（江苏专用）2023版高考数学三轮复习小题专题练（三）数列文苏教版

〔江苏专用〕2022版高考数学三轮复习小题专题练〔三〕数列文苏教版PAGE12-小题专题练(三)数列(建议用时：50分钟)1．(2022·南京模拟)数列1，eq\r(2)，eq\r(3)，2，…的一个通项公式为an＝________.2．设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有4Sn＝aeq\o\al(2,n)＋2an，其中Sn为数列{an}的前n项和，那么数列{an}的通项公式为an＝________．3．数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋eq\f(1,2)(n≥2)，那么数列{an}的前9项和等于________．4．(2022·常州模拟)等比数列{an}中，前n项和为Sn，a1a9＝2a3a6，S5＝－62，那么a1的值为________．5．函数f(x)＝eq\f(2x＋3,3x)，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，n∈N*，那么数列{an}的通项公式为an＝____________．6．(2022·淮安模拟)设数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和．假设aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＝aeq\o\al(2,3)＋aeq\o\al(2,4)，S5＝5，那么a7的值是________．7．数列{an}满足a1＝2，且an＝eq\f(2nan－1,an－1＋n－1)(n≥2，n∈N*)，那么an＝________．8．数列{an}的通项公式为an＝－n2＋12n－32，其前n项和为Sn，那么对任意m，n∈N*(m<n),Sn－Sm的最大值为________．9．(2022·镇江调研)观察以下等式23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，53＝21＋23＋25＋27＋29，…假设类似上面各式写法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是109，那么正整数m等于________．10．(2022·徐州质检)在如下图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么a＋b＋c的值为________.120.51abc11.(2022·徐州模拟)数列{an}满足log2an＋1＝1＋log2an(n∈N*)，且a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1，那么log2(a101＋a102＋…＋a110)＝____________．12．(2022·苏州模拟)在数列{an}中，a1＝5，(an＋1－2)·(an－2)＝3(n∈N*)，那么该数列的前2016项的和是________．13．(2022·南京模拟)数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn＝anan＋1an＋2(n∈N*)，设Sn为数列{bn}的前n项和．假设a12＝eq\f(3,8)a5＞0，那么当Sn取得最大值时n的值等于________．14．数列{an}的通项为an＝3n，记数列{an}的前n项和为Tn，假设对任意的n∈N*，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Tn＋\f(3,2)))k≥3n－6恒成立，那么实数k的取值范围是________．小题专题练(三)1．解析：因为数列1,eq\r(2)，eq\r(3)，2，…可看做eq\r(1)，eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(4)，…，eq\r(n)，因此该数列的一个通项公式为an＝eq\r(n).答案：eq\r(n)2．解析：当n＝1时，4a1＝aeq\o\al(2,1)＋2a1，所以a1(a1－2)＝0，因为an＞0，所以a1＝2.当n≥2时，4Sn＝aeq\o\al(2,n)＋2an，4Sn－1＝aeq\o\al(2,n－1)＋2an－1，两式相减得4an＝aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＋2an－2an－1，即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，因为an＞0，所以an－an－1＝2，故an＝2n.答案：2n3．解析：由a1＝1，an＝an－1＋eq\f(1,2)(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为eq\f(1,2)的等差数列，故S9＝9a1＋eq\f(9×〔9－1〕,2)×eq\f(1,2)＝9＋18＝27.答案：274．解析：由等比数列的性质及题意知a1a9＝a3a7＝2a3a6，所以q＝eq\f(a7,a6)＝2，由S5＝eq\f(a1〔1－25〕,1－2)＝－62，可得a1＝－2.答案：－25．解析：依题意可得an＋1＝eq\f(2＋3an,3)，那么有an＋1＝an＋eq\f(2,3)，故数列{an}是以1为首项，eq\f(2,3)为公差的等差数列，那么an＝1＋(n－1)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)n＋eq\f(1,3).答案：eq\f(2,3)n＋eq\f(1,3)6．解析：法一：设数列{an}的公差为d.由aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＝aeq\o\al(2,3)＋aeq\o\al(2,4)得aeq\o\al(2,1)＋(a1＋d)2＝(a1＋2d)2＋(a1＋3d)2，即8a1d＋12d2＝0.因为d≠0，所以a1＝－eq\f(3,2)d.又由S5＝5a3＝5得a3＝1，所以a1＋2d＝1，解得a1＝－3，d＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－5，故a7＝2×7－5＝9.法二：因为aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＝aeq\o\al(2,3)＋aeq\o\al(2,4)，所以aeq\o\al(2,2)－aeq\o\al(2,3)＝aeq\o\al(2,4)－aeq\o\al(2,1)，即(a2－a3)(a2＋a3)＝(a4－a1)(a4＋a1)．因为{an}是公差不为零的等差数列，所以a2＋a3＝a4＋a1＝0.由S5＝5a3＝5得a3＝1，所以a2＝－1.由eq\f(a7－a3,7－3)＝eq\f(a3－a2,3－2)得a7＝9.答案：97．解析：由an＝eq\f(2nan－1,an－1＋n－1)，得eq\f(n,an)＝eq\f(n－1,2an－1)＋eq\f(1,2)，于是eq\f(n,an)－1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,an－1)－1))(n≥2，n∈N*)．又eq\f(1,a1)－1＝－eq\f(1,2)，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n,an)－1))是以－eq\f(1,2)为首项，eq\f(1,2)为公比的等比数列，故eq\f(n,an)－1＝－eq\f(1,2n)，所以an＝eq\f(n·2n,2n－1)(n∈N*)．答案：eq\f(n·2n,2n－1)8．解析：由an＝－n2＋12n－32＝0，得n＝4或n＝8，即a4＝a8＝0.又函数f(x)＝－x2＋12x－32的图象开口向下，所以数列的前3项均为负数，当n>8时，数列中的项均为负数．在m<n的情况下，Sn－Sm的最大值为S7－S4＝a5＋a6＋a7＝－52＋12×5－32－62＋12×6－32－72＋12×7－32＝10.答案：109．解析：依题意可得m3分拆得到的等式右边最后一个数5，11，19，29，所以第n项的通项为an＝5＋(n＋4)(n－1)，n∈N*.所以5＋(n＋4)·(n－1)＝109，所以n＝9.所以m＝10.答案：1010．解析：由题意有：每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，所以a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(3,8)，c＝eq\f(1,4).所以a＋b＋c＝eq\f(9,8).答案：eq\f(9,8)11．解析：因为log2an＋1＝1＋log2an，可得log2an＋1＝log22an，所以an＋1＝2an，所以数列{an}是以a1为首项，2为公比的等比数列，又a1＋a2＋…＋a10＝1，所以a101＋a102＋…＋a110＝(a1＋a2＋…＋a10)×2100＝2100，所以log2(a101＋a102＋…＋a110)＝log22100＝100.答案：10012．解析：依题意得(an＋1－2)(an－2)＝3，(an＋2－2)·(an＋1－2)＝3，因此an＋2－2＝an－2，即an＋2＝an，所以数列{an}是以2为周期的数列．又a1＝5，因此(a2－2)(a1－2)＝3(a2－2)＝3，故a2＝3，a1＋a2＝8.注意到2016＝2×1008，因此该数列的前2016项的和等于1008·(a1＋a2)＝8064.答案：806413．解析：设等差数列{an}的公差为d，由a12＝eq\f(3,8)a5＞0得a1＝－eq\f(76,5)d，d<0，所以an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(81,5)))d，从而可知1≤n≤16时，an＞0,n≥17时，an＜0.从而b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18＞…，b15＝a15a16a17＜0，b16＝a16a17a18＞0，故S14＞S13＞…＞S1，S14＞S15，S15＜S16.因为a15＝－eq\f(6,5)d＞0，a18＝eq\f(9,5)d＜0，所以a15＋a18＝－eq\f(6,5)d＋eq\f(9,5)d＝eq\f(3,5)d＜0，所以S16－S14＝b16＋b15＝a16a17(a18＋a15)>0.所以S16>S14，故有Sn≤S16，故Sn取得最大值时n的值等于16.答案：1614．解析：Tn＝eq\f(3〔1－3n〕,1－3)＝－eq\f(3,2)＋eq\f(3n＋1,2)，所以Tn＋eq\f(3,2)＝eq\f(3n＋1,2)，那么k≥eq\f(〔3n－6〕×2,3n＋1)＝eq\f