2023届高三数学第20练导数中的易错题

第20练导数中的易错题训练目标(1)导数知识的细化、深化、稳固提高；(2)解题过程的细节训练．训练题型(1)导数和函数的极值；(2)利用导数求参数范围；(3)导数的综合应用．解题策略(1)注意f′(x0)＝0是x＝x0为极值点的必要不充分条件；(2)单调性求参数范围要注意验证f′(x)＝0的情况.一、选择题1．如果f′(x)是二次函数，且f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，eq\r(3))，那么曲线y＝f(x)上任意一点的切线的倾斜角α的取值范围是()A．(0，eq\f(π,3)] B．[eq\f(π,3)，eq\f(π,2))C．(eq\f(π,2)，eq\f(2π,3)] D．[eq\f(π,3)，π)2．(2023·福建福州三中月考)点A(1,2)在函数f(x)＝ax3的图象上，那么过点A的曲线C：y＝f(x)的切线方程是()A．6x－y－4＝0 B．x－4y＋7＝0C．6x－y－4＝0或x－4y＋7＝0 D．6x－y－4＝0或3x－2y＋1＝03．(2023·兰州诊断)在直角坐标系xOy中，设P是曲线C：xy＝1(x>0)上任意一点，l是曲线C在点P处的切线，且l交坐标轴于A，B两点，那么以下结论正确的选项是()A．△OAB的面积为定值2B．△OAB的面积有最小值3C．△OAB的面积有最大值4D．△OAB的面积的取值范围是[3,4]4．假设函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，那么实数k的取值范围是()A．[1，＋∞) B．[1，eq\f(3,2))C．[1,2) D．[eq\f(3,2)，2)5．假设函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值，那么实数a的取值范围是()A．1<a<2 B．1<a<4C．2<a<4 D．a>4或a<16．函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，那么实数a的取值范围是()A．(0,2] B．(0,2)C．[eq\r(3)，2) D．(eq\r(3)，2)7．如果函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－x满足：对于任意的x1，x2∈[0,2]，都有|f(x1)－f(x2)|≤a2恒成立，那么a的取值范围是()A．[－eq\f(\r(6),3)，eq\f(\r(6),3)]B．[－eq\f(2\r(3),3)，eq\f(2\r(3),3)]C．(－∞，－eq\f(\r(6),3)]∪[eq\f(\r(6),3)，＋∞)D．(－∞，－eq\f(2\r(3),3)]∪[eq\f(2\r(3),3)，＋∞)8．(2023·景德镇质检)f(x)＝ax＋eq\f(a－2,x)＋2－2a(a>0)，假设f(x)≥2lnx在[1，＋∞)上恒成立，那么a的取值范围是()A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)二、填空题9．假设函数f(x)＝lnx＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，那么实数a的取值范围是________________．10．函数f(x)＝ax－cosx，x∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,3)]，假设∀x1，x2∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,3)]，x1≠x2，eq\f(f?x2?－f?x1?,x2－x1)<0，那么实数a的取值范围是________．11．假设函数f(x)＝ax3＋x恰有3个单调区间，那么a的取值范围为________．12．函数f(x)＝eq\f(ex,1＋ax2)(a>0)，假设f(x)为R上的单调函数，那么实数a的取值范围是________.答案精析1．B[根据可得f′(x)≥eq\r(3)，即曲线y＝f(x)上任意一点的切线的斜率k＝tanα≥eq\r(3)，结合正切函数的图象，可知α∈[eq\f(π,3)，eq\f(π,2))，应选B.]2．D[由于点A(1,2)在函数f(x)＝ax3的图象上，那么a＝2，即y＝2x3，所以y′＝6x2.假设点A为切点，那么切线斜率为6，假设点A不是切点，设切点坐标为(m,2m3)，那么切线的斜率为k＝6m2.由两点的斜率公式，得eq\f(2m3－2,m－1)＝6m2(m≠1)，即有2m2－m解得m＝1(舍去)或m＝－eq\f(1,2).综上，切线的斜率为k＝6或k＝6×eq\f(1,4)＝eq\f(3,2)，那么过点A的曲线C：y＝f(x)的切线方程为y－2＝6(x－1)或y－2＝eq\f(3,2)(x－1)，即6x－y－4＝0或3x－2y＋1＝0.应选D.]3．A[由题意，得y＝eq\f(1,x).设点P(x0，y0)(x0>0)，y0＝eq\f(1,x0)，y′＝－eq\f(1,x2)，因此切线的斜率k＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))，切线方程为y－y0＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))(x－x0)．当x＝0时，y＝y0＋eq\f(1,x0)＝eq\f(2,x0)；当y＝0时，x＝xeq\o\al(2,0)y0＋x0＝2x0，因此S△OAB＝eq\f(1,2)xy＝2为定值．应选A.]4．B[∵f(x)＝2x2－lnx(x>0)，∴f′(x)＝4x－eq\f(1,x)＝eq\f(4x2－1,x)(x>0)，由f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,2)，当x∈(0，eq\f(1,2))时，f′(x)<0；当x∈(eq\f(1,2)，＋∞)时，f′(x)>0，据题意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－1<\f(1,2)<k＋1，,k－1≥0，))解得1≤k<eq\f(3,2).]5．B[y′＝3x2－3a，当a≤0时，y′≥0函数y＝x3－3ax＋a为单调函数，不合题意，舍去；当a>0时，y′＝3x2－3a＝0⇒x＝±eq\r(a)，不难分析，当1<eq\r(a)<2，即1<a<4时，函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值．]6．D[由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝(2a)2－4×3×1>0，,－1<\f(－2a,6)<1，,f′(－1)＝3－2a＋1>0，,f′(1)＝3＋2a＋1>0，))又a>0，解得eq\r(3)<a<2.]7．D[∵f′(x)＝x2－1，∴当0<x<1时，f′(x)<0，当1<x<2时，f′(x)>0，∴f(x)＝eq\f(1,3)x3－x在x＝1时取到极小值，也是x∈[0,2]上的最小值，∴f(x)极小值＝f(1)＝－eq\f(2,3)＝f(x)最小值，又∵f(0)＝0，f(2)＝eq\f(2,3)，∴在x∈[0,2]上，f(x)最大值＝f(2)＝eq\f(2,3)，∵对于任意的x1，x2∈[0,2]，∴都有|f(x1)－f(x2)|≤a2恒成立，∴只需a2≥|f(x)最大值－f(x)最小值|＝eq\f(2,3)－(－eq\f(2,3))＝eq\f(4,3)即可，∴a≥eq\f(2\r(3),3)或a≤－eq\f(2\r(3),3).应选D.]8．B[f(x)≥2lnx在[1，＋∞)上恒成立，即f(x)－2lnx≥0在[1，＋∞)上恒成立．设g(x)＝f(x)－2lnx＝ax＋eq\f(a－2,x)＋2－2a－2lnx，那么g′(x)＝a－eq\f(a－2,x2)－eq\f(2,x)＝eq\f((x－1)(ax＋a－2),x2).令g′(x)＝0，那么x＝1或x＝eq\f(2－a,a).由于g(1)＝0，a>0，因此eq\f(2－a,a)≤1(否那么eq\f(2－a,a)是g(x)的极小值点，即g(eq\f(2－a,a))<g(1)＝0)，所以a≥1.应选B.]9．(－∞，2－eq\f(1,e))∪(2－eq\f(1,e)，2)解析f′(x)＝eq\f(1,x)＋a(x>0)．∵函数f(x)＝lnx＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，∴方程eq\f(1,x)＋a＝2在区间(0，＋∞)上有解，即a＝2－eq\f(1,x)在区间(0，＋∞)上有解，∴a<2.假设直线2x－y＝0与曲线f(x)＝lnx＋ax相切，设切点为(x0,2x0)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x0)＋a＝2，,2x0＝lnx0＋ax0，))解得x0＝e，a＝2－eq\f(1,e).综上，实数a的取值范围是(－∞，2－eq\f(1,e))∪(2－eq\f(1,e)，2)．10．(－∞，－eq\f(\r(3),2)]解析由eq\f(f(x2)－f(x1),x2－x1)<0知，函数f(x)在[eq\f(π,4)，eq\f(π,3)]上是减函数．又f′(x)＝a＋sinx，所以f′(x)≤0在[eq\f(π,4)，eq\f(π,3)]上恒成立，即a≤－sinx在[eq\f(π,4)，eq\f(π,3)]上恒成立．当eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,3)时，－eq\f(\r(3),2)≤－sinx≤－eq\f(\r(2),2)，故－sinx的最小值为－eq\f(\r(3),2)，所以a≤－eq\f(\r(3),2).11．(－∞，0)解析由f(x)＝ax3＋x，得f′(x)＝3ax2＋1.假设a≥0，那么f′(x)>0恒成立，此时f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，不满足题意；假设a<0，由f′(x)>0得－eq\r(－\f(1,3a))<x<eq\r(－\f(1,3a))，由f′(x)<0，得x<－eq\r(－\f(1,3a))或x>eq\r(－\f(1,3a))，即故当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－eq\r(－\f(1,3a))，eq\r(－\f(1,3a)))，单调递减区间为(－∞，－eq\r(－\f(1,3a))),(eq\r(－\f