2023届高考数学二轮复习专题七概率与统计课时作业（十七）计数原理、二项式定理理

课时作业(十七)计数原理、二项式定理1．(2023·东北三省四市联考)哈市某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习．要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，那么不同的安排方案种数为()A．40B．60C．120D．240解析：此题考查组合的应用．从五个不同部门选取两个部门有Ceq\o\al(2,5)种选法，将4名大学生分别安排在这两个部门有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)种方法，所以不同的安排方案有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝60种，应选B.答案：B2．(2023·陕西宝鸡市高三质量检测(一))我市正在建设最具幸福感城市，原方案沿渭河修建7个河滩主题公园．为提升城市品味、升级公园功能，打算减少2个河滩主题公园，两端河滩主题公园不在调整方案之列，相邻的两个河滩主题公园不能同时被调整，那么调整方案的种数为()A．12B．8C．6D．4解析：除两端的2个河滩主题公园之外，从中间5个河滩主题公园中调整2个，保存3个，可以从这3个河滩主题公园的4个空中任选2个来调整，共有Ceq\o\al(2,4)＝6种方法．答案：63．(2023·全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为()A．－80B．－40C．40D．80解析：因为x3y3＝x·(x2y3)，其系数为－Ceq\o\al(3,5)·22＝－40，x3y3＝y·(x3y2)，其系数为Ceq\o\al(2,5)·23＝80.所以x3y3的系数为80－40＝40.应选C.答案：C4.如图是由四个全等的直角三角形的一个小正方形拼成的一个大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，那么有多少种不同的涂色方法()A．24B．72C．84D．120解析：如图，设四个直角三角形顺次为A，B，C，D，按A→B→C→D顺序涂色，下面分两种情况：(1)A，C不同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的2种颜色中任意取一色)：有4×3×2×2＝48(种)．(2)A，C同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的3种颜色中任意取一色)：有4×3×1×3＝36(种)．共有84种．应选C.答案：C5．(2023·兰州市诊断考试)将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，那么不同的安排方案共有()A．24种B．12种C．10种D．9种解析：第一步，为甲校选1名女老师，有Ceq\o\al(1,2)＝2种选法；第二步，为甲校选2名男教师，有Ceq\o\al(2,4)＝6种选法；第三步，为乙校选1名女教师和2名男教师，有1种选法．故不同的安排方案共有2×6×1＝12种，选B.答案：B6．在(1＋x)n(x∈N*)的二项展开式中，假设只有x5的系数最大，那么n＝()A．8B．9C．10D．11解析：二项式中仅x5项系数最大，其最大值为Ceq\f(n,2)n，即得eq\f(n,2)＝5，解得n＝10.答案：C7．(2023·青岛模拟)将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，那么不同的放法的种数为()A．18B．24C．30D．36解析：将4个小球放入3个不同的盒子，先在4个小球中任取2个作为1组，再将其与其他2个小球对应3个盒子，共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36种情况，假设红球和蓝球放到同一个盒子，那么黑、黄球放进其余的盒子里，有Aeq\o\al(3,3)＝6种情况，那么红球和蓝球不放到同一个盒子的放法种数为36－6＝30种．答案：C8．假设(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，那么实数m的值为()A．1或3B．－3C．1D．1或－3解析：令x＝0，得a0＝(1＋0)6＝1.令x＝1，得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6.又a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63，∴(1＋m)6＝64＝26，∴m＝1或m＝－3.答案：D9．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A．12种B．10种C．9种D．8种解析：将4名学生均分为2个小组共有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))＝3种分法；将2个小组的同学分给2名教师共有Aeq\o\al(2,2)＝2种分法，最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有Aeq\o\al(2,2)＝2种分法．故不同的安排方案共有3×2×2＝12种．答案：A10．(2023·福建漳州八校联考)假设无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字和为偶数，那么这样的三位数的个数是()A．540B．480C．360D．200解析：由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶，有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,2)＝50种排法；所有数位上的数字和为偶数，那么百位数字是奇数，有Ceq\o\al(1,4)＝4种满足题意的选法，故满足题意的三位数共有Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,2)＝200(个)．答案：D11．设a∈Z，且0≤a<13，假设512016＋a能被13整除，那么a＝()A．0B．1C．11D．12解析：由于51＝52－1，(52－1)2016＝Ceq\o\al(0,2016)522016－Ceq\o\al(1,2016)522015＋…－Ceq\o\al(2015,2016)521＋1，又由于13整除52，所以只需13整除1＋a,0≤a<13，a∈Z，所以a＝12.答案：D12．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A．232B．252C．472D．484解析：分两种情况：①不取红色卡片，共有不同的取法Ceq\o\al(3,12)－3Ceq\o\al(3,4)＝220－12＝208(种)．②取红色卡片1张，有不同的取法Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,12)＝264(种)．所以不同的取法有208＋264＝472(种)，应选C.答案：C13．(2023·山东卷)(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，那么n＝________.解析：(1＋3x)n的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)(3x)r.令r＝2，得T3＝9Ceq\o\al(2,n)x2.由题意得9Ceq\o\al(2,n)＝54，解得n＝4.答案：414．在三位正整数中，假设十位数字小于个位和百位数字，那么称该数为“驼峰数〞．比方“102”，“546”为“驼峰数〞，由数字1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数〞有________个．解析：十位上的数为1时，有213,214,312,314,412,413，共6个，十位上的数为2时，有324,423，共2个，所以共有6＋2＝8(个)．答案：815．(2023·浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人效劳队，要求效劳队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)解析：分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有Ceq\o\al(4,8)－Ceq\o\al(4,6)＝55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有Aeq\o\al(2,4)＝12种不同的选法．根据分步乘法计数原理知共有55×12＝660种不同的选法．答案：66016．(2023·广州模拟)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(2,\r(x))))15的展开式中，x的非负整数次幂