二次根式的运算知识点及经典试题讲义

.z. 商的算术平方根的性质除以除式的算术平方根.=二次根式的运算知识点及经典试题把被开方数相乘. (1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数； (2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： (3)若二次根式相乘的结果能化简必须化简，如16=4.算术平方根的积. (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有a2形式的a移到根号外面. (3)作用：积的算术平方根的性质对二次根式化简 (4)步骤：①对被开方数分解因数或分解因式，结果写成平方因式乘以非平方因式即：③利用a2=a=〈l一a(a想0)(一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)即被开方数中的一些 (5)被开方数是整数或整式可用积的算术平方根的性质对二次根式化简数相除.aab=aab 分母不能带根号.aab.z.-要点诠释：(1)利用：运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.对于公式中被 (2)步骤：aa bb (3)被开方数是分数或分式可用商的算术平方根的性质对二次根式化简知识点五：最简二次根式.定义：当二次根式满足以下两条：把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，最后的结果必须化为最简二次根式或有理式.(1)最简二次根式中被开方数不含分母；(2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数2，即每个因数或因式从次数只能次.2.把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：(1)把根号下的带分数或绝对值大于1的数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；(4)将被开方数中能开得尽方的因数或因式，用它们的算术平方根代替后移到根号外；是化去被开方数中的分母或小数；二是使被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.次根式.号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算同类项类似)(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式；(3)不是同类二次根式，不能合并知知识点七、二次根式的加减类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中..z.-(3)合并同类二次根式.知识点八、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果应写成最简形式，这个形式应是最简二次根式，或几个非同类最简二次式之和或差，或是有理式.规律方法指导二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减.(1)二次根式的乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是：二次根式合并.二次根式运算的结果应尽可能化简.经典例题透析类型一、二次根式的乘除运算1、计算(1)(3)×=；=；(3)×；××===..思路点便可直接得出答案．2=2.z.-(3)==9×10=90；(4)=×=×=3.==×=×=4×9=36；(3)=×(5)【变式1】判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：；(4)=一反三=4×=4=8.=×=×===＝4.(2)=(3)=；..z.-变式1】已知，且*为偶数，求(1+*)的值．因此得到9-*≥0且*-6＞0，即6＜*≤9，又因为*为偶数，所以*=8．)=(a＞0).(2)原式=-2÷=-==-2=-a.=-类型二、最简二次根式的判别6、下列各式中，哪些是最简二次根式.哪些不是.请说明理由.；(7).被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式..z.-其中的“似非而是”，特别象这样的式子，带有很大的隐蔽性，更应格外小心.7、把下列各式化成最简二次根式.思路进行化简.；(5).类型三、同类二次根式8、如果两个最简二次根式和是同类二次根式，则a、b的值是()A.a=2，b=1B.a=1，b=2C.a=1，b=-1D.a=1，b=1解之，得，故选D.b的二元一次方程组，此类问题都可如此.举一反三【变式1】下列根式中，能够与合并的是()A.B.C.D.z.-【变式2】若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值．b·=不是最简二次根式，因此把化简成类型四、二次根式的加减运算9、计算(1)+(2)-思路点拨：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．解：(1)+=2+3=(2+3)=5(2)-=4-8=(4-8)=-4(1)3-9+3；(2)(+)+(-)；-9+)+(=12-3-)=+6=(12-3+6)=15；++-=4+2+2-=6+；---=≈×2.236≈0.45.类型五、二次根式的混合运算、计算:(1)(+)×(2)(4-3)÷2.(2)(4-3)÷2=4÷2-3÷2=2-.11、计算(1)(+6)(3-)；(2)(+)(-).(3)(2)(+)(-)=()2-()2=10-7=3. (3)略类型六、化简求值12、已知4*2+y2-4*-6y+10=0，求(+y2)-(*2-5*)的值．4*2-4*+1+y2-6y+9=0.z.-原式=+-*+5当*=，y=3时，原式=×+6=+3.-(4+6)=(6+3-4-6)+=-)，其中*=，y=27．，，y=27时，原式=-=-.x+1x1【变式2】.已知*=2+1，求()÷的值．x2xx22x+1x类型七、二次根式的应用与探究10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米.解：设底面正方形铁桶的底面边长为*，答：铁桶的底面边长是30厘米.14、如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速几秒后△PBQ的面积为35平方厘米.PQ的距离是多少厘米.(结果用最简二次根式表示)(1)2===.=z..z.-==×====5，……=====.总结升华：解答此类问题的特点是根据题目给出的条件，寻找内在联系和一般规律，然后猜想所求问题的结果，有利于提高综合分析能力.11【变式1】对于题目“化简求值：+5115111249111a2aaaaaa51111111a2aaaaa5踪练习.z.使等式()(x+成立的条.使等式()(x+成立的条..DD-((110.把a的根号外的因式移到根号内等于。a13.在式子x(x0),2,y+1(y=2),2x(x0),33,x2+1,x+y中，二次根式有()2A.2个B.3个C.4个D.5个14.下列各式一定是二次根式的是()A.7B.32mC.xx18.能使等式=成立的xx20.下面的推导中开始出错的步骤是()A.(1)B.(2)C.(3)D.()4 (1)2700； (1)2700； (2)202－162； (3) (4).z.A.B.C.D.4yyy32-A.B.C.D.4yyy32010 (5) (6)432a3b4；( (5)21.2二次根式的乘除21.2二次根式的乘除m5.长方形的宽为3，面积为26，则长方形的长约为(精确到0.01)。6.下列各式不是最简二次根式的是()7.已知xy0，化简二次根式xy的正确结果为()A.B.C.D.y8.对于所有实数a,b，下列等式总能成立的是()abDA.23B.2332C.23=32D.不能确定10.对于二次根式x2+9，以下说法中不正确的是()A.它是一个非负