（湖南专版）2023年中考数学复习提分专练04二次函数小综合1

〔湖南专版〕2022年中考数学复习提分专练04二次函数小综合1PAGEPAGE14提分专练(四)二次函数小综合|类型1|二次函数与其他函数的综合1.[2022·烟台]如图T4-1,顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-1,0),B两点,与y轴交于点C,过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D,作DE⊥x轴,垂足为点E.双曲线y=6x(x>0)经过点D,连接MD,(1)求抛物线的表达式.(2)点N,F分别是x轴,y轴上的两点,当以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小时,求出点N,F的坐标;(3)动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动,运动时间为t秒,当t为何值时,∠BPD的度数最大?(请直接写出结果)图T4-1|类型2|二次函数与几何图形综合2.[2022·攀枝花改编]如图T4-2,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式,并求A点的坐标.(2)点P在x轴下方的抛物线上,过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E,与y轴交于点F,求证:△CFE是等腰直角三角形.图T4-23.[2022·遵义]如图T4-3,抛物线C1:y=x2-2x与抛物线C2:y=ax2+bx开口大小相同,方向相反,它们相交于O,C两点,且分别与x轴的正半轴交于点B,点A,OA=2OB.(1)求抛物线C2的解析式.(2)在抛物线C2的对称轴上是否存在点P,使PA+PC的值最小?假设存在,求出点P的坐标,假设不存在,说明理由.(3)M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点,连接MO,MC,M运动到什么位置时,△MOC的面积最大?并求出最大面积.图T4-34.[2022·长沙]如图T4-4,抛物线y=ax2+6ax(a为常数,a>0)与x轴交于O,A两点,点B为抛物线的顶点,点D的坐标为(t,0)(-3<t<0),连接BD并延长与过O,A,B三点的☉P相交于点C.(1)求点A的坐标;(2)过点C作☉P的切线CE交x轴于点E.①如图①,求证:CE=DE;②如图②,连接AC,BE,BO,当a=33,∠CAE=∠OBE时,求1OD-1图T4-4【参考答案】1.[解析](1)利用反比例函数的性质,可知矩形OEDC的面积为6,利用抛物线的表达式可以求出点C的坐标,从而得到OC的长,利用矩形OEDC的面积可以求出CD的长,进而确定点D的坐标,将点D和点A的坐标代入抛物线的表达式,就可以求出抛物线的表达式中的待定系数的值,从而得到抛物线的表达式;(2)利用轴对称的性质和两点之间线段最短,作点D关于x轴的对称点H,作点M关于y轴的对称点I,连接HI,交x轴于点N,交y轴于点F,此时以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小,利用一次函数,可以求出点N,F的坐标;(3)利用圆周角的性质,可以知道,当以BD为弦的圆与直线OC相切时∠BPD的度数最大,利用圆心到切点的距离等于半径,列方程即可求出t的值.解:(1)当x=0时,y=3,∴C(0,3),OC=3,∵CD⊥y轴,DE⊥x轴,CO⊥EO,∴四边形OEDC为矩形.又∵双曲线y=6x(x>0)经过点D∴S矩形OEDC=6,∴CD=S矩形OEDC∴D(2,3).将点A(-1,0),D(2,3)的坐标代入抛物线y=ax2+bx+3得a-b∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.(2)作点D关于x轴的对称点H,作点M关于y轴的对称点I,如图,由轴对称的性质可知FM=FI,ND=NH,∴四边形MDNF的周长=MD+DN+FN+FM=MD+NH+FN+FI,∵MD是定值,∴当NH+FN+FI最小时,四边形MDNF的周长最小.∵两点之间线段最短,∴当I,F,N,H在同一条直线上时,NH+FN+FI最小.∴当I,F,N,H在同一条直线上时,四边形MDNF的周长最小.连接HI,交x轴于点N,交y轴于点F,∵抛物线的表达式为y=-x2+2x+3,∴点M的坐标为(1,4),由轴对称的性质可得,I(-1,4),H(2,-3),设直线HI的表达式为y=mx+n,代入点I,H的坐标,得-解得m∴直线HI的表达式为y=-73x+5当x=0时,y=53当y=0时,0=-73x+5∴x=57,∴F0,53,N57,0,∴当以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小时,F0,53,N57,0.(3)9-215.[分析]拓展:如图,A,B之间的距离是定值,直线CD是一条固定的直线,点P在直线CD上运动,由下列图可以看出,只有当过A,B的圆与直线CD相切,P为切点时,∠APB最大.回归此题:过点B,D作☉T,且使☉T与直线OC相切,切点为P,此时∠BPD的度数最大,由,可得OP=t,P(0,t),∵直线OC与☉T相切,∴TP⊥OC,∴直线PT的解析式为y=t.∵抛物线的表达式为y=-x2+2x+3,∴点B的坐标为(3,0).∵点B(3,0),点D(2,3),∴可以求得直线BD的垂直平分线的解析式为y=13x+2联立y=t与y=13x+23,得x=3t-2,∴T(3t-2,t),∵PT=TB,∴3t-2=(3解得t=9-215或t=9+215(舍去),∴当t=9-215时,∠BPD的度数最大.2.解:(1)由题意得:32+3∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3.令y=0,得x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3,∴A(1,0).(2)证明:由题意知OB=OC,∴∠OCB=45°,∵F,E在直线y=x+m上,∴∠CFE=45°,∠CEF=90°,∴在△CFE中,∠BCO=∠CFE=45°,∴△CFE为等腰直角三角形.3.解:(1)∵抛物线C1:y=x2-2x与抛物线C2:y=ax2+bx开口大小相同,方向相反,∴a=-1,∵抛物线C1与x轴交于点B,∴B(2,0),∵OA=2OB,∴A(4,0),∵抛物线C2:y=ax2+bx过点A,∴0=-16+4b,∴b=4,∴抛物线C2的解析式为y=-x2+4x.(2)存在.解方程组y=x∴C(3,3),∵A(4,0),∴A关于对称轴直线x=2的对称点为O(0,0),直线OC与对称轴交于点P,此时PA+PC最小.设直线OC:y=kx,∴3=3k,∴k=1,∴直线OC:y=x,当x=2时,y=2,∴P(2,2).(3)如图,设M(m,-m2+4m),作MN∥y轴交线段OC于点N,那么N(m,m),∴MN=-m2+3m,∴S△MOC=12×(3-0)×MN=12×3×(-m2+3m)=-32m2+92m=-32m-32当m=32时,此时M(32,154),S△MOC最大=278,∴M运动到M(32,1544.解:(1)令ax2+6ax=0,∴ax(x+6)=0,∴x1=0,x2=-6.∴A(-6,0).(2)①连接PC,连接PB延长交x轴于点M,∵☉P过O,A,B三点,B为抛物线顶点,∴PM⊥OA,∠PBC+∠BDM=90°,又∵PC=PB,∴∠PCB=∠PBC,∵CE为切线,∴∠PCB+∠ECD=90°,∴∠BDM=∠ECD,又∵∠BDM=∠C