创新设计（浙江专用）2023届高考数学二轮复习大题规范练星期五第二周综合限时练

星期五(综合限时练)2023年____月____日解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟)1.(本小题总分值14分)设数列{an}的前n项之积为Tn，且log2Tn＝eq\f(n〔n－1〕,2)，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝λan－1(n∈N*)，数列{bn}的前n项之和为Sn，假设对任意的n∈N*，总有Sn＋1＞Sn，求实数λ的取值范围.解(1)由log2Tn＝eq\f(n〔n－1〕,2)，n∈N*，得Tn＝2eq\f(n〔n－1〕,2)，所以Tn－1＝2eq\f(〔n－1〕〔n－2〕,2)(n∈N*，n≥2)，所以an＝eq\f(Tn,Tn－1)＝eq\f(2\f(n〔n－1〕,2),2\f(〔n－1〕〔n－2〕,2))＝2eq\f(n〔n－1〕,2)－eq\f(〔n－1〕〔n－2〕,2)＝2n－1，n∈N*，n≥2.又a1＝T1＝20＝1，适合上式，所以an＝2n－1，n∈N*.(2)由bn＝λan－1＝λ2n－1－1，得Sn＝λ·eq\f(1－2n,1－2)－n＝(2n－1)λ－n.所以Sn＋1＞Sn⇔(2n＋1－1)λ－(n＋1)＞(2n－1)λ－n⇔2nλ＞1⇔λ＞eq\f(1,2n).因为对任意的n∈N*，eq\f(1,2n)≤eq\f(1,2)，故所求的λ取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).2.(本小题总分值15分)如图，空间四边形ABCD在平面α上的射影是梯形FBCE，BC∥EF，BC⊥BF，BC＝2EF＝2AF＝4DE.又平面ABC与平面α所成的二面角的大小为45°.(1)求异面直线AB与CD所成角的大小；(2)设直线BD交平面AFC于点O，求比值eq\f(BO,OD).解(1)如图，以点F为原点，FB，FE，FA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.因为AF⊥平面FBCE，BC⊥BF，所以BC⊥AB，所以∠ABF就是平面ABC与平面α所成的二面角的平面角，所以∠ABF＝45°，从而|AF|＝|BF|.令|DE|＝a，那么|AF|＝|EF|＝|BF|＝2a，|BC|＝4a，A(0，0，2a)，B(2a，0，0)，C(2a，4a，0)，D(0，2a，a).所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2a，0，－2a)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－2a，－2a，a)，cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝eq\f(－4a2－2a2,2\r(2)a·3a)＝－eq\f(\r(2),2).所以〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝135°，故异面直线AB与CD所成角的大小为45°.(2)连接BE、CF交于点G，再连接OG.因为DE∥AF，DE⊄平面AFC，AF⊂平面AFC，所以DE∥平面AFC.又平面BDE∩平面AFC＝OG，所以OG∥DE，所以eq\f(BO,OD)＝eq\f(BG,GE).由△EFG∽△BCG，得eq\f(EG,BG)＝eq\f(EF,BC)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(BO,OD)＝eq\f(BG,GE)＝2.3.(本小题总分值15分)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.解(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院〞为事件A，那么P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(0,3)·Ceq\o\al(3,7),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(49,60).所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为eq\f(49,60).(2)随机变量X的所有可能值为0，1，2，3.P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,4)·Ceq\o\al(3－k,6),Ceq\o\al(3,10))(k＝0，1，2，3).所以随机变量X的分布列是X0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)随机变量X的数学期望E(X)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,30)＝eq\f(6,5).4.(本小题总分值15分)如图，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的上顶点为A，左顶点为B，F为右焦点，过F作平行于AB的直线交椭圆于C、D两点，作平行四边形OCED，点E恰在椭圆上.(1)求椭圆的离心率；(2)假设平行四边形OCED的面积为2eq\r(6)，求椭圆的方程.解(1)∵焦点为F(c，0)，AB的斜率为eq\f(b,a)，故直线CD的方程为y＝eq\f(b,a)(x－c).与椭圆方程联立后消去y得到2x2－2cx－b2＝0.∵CD的中点为Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，－\f(bc,2a)))，点Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(bc,a)))在椭圆上.∴将E的坐标代入椭圆方程并整理得2c2＝a2，∴离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).(2)由(1)知eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，b＝c，那么直线CD的方程为y＝eq\f(\r(2),2)(x－c)，与椭圆方程联立消去y得到2x2－2cx－c2＝0.∵平行四边形OCED的面积为S＝c|yC－yD|＝eq\f(\r(2),2)ceq\r(〔xC＋xD〕2－4xCxD)＝eq\f(\r(2),2)ceq\r(c2＋2c2)＝eq\f(\r(6),2)c2＝2eq\r(6)，所以c＝2，b＝2，a＝2eq\r(2).故椭圆方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.5.(本小题总分值15分)设函数f(x)＝eq\f(1,2)x2＋(2m－3)x＋lnx(m∈R).(1)讨论函数f(x)在定义域上的单调性；(2)假设对任意的x∈(1，2)，总有f(x)＜－2，求m的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x＋2m－3＋eq\f(1,x)＝eq\f(x2＋〔2m－3〕x＋1,x).令x2＋(2m－3)x＋1＝0，那么Δ＝(2m－3)2－4＝(2m－1)(2m－5).①当eq\f(1,2)≤m≤eq\f(5,2)时，Δ≤0，所以x2＋(2m－3)x＋1≥0，从而f′(x)≥0；②当m＞eq\f(5,2)时，因为x＞0，所以x2＋(2m－3)x＋1＞x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(5,2)－3))x＋1＝x2＋2x＋1＞0，所以f′(x)＞0；③当m＜eq\f(1,2)时，Δ＞0，方程x2＋(2m－3)x＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2(不妨设x1＜x2).因为x1＋x2＝3－2m＞3－2×eq\f(1,2)＝2＞0，x1x2＝1＞0，所以x1＞0，x2＞0，所以当x1＜x＜x2时，x2＋(2m－3)x＋1＜0，从而f′(x)＜0；当0＜x＜x1或x＞x2时，x2＋(2m－3)x＋1＞0，从而f′(x)＞0.综上可知，当m≥eq\f(1,2)时，函数f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递增；当m＜eq\f(1,2)时，函数f(x)在区间(0，x1)和(x2，＋∞)上单调递增，在区间(x1，x2)上单调递减，其中x1＝eq\f(3－2m－\r(〔2m－3〕2－4),2)，x2＝eq\f(3－2m＋\r(〔2m－3〕2－4),2).(2)法一由(1)知，当m≥eq\f(1,2)时，函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，所以f(x)＞f(1)＝eq\f(1,2)＋2m－3≥eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,2)－3＝－eq\f(3,2)＞－2，故f(x)＜－2不成立.当m＜eq\f(1,2)时，函数f(x)在区间(x1，x2)上单调递减，在区间(0，x1)和(x2，＋∞)上单调递增.由x1＞0，x2＞0，x1x2＝1，知0＜x1＜1＜x2，所以在区间[1，2]上，f(x)max＝max{f(1)，f(2)}.因为f(1)＝eq\f(1,2)＋2m－3＝2m－eq\f(5,2)，f(2)＝2＋2(2m－3)＋ln2＝4m－4＋ln2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m－\f(5,2)≤－2，,4m－4＋ln2≤2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≤\f(1,4)，,m≤\f(2－ln2,4).))而eq\f(1,4)－eq\f(2－ln2,4)＝eq\f(ln2－1,4)＜0，所以m≤eq\f(1,4).故实数m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4))).法二f(x)＜－2，即eq\f(1,2)x2＋(2m－3)x＋lnx＜－2.在区间(1，2)上，eq\f(1,2)x2＋(2m－3)x＋lnx＜－2⇔2m－3＜－eq\f(\f(1,2)x2＋lnx＋2,x)＝－eq\f(1,2)x－eq\f(lnx＋2,x).令g(x)＝－eq\f(1,2)x－eq\f(lnx＋2,x)，x∈(1，2)，那么g′(x)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1－〔lnx＋2〕,x2)＝eq\f(－x2＋2lnx＋2,2x2).令h(x)＝－x2＋2lnx＋2，x∈(1，2)，那么h′(x)＝－2x＋eq\f(2,x)＝eq\f(2〔1－x2〕,x)＜0，所以函数h(x)在区间(1，2)上单调递减.因为h(1)＝1＞0，h(2)＝2ln2－2＜0，所以存在唯一的x0∈(1，2)，使得h(x0)＝0，且当x∈(1，x0)时，h(x)＞0，即g′(x)＞0；当x∈(x0，2)时，h(x)＜0，即g′(x)＜0.所以函数g(x)在区间(1，x0)上单调递增，在区间(x0，2)上单调递减，因此在[1，2]上，g(x)min＝min{g(1)，g(2)}.因为g(1)＝－eq