高等代数期中考试试题

高等代数期中考试试题一.填空题（每小题4分，共40分）。i.设。是耳封」上的线性变换，呐（分《月工卜则晶凡4的基1天H下的矩阵为M伍—ATOC\o"1-5"\h\z2 1 a= |2.设G正线的线性变换，㈤["*"其中R是实数域，则。像集合Imtr二 战的集合Err。二 ? ・3,已知胪中线性变换5在基％=（-嗔>功!=gT）跖=（QJ』下的010P1 10r矩阵为I121则5在基、=映"*他"1g=电岫下的矩阵为「12方><=2124.已知矩阵I221A则A的特征位为4=-1，%=5对应4-为的特征向量分别为,，;.5.已知矩阵可对角化，则5.已知矩阵6.已知三级矩阵A的三个特征值为1,2,3,则d，■刘的行列式31 ，a+u3i.已知矩阵A的特征矩阵2后一人与矩阵〔 昊一叶等价，则比―/的标准形及A的Jordan标准形分别为 ,.2.已知矩阵A的Jordan标准形为［1刃，则A的有理标准形为.设的特征多项式为，所。-炉（臭-为，写出a的所有可能的Jordan标准形。.设矩阵a的特征多项式为,则a可逆，G的特征多项式为0.（10分）设V是数域P上的4维线性空间，*是V上的线性变换，5在基「12000100A-1310片遇*与,立下的矩阵 口42 试求5含片的最小不变子空间..（10分）设仃是n维线性空间V上的线性变换，证明：维⑻+维h3、即，◎的秩+”的零度=n

「-1—26、>1=-103.（15分）求矩阵 -'"J的Jordan标准形及A的最小多项式。.（15分）设3维线性空间V上线性变换叮在基4々*右下的矩阵2乂=1 丈记L（V）为V上线性变换全体，C◎二防轲二匹神卬3）.1）证明：1c㈤是L（V）的子空间；2）求°”）的-组基和维数..（10分）设A,B为n级实矩阵，证明：若A,B在复数域上相似，则A,B在实数域上也相似。参考答案一.填空题（每小题4分，共40分）。1.设B是耳4上的线性变换，"切='（h+D-3垃**,®1r002则旌纣耳3的基1，工丁下的矩阵为1°°口」37 0=尸］2.设•的线性变换，电1 其中R是实数域，则of象集合bttb=用的集合Kero-{0} , ・3,已知无3中线性变换b在基%=（一皿防=gT）两=（°网下的

rl0f1 10r下的矩阵为矩阵为U工U则5在基\=改”*他1e0=8加下的矩阵为11-2220302q21>A=212.已知矩阵 82，、则A的特征值为4=-1,/=5对应的特征向量分别为、(一116K-1°D,%，占不同时为零且5DQ1方4#04eP ' 5 > :「2-5rd=1-41.已知矩阵I"°”可对角化，则k=1.已知三级矩阵A的三个特征值为1,2,3,则d)♦名的行列式100rA-la+u27.已知矩阵7.已知矩阵A的特征矩阵猛一金与矩阵"引等价，则题T的标准形及A的Jordan标准形分别为Cl+^(2-I)C2-2)

8.已知矩阵A的Jordan标准形为〔1刃，则A的有理标准形为。 410T.设d的特征多项式为，所-3，写出A的所有可能的Jordan标,1'11,1准形〔叭刃。.设矩阵A的特征多项式为，⑷U-W6,则人可逆，》的特征多项式为66。二.(10分)设V是数域P上的4维线性空间，”是V上的线性变换，修在基20010100片通下的矩阵 242 ,试求0含G的最小不变子空间<1200?0100解：由题意可知 v ,设仃含片的最小不变子空间.为W,则因为W是B-不变子空间，则服JwJF由63—可知'=82-。即。E了所以8G)w所由g)=.十%,可知物即q/,而“g=与所以。

“A。再由用的最小性可知犷u4金Q9）,因此犷二无色玛Q,证毕。.（10分）设0■是n维线性空间V上的线性变换，证明：维W）+维btro，即，0的秩+”的零度=n证明：见书中定理。7-2。4二-103.（15分）求矩阵【T-1”的Jordan标准形及A的最小多项式「2+12-6「2+12-6、• ▲ -3T的 ,11工一七解 ， ,勺2 -3 、T0 1-1 2一1也2-^1+1）F+3GI+D,「1 0 <f0 2一1 （「1 2-3、11-4\o"CurrentDocument"-6H0 0、T0 2一1 A-1[o(%+以2-D豆一3」\1co0\ ->0卫一10@北且一D30一9一（且■为0-DJk。0（2—00—工一冷）「10 。'f02-1 0Joa-Dl所以A的不变因子为2—1,（’0。A的初等因子为N-1,（ND。所以矢g阵A的Jordan「100、010*1标准形为ILA的最小多项式是A的最后一个不变因子，所以既"1=。-@是A的最小多项式。.（15分）设3维线性空间V上线性变换5在基、/工产学下的矩阵

到，记L(V)为V上线性变换全体，。◎二防中二匹神卬9).1)证明：1c㈤是L(V)的子空间；2)求的-组基和维数.证明：1)0EC⑷v外科WC(0即％二辑"啰=咿0山，6加十皿=时3味=W?密二%47鸣R二蚓电wCfrr)所以C(G的子空间。3)设中毛以6在入马两下的矩阵为B,则AB=BA。C⑺的维数是3C⑺的维数是3.(10分)设A,B为n级实矩阵