2023版高考数学考点40圆锥曲线中的范围与最值问题试题解读与变式

考点40圆锥曲线中的范围与最值问题【考纲要求】应从“数〞与“形〞两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值．【命题规律】圆锥曲线中的范围与最值问题在选择题、填空题以及解答题中都会考查，在解答题中出现时难度较大.【典型高考试题变式】〔一〕离心率的范围例1.【2023课标卷】假设，那么双曲线的离心率的取值范围是〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意，因为，所以，那么，应选C.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.【变式1】【2023湖南长沙市月考】设是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，假设(c为半焦距)，那么双曲线的离心率为〔〕A．B．C．2D．【答案】D【解析】由题意得，是直角三角形，由勾股定理得，∴，∴，∵，∴．应选D．【变式2】椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)，假设椭圆上存在点P使eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)，那么该椭圆离心率的取值范围为()A．(0，eq\r(2)－1)B.C.D．(eq\r(2)－1,1)【答案】D【解析】根据正弦定理得eq\f(|PF2|,sin∠PF1F2)＝eq\f(|PF1|,sin∠PF2F1)，所以由eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)可得eq\f(a,|PF2|)＝eq\f(c,|PF1|)，即eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(c,a)＝e，所以|PF1|＝e|PF2|，又|PF1|＋|PF2|＝e|PF2|＋|PF2|＝|PF2|·(e＋1)＝2a，那么|PF2|＝eq\f(2a,e＋1)，因为a－c<|PF2|<a＋c(不等式两边不能取等号，否那么分式中的分母为0，无意义)，所以a－c<eq\f(2a,e＋1)<a＋c，即1－eq\f(c,a)<eq\f(2,e＋1)<1＋eq\f(c,a)，所以1－e<eq\f(2,e＋1)<1＋e，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－e1＋e<2，,2<1＋e2，))解得eq\r(2)－1<e<1.〔二〕参数的范围例2.【2023课标卷】设A、B是椭圆C：长轴的两个端点，假设C上存在点M满足∠AMB=120°，那么m的取值范围是〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】当，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，那么，即，得；当，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，那么，即，得，故的取值范围为，选A．【名师点睛】此题设置的是一道以椭圆的知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定的关系，求解时充分借助题设条件转化为，这是简化此题求解过程的一个重要措施，同时此题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．【变式1】【2023江苏卷】在平面直角坐标系中,点在圆上,假设那么点的横坐标的取值范围是.【答案】【解析】设，由，易得，由，可得或，由得点在圆左边弧上，结合限制条件，可得点横坐标的取值范围为.【变式2】【2023新课标卷】方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,那么n的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】表示双曲线,那么∴,由双曲线性质知：,其中是半焦距∴焦距,解得,∴,应选A．【变式2】椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是〔〕A．[eq\f(1,2)，eq\f(3,4)]B．[eq\f(3,8)，eq\f(3,4)]C．[eq\f(1,2)，1]D．[eq\f(3,4)，1]【答案】B【解析】由椭圆的标准方程，求出左右顶点分别为，设，那么……①；而，那么，将①式代入得，，，解得，应选B.〔三〕最值例3.【2023课标卷】F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，那么|AB|+|DE|的最小值为〔〕A．16 B．14 C．12 D．10【答案】A【解析】设倾斜角为．作垂直准线，垂直轴，易知，所以，同理，，所以.又与垂直，即的倾斜角为，.而，即．所以，当取等号，即最小值为.应选A.【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式、韦达定理是通法，需要重点掌握.考查到最值问题时要能想到用函数方法进行解决和根本不等式.【变式1】【2023年四川卷】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,那么直线OM的斜率的最大值为()A.B.C.D.1【答案】C【解析】设〔不妨设〕，那么由得，，，，，应选C.【变式2】为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，〔其中O为坐标原点〕，那么△AFO与△BFO面积之和的最小值是〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，设，，∴，又∵为抛物线的焦点，∴，∴，∵，当且仅当时，等号成立，∴，∴.例4.【2023浙江卷】如图，抛物线，点A，，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．〔1〕求直线AP斜率的取值范围；〔2〕求的最大值．【解析】〔1〕设直线的斜率为，，因为，所以直线斜率的取值范围是.〔2〕联立直线与的方程解得点的横坐标是.因为，，所以，令，因为，所以在区间上单调递增，上单调递减，因此当时，取得最大值.【名师点睛】此题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等根底知识，同时考查解析几何的根本思想方法和运算求解能力，通过表达与的长度，通过函数求解的最大值．【变式1】【2023山东卷】在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:(a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为.〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与⊙N分别相切于点E,F,求EDF的最小值.【解析】〔1〕由椭圆的离心率为，得，又当时，，得，所以，因此椭圆方程为.〔2〕设，联立方程，得，由得.〔*〕且，因此，所以，又，所以，整理得，因为，所以.令，故，所以.令，所以.当时，,从而在上单调递增，因此，等号当且仅当时成立，此时，所以，由〔*〕得且.故，设，那么，所以的最小值为，从而的最小值为，此时直线的斜率是.综上所述：当，时，取到最小值.【数学思想】①数形结合思想．②分类讨论思想．③转化与化归思想.【温馨提示】对于参数的取值范围问题，要能从几何特征的角度去分析参数变化的原因，谁是自变量，定义域是什么，这实际是函数问题，要学会用函数的观点分析这类问题.【典例试题演练】1.双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1与直线y＝2x有交点，那么双曲线离心率的取值范围为()A．(1，eq\r(5))B．(1，eq\r(5)]C．(eq\r(5)，＋∞)D．[eq\r(5)，＋∞)【答案】C【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，那么由题意得eq\f(b,a)＞2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＞eq\r(1＋4)＝eq\r(5).2.【2023新高考调研卷】椭圆的中心为，右焦点为、右顶点为，直线与轴的交点为，那么的最大值为〔〕A． B． C． D．【答案】C【解析】.应选C.3.【2023湖南长沙市模拟】抛物线的焦点为，点为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，那么的最大值为()A．B．1C．D．2【答案】A【解析】设，由余弦定理得，.4.【2023洛阳市模拟】点在双曲线的右支上，分别为双曲线的左、右焦点，假设，那么该双曲线的离心率的取值范围是〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，又，所以，选D.5.【2023湖南省郴州市检测】椭圆的左、右焦点分别为、,点是椭圆与圆在第一象限的交点,且点到的距离等于.假设椭圆上一动点到点与到点的距离之差的最大值为,那么椭圆的离心率为〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】设点为椭圆上的动点，那么．当三点共线时，取得最大值，此时．又，所以点是线段上靠近的一个三等分点，所以，代入椭圆方程，得，即，解得，即，应选B．6.设函数在点处的切线为，双曲线的两条渐近线与围成的封闭图形的区域为〔包括边界〕，点为区域内的任一点，，为坐标原点，那么的最大值为〔〕A．B．3C．2D．【答案】D【解析】因为，所以；双曲线的两条渐近线为，交点为，的最大值为向量在向量方向上的投影最大，此时为选D.【2023湖南六校联考】分别为椭圆的左、右顶点，不同两点在椭圆上，且关于轴对称，设直线的斜率分别为，那么当取最小值时，椭圆的离心率为〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】设点那么，∴，从而，设，令，那么即，，当且仅当即取等号，取等号的条件一致，此时，∴．应选D．8.点M(－3,2)是坐标平面内一定点，假设抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，那么|MQ|－|QF|的最小值是________．【答案】eq\f(5,2)【解析】抛物线的准线方程为x＝－eq\f(1,2)，当MQ∥x轴时，|MQ|－|QF|取得最小值，此时点Q的纵坐标y＝2，代入抛物线方程y2＝2x得Q的横坐标x＝2，那么|QM|－|QF|＝|2＋3|－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,2)))＝eq\f(5,2).9.【20237广西柳州市模拟】设双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线左支于、两点，那么的最小值等于．【答案】16【解析】.10.【2023河南省豫北重点中学联考】直线和圆相交于两点，当弦最短时，的值为.【答案】【解析】化为，故直线过定点，这个点在圆内.圆心为，，故当弦最短时，直线的斜率为，即.【2023安徽合肥质检】存在实数，使得圆面恰好覆盖函数图象的最高点或最低点共三个，那么正数的取值范围是___________．【答案】【解析】由题意，知函数图象的最高点或最低一定在直线上，那么由，得．又由题意，得，，解得正数的取值范围为．12.【2023浙江省效实中学期中】分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，假设为锐角三角形，那么双曲线的离心率的取值范围是．【答案】【解析】在双曲线中，当时所以A,B两点的纵坐标分别为因为是锐角三角形，所以，,，所以所以解得，又因为，所以.13.【2023广东佛山市检测】双曲线的右焦点为，为坐标原点，假设存在直线过点交双曲线的右支于，两点，使，那么双曲线离心率的取值范围是．【答案】【解析】设，直线的方程为，联立双曲线方程，消去，得＋，所以①，②．因为＝，即，代入①②整理，得－，．由，得，即，，解得；由，得，即，，所以．综上所述，．14.【2023河北唐山市期末】抛物线，圆.〔1〕假设抛物线的焦点在圆上，且为和圆的一个交点，求；〔2〕假设直线与抛物线和圆分别相切于点，求的最小值及相应的值．【解析】〔1〕由题意得F(1，0)，从而有C：x2＝4y．解方程组eq\b\lc\{(\a\al(x2＝4y，,x2＋y2＝1))，得yA＝eq\r(5)－2，所以|AF|＝eq\r(5)－1．〔2〕设M(x0，y0)，那么切线l：y＝eq\f(x0,p)(x－x0)＋y0，整理得x0x－py－py0＝0．由|ON|＝1得|py0|＝eq\r(x\o(2,0)＋p2)＝eq\r(2py0＋p2)，所以p＝eq\f(2y0,y\o(2,0)－1)且yeq\o(2,0)－1＞0，所以|MN|2＝|OM|2－1＝xeq\o(2,0)＋yeq\o(2,0)－1＝2py0＋yeq\o(2,0)－1＝eq\f(4yeq\o(2,0),yeq\o(2,0)－1)＋