3—3aIna+a>a3—3a2+a>0，又由f⑴在(-8,lna)及(lna，+8)上的单调性及曲线在R上不间断，可知a>e2为所求取值范围.(2)因为e气—ax+a=(2)因为ex2—ax+a=0，2(一)贝gf心e予—e%―ex1' 2 2g(s)=2s—(es—e—)，则g'(s)=2—(es+e—)<0，所以g(s)是单调减函数，则有g(则有g(s)<g(0)=0，L (x+x)而>0，所以fJ)<0.,又f'(x,又f'(x)=ex-o是单调增函数且工4〉21所以f(3)依题意有ex.一ax+a=0,则a(x-1)=ex(3)依题意有ex.一ax+a=0,于是e专=ag一1)(x2-1),在等腰三角形ABC中，显然C=90°,所以气,％e(x,x),即j=f(x)<0,TOC\o"1-5"\h\z2 1 2 0 0由直角三角形斜边的中线性质，可知司=-%，xx 气Ix〃/ 、 xxc所以J+2 1=0，即e2一牛(x+x)+a+ —1=0，0 2 21 2 2所以a^(x-1)(x-1)-a(x+x)+a+气气=0，1 2 2 1 2 2即aJ(气-1)(x2-1)一与[(气-1)+也-1)]+(x2一1)-(气一1)=0.因为x-1丰0因为x-1丰0，则a2+)+又广-2~7=t，所以at-a(1+12)+1(t2-1)=0，Vx-1 2 2即a=1+之，所以(a—1)(t—1)=2.t—17.已知函数f(x)=xcf(xeR)求函数f(x)的单调区间和极值；已知函数J=g(x)的图象与函数J=f(x)的图象关于直线x=1对称，证明当x〉1时，f(x)〉g(x)(Ill)如果尤2X，且f(x)=f(x)，证明x+x>21 2 1 2 1 2(I)解：f’(x)=f'(1-x)e-x令f’(x)=0，解得x=1当x变化时，f’(x),f(x)的变化情况如下表X(-8,1)1(1,+8)f’(x)+0-f(x)7极大值所以f(x)在(-8,1)内是增函数，在(1,+8)内是减函数。1函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=-e证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)ex-2令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=xe-x+(x—2)ex-2于是F'(x)=(x-1)(e2x-2-1)e-x当x>1时，2x-2>0,从而e2x-2-1>0,又e-x>0,所以F’(x)>0,从而函数F(x)在［1,+8)是增函数。又F(1)=e-1-e-1=0，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).I)证明：(1)若(x-1)(x-1)=0,由(I)及f(x)=f(x)，则x=x=1.与x2x矛盾。1 2 1 2 12 12(2)若(x-1)(x-1)>0,由(I)及f(x)=f(x),得x=x与x2x矛盾。1 2 1 2 12 12根据⑴(2)得(气-1)(气-1)<0,不妨设气V1,气〉1.由(II)可知，f(x)>g(x)，则g(x)=f(2-x),所以f(x)>f(2-x)，从而f(x)>TOC\o"1-5"\h\z2 2 2 2 2 2 1f(2-x2).因为气>1,所以2-气V1,又由(I)可知函数f(x)在区间(-8,1)内事增函数，所以尤>2-x，即x+x>2.1 2 1 28.已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x (12分)(I)讨论犬x)的单调性；(II)设】>0，证明：当0VxV1时，f(1+x)>f(1-x)；aa a若函数y=f(x)的图像与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明:gw1-x9.已知函数f(x)= ex.1+x2求f(x)的单调区间；证明：当f(x)=f(x)(x丰x)时，x+xV01 2 1 2 1 2解：(I)f'(x)=(T+1-xK(1+x2)-(1-x)心.2x=xex・-3-x2+2x(1+x2)2 (1+x2)2A=22-4-2V0.•.当xe(-3，0]时，f'(x)>0,j=f(x)单调递增;当x6[0,+8)时，广(x)<0,J=f(x)单调递减.所以，J=f(x)在在(-8,0]上单调递增；在xe[0,+8)上单调递减(II)由(I)知，只需要证明：当x>0时f(x)<f(-x)即可。1-x1+x e-xf(x)—f(-x)= ex— e-x= [(1—x)e2x—1—x]。1+x2 1+x2 1+x2令g(x)=(1-x)e2x-1-x,x>0ng'(x)=(1-2x)e2x-1令h(x)=(1-2x)e2x-1nh'(x)=(1-2x)e2x=-4xe2xv0,nj=人3)在(0,+8)上单调递减nh(x)<h(0)=0nj=g(x)在(0,+8)上单调递减ng(x)<g(0)=0e-xnj= ［(1-x)e2x-1-幻在(0,+3)上单调递减，但¥=0时j=0.1+x2nf(x)-f(-x)v0nf(x)vf(-x)所以，当'(x)=f(x)且¥。x时，x+xv0.1 2 1 2 1 210.已知函数f(x)=aInx一x2.当a=2时，求函数j=f(x)在g,2〕上的最大值；令g⑴=f(x)+ax，若j=g⑴在区间(0,3)上不单调，求a的取值范围；当a=2时，函数h⑴=f⑴-mx的图象与x轴交于两点A(x1，0),B(x2，0)，且0vx1vx2,又"(x)是h(x)的导函数.若正常数以，°满足条件以+OT，P-a.证明："(以x+Px)v0解(1) f,(x)=Z-2x=————,TOC\o"1-5"\h\zx x函数j=f(x)在［：,1］是增函数，在［1,2］是减函数， 3分所以f(x)max=f⑴=2ln1-12=-1. ……4分a 八(2)因为g(x)=alnx一x2+ax，所以g(x)= 2x+a， 5分x因为g(x)在区间(0,3)上不单调，所以g'(x)=0在(0，3)上有实数解，且无重根，，、一 2r2 1 9由g(x)=。，有a= =2(x+1+ )—4g(0,—)，(x£(0,3)) 6分x+1 x+1 2又当a=-8时，g'(x)=0有重根x=-2， 7分八9 八综上ag(0,二) ……8分2

2 一(3)Vh(x)= 2x一mx，又f(x) 2 一(3)Vh(x)= 2x一mx，又f(x)-mx=0有两个实根气,x2，2lnI】一x22lnx一x22一mx1=0一mx=0，2两式相减，得2(lnx-Inx)-(x2一x2)=m(x一x),1 2 1 2 1 2.2(lnX]-Inx2)x1一x2+%)，10分a%i+Px2-2(ax+Px)-冲气一1)%)+(x+x)1 2/ x一r 1 272-冲%)+(2a-1)(，2-气).四]+px2 x1-x2 2 111分P>a，二2a<1,.・.(2a-1)(x2-气)<0.要证：h'(ax1+Px2)<0，只需证:2一2(ln气—lnxJ<0ax1+Px2 x1-x2