概率统计和随机过程第四章随机变量的函数的分布课件

内容复习问题：已知随机变量X的概率特性——分布函数或密度函数（分布律）Y=g(X)求

随机因变量Y

的概率特性方法：将与Y

有关的事件转化成X

的事件第四章随机变量的函数的分布1设随机变量X

的分布律为由已知函数g(x)可求出随机变量Y的所有可能取值，则Y

的概率分布为离散型随机变量函数的分布2已知随机变量

X

的密度函数f(x)(或分布函数)求Y=g(X)的密度函数或分布函数方法：（1）从分布函数出发（2）从密度函数出发

连续性随机变量函数的分布3特别地，若g(x)为单调函数，则y=g(x)xyx1其中x1=g

1(y)5定理1定理27当(X,Y)为离散型随机变量时，Z

也为离散型，离散型二维随机变量的函数9

设

X~B(n1,p),Y~B(n2,p),且X,Y相互独立，则X+Y~B(n1+n2,p)关于离散型随机变量的两个重要结论：

设

X~P(1),Y~P(2),且X,Y相互独立，则X+Y~P(1+2)

10问题：已知二维连续随机变量(X,Y)的概率特性

g(x,y)为已知的二元函数，Z=g(X,Y)求：Z的概率分布和密度函数连续型二维随机变量的函数当(X,Y)为连续型随机变量时，其中11问题：已知随机变量(X,Y)的密度函数，

Z=g(X,Y),g(x,y)已知.求：Z的密度函数方法：

从求Z的分布函数出发，将Z的分布函数转化为(X,Y)的事件

建立一个新的二维随机变量(Z,X)或(Z,Y),

求其边缘分布得Z的密度函数二维连续型随机变量函数的分布13(1)和的分布：Z=X+Y

设(X,Y)为连续型随机变量，联合密度函数为f(x,y),则•z•zx+y=z或14特别地，若X,Y相互独立，则或或称之为函数

fX

(z)与fY

(z)的卷积15z1z=xz-1=xx2117解法二从分布函数出发x+y=z当z<0时，1yx118x+y=z当0z<1时，1yx1•z•z191yx1x+y=z22当2

z时，21对于X,Y不相互独立的情形可同样的用直接求密度函数与通过分布函数求密度函数两种方法求和的分布例2

已知(X,Y)的联合密度函数为Z=X+Y,求fZ(z)解法一（图形定限法）由公式（1）最重要一步22zxz=xz=2xx=112当z<0或z>2,zzzz当0<z<1,当1<z<2,fZ

(z)=023解法二（不等式组定限法）考虑被积函数取非零值的区域由此不等式边边相等，解得z轴上的三个分界点0，1，2当或时不等式组无解当时不等式组解为当时不等式组解为2526另一种计算fZ(z)的方法:

先构造一个新的二维随机变量(Z,U),

它们是

(X,Y)的函数，而Z=aX+bY+c

求(Z,U)的联合密度函数f(z,u)

求边缘密度fZ(z)29设存在唯一的反函数：h,s有连续的偏导数，记则已知(X,Y)的联合密度fXY(x,y)求(Z,U)的联合密度函数fZU(z,u)的方法：30证31例3

已知(X,Y)的联合密度函数为Z=X+Y,求fZ(z)解法三令32uzz=uz=u+12z=2u11最重要一步33z=2u2uzz=u+134例4

已知(X,Y)的联合密度f(x,y)