立体几何练习题基础

立体几何21．如图所示正三棱柱ABC—A1B1C1的正视图(又称主视图)是边长为4的正方形，则此正三棱柱的侧视图(又称左视图)的面积为A．16B．2eq\r(3)C．4eq\r(3)D．8eq\r(3)2.已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积是()A．1cm3B．2cm3C．3cm2题3．某几何体的三视图如图所示，它的体积为()2题A．72πB．48πC．30πD．24π.4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________． 3题3题4题4题5．下列命题正确的个数为()①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0B．1C．2D．36．已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线7．如图7－3－9所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为()A．1B．2C．3D．48、在直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°9、下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．11．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行12．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(1,2)D．213．如图7－3－1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．14．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A.eq\f(\r(10),10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(3\r(10),10)D.eq\f(3,5)15．如图所示，若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成的角的正切值是________．16．a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是________(只填序号)．17．一个正方体纸盒展开后如图7－3－11所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上四个命题中，正确命题的序号是________．18．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝eq\r(2)，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．19．如图7－3－12，三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(2)求三棱锥A—EBC的体积．立体几何21．如图所示正三棱柱ABC—A1B1C1的正视图(又称主视图)是边长为4的正方形，则此正三棱柱的侧视图(又称左视图)的面积为()A．16B．2eq\r(3)C．4eq\r(3)D．8eq\r(3)【解析】由主视图知，正三棱柱底面边长为4，侧棱长为4，则正三棱柱的侧视图是高为4，底边长为2eq\r(3)的矩形，从而侧视图的面积为S侧＝4×2eq\r(3)＝8eq\r(3).【答案】D2.已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图7－2－2所示，则该三棱锥的体积是()A．1cm3B．2cm3C．3cm3【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是有三个面为直角三角形的四面体，如图所示．三棱锥的底面三角形中直角边长分别为1，2，高为3，故V＝eq\f(1,3)S底·h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×3＝1(cm3)．【答案】A3．(2012·广东高考)某几何体的三视图如图7－2－9所示，它的体积为()A．72πB．48πC．30πD．24π【解析】由三视图知，该几何体是由圆锥和半球组合而成的，直观图如图所示，圆锥的底面半径为3，高为4，半球的半径为3.V＝V半球＋V圆锥＝eq\f(1,2)·eq\f(4,3)π·33＋eq\f(1,3)·π·32·4＝30π.【答案】C4．已知某几何体的三视图如图7－2－10所示，则该几何体的体积为________．【解析】由三视图知几何体由两个底面直径为4、高为1的圆柱和一个底面直径为2、高为4的圆柱组成，故V＝2×π×22×1＋π×12×4＝12π.【答案】12π5．下列命题正确的个数为()①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0B．1C．2D．3【解析】②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．【答案】C6．已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线【解析】若c∥b，∵c∥a，∴a∥b，与a，b异面矛盾．∴c，b不可能是平行直线．【答案】C7．如图7－3－9所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为(B)A．1B．2C．3D．48、在直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】分别取AB、AA1、A1C1的中点D、E、F，则BA1∥DE，AC1∥EF.所以异面直线BA1与AC1所成的角为∠DEF(或其补角)，设AB＝AC＝AA1＝2，则DE＝EF＝eq\r(2)，DF＝eq\r(6)，由余弦定理得，∠DEF＝120°.C9、(2012·四川高考)下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【解析】如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1D与D1A和平面ABCD所成的角都是45°，但A1D与D1A不平行，故A错；在平面ABB1A1内，直线A1B1上有无数个点到平面ABCD的距离相等，但平面ABB1A1与平面ABCD不平行，故B错；平面ADD1A1与平面DCC1D1和平面ABCD都垂直，但两个平面相交，故D错，从而C正确．【答案】C10．(2012·大纲全国卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．【解析】连接DF，则AE∥DF，∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角．设正方体棱长为a，则D1D＝a，DF＝eq\f(\r(5),2)a，D1F＝eq\f(\r(5),2)a，∴cos∠D1FD＝eq\f(（\f(\r(5),2)a）2＋（\f(\r(5),2)a）2－a2,2·\f(\r(5),2)a·\f(\r(5),2)a)＝eq\f(3,5).11．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行【解析】若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，则a∥b与a，b异面相矛盾．【答案】C12．(2013·揭阳模拟)如图7－3－7，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(1,2)D．2【解析】如图，取AC中点G，连FG、EG，则FG∥C1C，FG＝C1C；EG∥BC，EG＝eq\f(1,2)BC，故∠EFG即为EF与C1C所成的角，在Rt△EFG中，cos∠EFG＝eq\f(FG,FE)＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).13．(2012·四川高考)如图7－3－1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．【解析】如图，取CN的中点K，连接MK，则MK为△CDN的中位线，所以MK∥DN.所以∠A1MK为异面直线A1M与DN所成的角．连接A1C1，AM.设正方体棱长为4，则A1K＝eq\r(（4\r(2)）2＋32)＝eq\r(41)，MK＝eq\f(1,2)DN＝eq\f(1,2)eq\r(42＋22)＝eq\r(5)，A1M＝eq\r(42＋42＋22)＝6，∴A1M2＋MK2＝A1K2，∴∠A1MK＝90°.【答案】90°14．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A.eq\f(\r(10),10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(3\r(10),10)D.eq\f(3,5)【解析】取DD1的中点F，连结CF，∠D1CF为所成的角或其补角，取AB＝1，cos∠D1CF＝eq\f(5＋2－1,2\r(5)×\r(2))＝eq\f(3\r(10),10).15．如图7－3－10所示，若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成的角的正切值是________．【解析】因为AD∥A1D1，异面直线BD1与AD所成的角就是BD1与A1D1所成的角，即∠A1D1B.由勾股定理，得A1B＝2eq\r(5)，tan∠A1D1B＝eq\r(5).16．(2012·惠州质检)a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是___①_____(只填序号)．17．一个正方体纸盒展开后如图7－3－11所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上四个命题中，正确命题的序号是____①③____．18．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝eq\r(2)，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．10．【解】取AC的中点F，连结EF，BF，在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，∴EF∥CD.∴∠BEF即为异面直线BE与CD所成的角或其补角．在Rt△EAB中，AB＝AC＝1，AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)，∴BE＝eq\f(\r(5),2).在Rt△EAF中，AF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)，AE＝eq\f(1,2)，∴EF＝eq\f(\r(2),2).在Rt△BAF中，AB＝1，AF＝eq\f(1,2)，∴BF＝eq\f(\r(5),2).在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝eq\f(\f(1,2)EF,BE)＝eq\f(\f(\r(2),4),\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(10),10)，∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为eq\f(\r(10),10).19．如图7－3－12，三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)求异面直线AE和P