2021版新高考数学：正弦定理、余弦定理含答案

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第六节正弦定理、余弦定理［考点要求］掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.（对应学生用书第82页）正弦、余弦定理在△ABC中，若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径，则定理正弦定理内容ab半径，则定理正弦定理内容abcsinAsinBsinC人余弦定理a2=b2+c2—2bc_cos_A；b2=c2+a2—2ca_cos_B；c2=a2+b2c2=a2+b2—2abcosCa=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；变形(2)a:b:c=sinA:sinB:sinC；b2+c2~a2cosA=2bFc2+a2—b2cosB=2ara+b+c⑶sinA+sinB+sinCsinA2R.a2+b2—c2cosC=20^2•三角形常用面积公式(1)S=ga・ha(ha表示边a上的咼);S=gabsinC=2ac_sin_B=2bc_sin_A；(3)S=gr(a+b+c)(r为内切圆半径).［常用结论］B.1.在△ABC中，A>BOa>bOsinA>B.三角形中的射影定理在△ABC中，a=bcosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=bcosA+acosB.内角和公式的变形sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=—cosC.)一、思考辨析(正确的打“V”，错误的打“X”)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()在AABC中，若sinA>sinB,则A>B.()在AABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()当b2+c2—a2>0时，AABC为锐角三角形；当b2+c2—a2=0时，AABC为直角三角形；当b2+c2—a2<0时，△ABC为钝角三角形.()［答案］⑴X⑵V⑶X⑷X二、教材改编nn1.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=g，B=4,a=1，则b=()B.1AB.1.nr,ab,八asinB4\/2、―匸、[由A=~•B得b=:A—2X2=、J2.]sinAsinBsinAn2sin62.在△ABC中，若a=18，b=24,A=45°，则此三角形有(A.无解B.两解C.一解D.解的个数不确定B[JbsinA—24sin45°—12\/2，・・・12\QV18V24,即bsinA<a<b.・•・此三角形有两解.]在△ABC中，acosA=bcosB,则这个三角形的形状为.等腰三角形或直角三角形[由正弦定理，得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A=n-2B,即A=B或A+B=n所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.]在△ABC中，A=60°,AC=4,BC=2\0，则△ABC的面积等于2勇I因为命60°=^，所以sinB=l，所以B=9°°，所以AB=2,所以S&b（=2x2X2翎=2翎.]（对应学生用书第82页）考点1利用正、余弦定理解三角形问题应用正弦、余弦定理的解题技巧解.⑴求边:利用公式a=bsinAasinB

解.⑴求边:利用公式a=bsinAasinB

sinA，c=asinC

sinA或其他相应变形公式求asinR(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sinA=—b—,sinR=bjilA,sinC=CJ^或其他相应变形公式求解.已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.灵活利用式子的特点转化：如出现a2+b2-c2=Aab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.

(l)(20xx・全国卷I)SRC的内角则c=()A,RA,R,C的对边分别为a,b,c,已矢口asinA_bsinR=4csinC,A.6B.5C.4D.3(2)(20xx・全国卷I^△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sinB~sinC)2=sin2A—sinBsinC.求A;若寸2a+b=2c，求sinC.(1)A[VasinA_bsinB=4csinC,由正弦定理得a2—b2=4c2,即a2=4c2+b2.「人、fb2+c2—a2b2+c2—(4c2+b2)—3c21b由余弦定理得cosA=2bc=2bc=—4・・・c故选A.](2)[解]①由已知得sin2B+sin2C—sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2—a2=bc.由余弦定理得cosA由余弦定理得cosA=b2+c2—a22bc因为0°VAV180°,所以A=60°.②由①知B=120°—C,由题设及正弦定理得寸2sinA+sin(120°—C)=2sinC,即乎+乎cosC+£sinC=2sinC,可得cos(C+60°)=—#.由于0°VCV120°,所以sin(C+60°)=故sinC=sin(C+60°—60°)=sin(C+60°)cos60°—cos(C+60°)sin60°_\/6+\;'2=解三角形问题，关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化，三角变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式，二倍角公式等，作为化简变形的重要依据.［教师备选例题］(20xx・天津高考)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bnsinA=acos(B—&)•(1)求角B的大小；⑵设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.ab［解］(1)在AABC中，由正弦定理荷=丽,可得bsinA=asinB,丄n又由bsinA=acos(B—g),n得asinB=acos(B—6),“n即sinB=cos(B—g),可得tanB=j3.n又因为Be(0,n,可得B=j.

n(2)在AABC中，由余弦定理及a=2,c=3,B=3,有b2=a2+c2—2accosB=7,故b=p7.由bsinA=acos(B-彳)，可得sinA=弓.2因为aVc,故cosA=.74\[3因此sin2A=2sinAcosA=1cos2A=2cos2A—1=7,所以，sin(2A—B)=sin2AcosB—cos2AsinB=7-x|—7^2^=14-.l.(20xx・全国卷II)^ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B=.3n~4[VbsinA+acosB=3n~4[VbsinA+acosB=0,.a*sinAbcosB由正弦定理,得—cosB=sinB,tanB=—1.又B$(0,n),・・・b=4.]72.在△ABC中，AB=4,AC=7,BC边上中线AD=2，则BC=9[设BD=DC=x,ZADC=a,ZADB=n—a,77在△ADC中，72=x2+g)2—2xX2cosa,①

77在AABD中，42=x2+(2)2—2xX2cos(n~a),②9①+②得x=2，BC=9.]3.(20xx・贵阳模拟)在△ABC中，内角A,B,C的对边a,b,c成公差为2的等差数列，C=120°.(1)求边长a；⑵求AB边上的高CD的长.［解］⑴由题意得b=a+2,c=a+4,由余弦定理cosC由余弦定理cosC=a2+b2—c22ab得cos120°a2cos120°a2+(a+2)2—(a+4)2absinZACB所以CD=3x5x乎j5羽7=14,2a(a+2)即a2—a—6=0,所以a=3或a=—2(舍去)，所以a=3.(2)法一：由(1)知a=3,b=5,c=7,由三角形的面积公式得|absinZACB=|cXCD,即AB边上的高CD=^^.法二：由法二：由(1)知a=3,b=5,c=7,即AB边上的高即AB边上的高CD=15羽14-3需=15需14=14，、、3由正弦定理得而人一sinZACB—sin120。'即sinA=A'^在Rt^ACD中，CD=ACsinA=5X考点2与三角形面积有关的问题三角形面积公式的应用原则对于面积公式S=£absinC=£acsinB=gbcsinA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinA+\/3cosA=0,a=2\；7,b=2.求c；［—题多解］设D为BC边上一点，且AD丄AC,求AABD的面积.2n［解］(1)由已知条件可得tanA=—AE(0,n,所以A=_J，在△ABC中,由余弦定理得28=中,由余弦定理得28=4+c2—4c2nCOS~3,即c2+2c—24=0,解得c=—6(舍去)，或c=4.又AABC的面积为1法二:由余弦定理得又AABC的面积为1法二:由余弦定理得cosC=在Rt^ACD中，cosC=ACCD，(2)法一：如图，由题设可得ZCAD=2,n所以ZBAD=ZBAC—ZCAD=6，1.n2AB^AD^sin石故AABD面积与AACD面积的比值为一j=1,|ac.adX4X2sinZBAC=2»,所以△ABD的面积为叮3.所以CD=戸,所以AD=冷3，DB=CD=\R,1所以SMBD=S,CD=2X2"7XsinC=的乂爲=母.n法三：n法三：/bad=6.由余弦定理得cosC=+7所以CD=戸,所以ad=、/3，所以^abd=2x4^,''3XsinZDAB=J3.(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解；(2)若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面积；(3)若求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可结合基本不等式求解.［教师备选例题］已知△ABC的面积为3百,AC=2石,BC=6,延长BC至D,使ZADC=45°.求AB的长；求AACD的面积.［解］⑴因为^abc=2x6X2\;'JXsinZACB=3所以sinZACB=g,乙ACB=30。或150°,又ZACB>ZADC,且ZADC=45°,所以ZACB=150°,在△ABC中，由余弦定理得AB2=12+36-2X2^3X6cos150°=84,所以AB=\:'84=2回(2)在AACD中，因为ZACB=150°,ZADC=45°,所以ZCAD=105°,由正弦定理得CDACsinZCADsinZADC'所以CD=3+\/3,又ZACD=180°-150°=30°,所以SmCD=2aC・CD・sinZACD=*X2讨'3X(3+讨'3)X1.(20xx•全国卷II)^ABC的内角nA,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=〒,则AABC的面积为兀6\f3［法一：因为a=2c,b=6,£=3,所以由余弦定理b2=a2+c2—2acyn‘cosB,得62=(2c)2+c2—2X2cXccos3,得c=2\'3,所以a=4\/3,所以△ABC的面积S=£acsinB=|x4\；3X2='3Xsinn法二：因为a=2c,b=6,B=3，所以由余弦定理b2=a2+c2—2accosB,得n62=(2c)2+c2—2X2cXccos3,得c=2p3,所以a=4j3,所以a2=b2+c2,所以n1——A=2，所以△ABC的面积S=2X2勇X6=6銅.］2.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.证明：A=2B；若AABC的面积S=a2，求角A的大小.［解］⑴证明：由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A—B).又A,Be(0,n),故OVA—BVn,所以B=n—(A—B)或B=A—B,因此A=n(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)由S=4,得fabsinC=^,B,—11故有sinBsinC=fsinA=fsin2B=B,由sinB工0,得sinC=cosB.n.又B,Ce(0,n).所以C=2土B.当b+c=2时，a=2；当c—b=2时，a=q.综上，a=2或a=4-考点3判断三角形的形状判断三角形形状的2种思路化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=n这个结论.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若bcosC+ccosB=asinA，则AABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定B［由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A，sin(B+C)=sin2A，即sin(n—A)=sin2A，sinA=sin2A.*.*A£(0，n)，・°・sinA>0，sinA=1,n即A=2，・••△ABC为直角三角形.]［母题探究］

1.（变条件）本例中，若将条件变为2sinAcosB=sinC,判断△ABC的形状.［解］*.*2sinAcosB=sinC=sin(A+B),・°・2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB,・°・sin(A—B)=0.又A,B为△ABC的内角.・A=B,・..AABC为等腰三角形.2.（变条件）本例中，若将条件变为a2+b2—c2=ab，且2cosAsinB=sinC,判断△ABC的形状.［解］°・［解］°・°a2+b2—c2=ab,・•cosC=a2+b2—c22ab12,n又OVCVn・C=3，又由2cosAsinB=sinC得sin(B—A)=0,・・A=B,