2021高一数学第二册教学设计 6.2.4 向量的数量积 第2课时 向量的向量积

.2.4向量的数量积

第2课时向量的向量积教材分新本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节内容教材共分为两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数量积的运算律,本节课是第二课时，本节课主要学习平面向量的数量积的运算律及其运用。向量的数量积是继向量的线性运算（加法、减法、向量的数乘）后的又一种新的运算,它的内容很丰富。包括定义、几何意义、性质与运算律,而且在物理和几何中具有广泛的应用。向量数量积是代数、几何与三角的结合点,很好地体现了数形结合的数学思想。但它与向量的线性运算有着本质的区别,运算结果是一个数量。教学目标与祓心盍养」课程目标学科素养掌握数量积的运算律；利用数量积的运算律进行化简、求值；1•数学抽象：数量积的运算律；2•逻辑推理：证明数量积的运算律；3•数学运算：运用数量积的运算律求值；教学重难点教学重点：数量积的运算律；教学难点：利用数量积的运算律化简、求值。课前准备多媒体教学过程

教学过程教学设计意图核心素养目标一、复习回顾，温故知新1•向量的数乘的运算律【答案】设a、b为任意向量，九、卩为任意实数，则有：・（1）九（卩a）=（九R）a（2）（九+卩）a二九a+卩a（3）九（a+b）=Xa+Ab2.平面向量的数量积定义：a-b=1aIIb1cos0平面向量的数量积的结果是数量。二、探索新知1•平面向量数量积的运算律探究：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？平面向量数量积的运算律通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。通过探究，让学生证明，讲解向量数量积的运算律，提高学生的解决问题、分—r—r—■—r-——v—r—r因为(九a)-b=I九aIIbIcosO=11aIIbIcosO=X(a-b),—■—*■—»—■-―■—■所以，(1a)-b=1(a-b)=a-(kb)。畛p-(1)因为a-b=1aIIbIcosB,b-a=1bIIaIcosB所以，a-b=b-a。(2)当九〉0时，九a与b的夹角、与b的夹角一样。(kb)=IaII1bIcosO=11aIIbIcosO=1(a-b)同理，当1<0时,(1a)-b=1(a-b)=-(1b)成立。「■i■。与期井别为爲-氏它门的｛握u匕的樹色茴最扌卜别为⑷通过思考，让学生明白向量数量积不满足结合律，提高学生解决问题的能力。通过例题进一步巩固向量数量积的运算律，提高学生运用所学知识解决问题的能力。通过思考，让学生明白向量数量积不满足结合律，提高学生解决问题的能力。通过例题进一步巩固向量数量积的运算律，提高学生运用所学知识解决问题的能力。uj』丄bIMS0*—16|oomf+IHB皤.(ff—iMS心一aC05?：-frcui(JiDr-Dififk£A：—4PMS—n<nsfl：—itcc^hi9-—6*fl—fCO1-?=V卯E—由CQ'J.,蚯比■D■■&'c:msP=4Tr405^.-C05fljLI耳垃tafr>-d-=d-L七-匕思考：设a,b,c是向量，(a-b)-c=a-(b-c)一定成立吗？为什么？【答案】(a-b)-c表示与一个与c共线的向量，«■千f■而a•(b•c)表示一个与a共线的向量，但a与c不一定共线。—■—fe-—w—b-—fc>f所以(a-b)-c丰a-(b-c)。结论：向量数量积不满足结合律。例1.对任意a,beR，恒有(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)(a-b)=a2-b2,对任意向量a,b，是否也有下面类似的结—►T—*—►-*-*■ff—-9-—•论？(1)(a+b)2=a+2a•b+b；(2)(a+b)(a—b)=a—b。【解析】―f--I-—*—B--is--I-—I->—I-—*-I-—*>—I-—*f仃)(a+b)2=(a+b)(a+b)=a-a+a-b+b-a+b-b=a2+2a-b+b2(2)(a+b)(a—b)=a-a—a-b+b-a—b-b—*■f272=a—b例2.已知a=6,b=4,夹角0=600,求(a+2b)-(a-3b)

解：原式=a-a-3a-b+2b-a-6b-bf■■=1a|2-a-b-61bI2CH+1=1aI2-1aIIb1cos0-61bI2=62-6x4xcos60。-6x42=-72例3.已知ia1=3,1b1=4,且a与b不共线，当k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直？解：a+kb与a-kb互相垂直的充要条件是(a+kb)-(a-kb)=0，即a2—k2b2=0，因为a2=32=9,b2=42=16。3所以9-16k2=0，解得k=±丁。4—亠_i_—也就是说，当k=±—时，向量a+kb与a-kb互相垂直。4三、达标检测1.给出下列判断：①若位+力2=0,则a=b=0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a+b=0,贝y|ac|=|b・c|；③a,b共线0ab=|a||b|；④|a||b|<ab；⑤aaa=|a|3；⑥a2+b2±2a・b；⑦向量a，b满足：ab>0,则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为0,则|b|cos。表示向量b在向量a方向上的投影长.其中正确的是：【解析】由于a2±0,b2±0,所以，若«2+b2=0,则a=b=0,故①正确；若a+b=0,则a=_b,又a,b,c是三个非零向量，所以a-c=—bc,所以|a・c|=|b・c|，②正确;a,b共线oa-b=±\a\\b\,所以③不正确；对于④应有|a||b|2a・b;对于⑤，应该是aaa=|a|2a；⑥a2+b2±2|a||b|22a・b,故正确；通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

当a与b的夹角为0时，也有ab>0,因此⑦错；【答案】①②⑥2•若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为【解】设a与b夹角为0,因为|a|=3|b|,所以|a|2=9|b|2,又|a|=|a+2b|,所以|a\2=\a\2^4\b\2^4ab=|a|2+4|b|2+4|a||b|•cose=13|b|2+12|b|2cose,即9|b|2=13|b|2+12|b|2cose,故有cose=-|.【答案】-13.已知|a|=3,|b|=2，向量a,b的夹角为60°,c=3a+5b,d=ma-3b，求当m为何值时，c与d垂直？【解析】由已知得ab=3X2Xcos60°=3.由c丄d,知cd=0,即cd=(3a+5b)(ma-3b)=3ma2+(5m—9)ab-15b2=27m+3(5m—9)—60=42m—87=0,通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力，提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。.•.m=14，即m=14时，c与d垂直.通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力，提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。四、小结1.理解数量积的定义；2•向量数量积的运算律；五、作业习题6.211(1),18题教学反思在整个探求过程中,充分利用“旧知识”及“旧知识形成过程”并利用它探求新知识。这样的过程,既是学生获得新知识的过程,更是培养学生能力的过程。我感觉不足的有:(1)教师应该如何准确的提出问题在教学中,教师提出的问题要具体、准确,而不应该模棱两可。(2)教师如何把握“收”与“放”的问题何时放手让学生思考,何时教师引导学生,何时教师