2023年高考数学二轮复习专题03函数的应用教学案理

专题03函数的应用求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．1．函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．(2)函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0,这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．2．应用函数模型解决实际问题的一般程序eq\f(读题,文字语言)⇒eq\f(建模,数学语言)⇒eq\f(求解,数学应用)⇒eq\f(反应,检验作答)与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．3．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是根本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f(x)，g(x)，即把方程写成f(x)＝g(x)的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系.考点一函数的零点判断例1、【2023课标3，理11】函数有唯一零点，那么a=A．B．C．D．1【答案】C【解析】函数的零点满足，设，那么，当时，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，函数取得最小值，设，当时，函数取得最小值，【变式探究】(1)函数f(x)＝ex＋eq\f(1,2)x－2的零点所在的区间是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．(1,2)D．(2,3)(2)偶函数y＝f(x)，x∈R满足：f(x)＝x2－3x(x≥0)，假设函数g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,－\f(1,x)，x<0，))那么y＝f(x)－g(x)的零点个数为()A．1B．3C．2D．4解析：(1)∵f′(x)＝ex＋eq\f(1,2)>0，∴f(x)在R上单调递增，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\r(e)－eq\f(7,4)<eq\r(3)－eq\f(7,4)<0，f(1)＝e－eq\f(3,2)>0，∴零点在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上．(2)作出函数f(x)与g(x)的图象如下图，易知两个函数图象有3个不同的交点，所以函数y＝f(x)－g(x)有3个零点，应选B.答案：(1)B(2)B【方法技巧】函数零点的求法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其有几个交点，就有几个不同的零点．【变式探究】设f(x)＝lnx＋x－2，那么函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)考点二、二次函数的零点例2、函数f(x)＝x2＋ax＋2，a∈R.(1)假设不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，求不等式f(x)≥1－x2的解集；(2)假设函数g(x)＝f(x)＋x2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．解析：(1)因为不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，所以a＝－3，于是f(x)＝x2－3x＋2.由f(x)≥1－x2得，1－x2≤x2－3x＋2，解得x≤eq\f(1,2)或x≥1，所以不等式f(x)≥1－x2的解集为(2)函数g(x)＝2x2＋ax＋3在区间(1,2)上有两个不同的零点，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1>0，,g2>0，,1<－\f(a,4)<2，,a2－24>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋5>0，,2a＋11>0，,－8<a<－4，,a<－2\r(6)或a>2\r(6)，))解得－5<a<－2eq\r(6).所以实数a的取值范围是(－5，－2eq\r(6))．【方法技巧】解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．【变式探究】f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．考点三函数零点的应用例3、【2023课标1，理21】函数.〔1〕讨论的单调性；〔2〕假设有两个零点，求a的取值范围.【答案】〔1〕见解析；〔2〕.【解析】〔1〕的定义域为，，〔ⅰ〕假设，那么，所以在单调递减.〔ⅱ〕假设，那么由得.当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.【变式探究】函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－|x|，x≤2，,x－22，x>2，))函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R.假设函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，那么b的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,4)，＋∞))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,4)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,4)，2))解析：函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，即方程f(x)－g(x)＝0，即b＝f(x)＋f(2－x)有4个不同的实数根，即直线y＝b与函数y＝f(x)＋f(2－x)的图象有4个不同的交点．又y＝f(x)＋f(2－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x＋2，x<0，,2，0≤x≤2，,x2－5x＋8，x>2，))作出该函数的图象如下图，由图可得，当eq\f(7,4)<b<2时，直线y＝b与函数y＝f(x)＋f(2－x)的图象有4个不同的交点，故函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点时，b的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,4)，2)).答案：D【方法规律】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，假设方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，假设方程不易解或不可解，那么将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也表达了数形结合思想的应用．【变式探究】对于实数m，n定义运算“⊕〞：m⊕n＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m2＋2mn－1m≤n，,n2－mnm>n，))设f(x)＝(2x－1)⊕(x－1)，且关于x的方程f(x)＝a恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，那么x1＋x2＋x3的取值范围是________．要使方程f(x)＝a恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，不妨设x1<x2<x3，那么x1<0,0<x2<eq\f(1,2)<x3<1，且x2，x3关于x＝eq\f(1,2)对称，所以x2＋x3＝1，当－2x＝eq\f(1,4)时，解得x＝－eq\f(1,8)，∴－eq\f(1,8)<x1<0，∴eq\f(7,8)<x1＋x2＋x3<1.答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)，1))考点四、二次函数的模型例4、为了保护环境，开展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理本钱y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝eq\f(1,2)x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元．那么该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，那么国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解析：设该单位每月获利为S，那么S＝100x－y＝100x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－200x＋80000))＝－eq\f(1,2)x2＋300x－80000＝－eq\f(1,2)(x－300)2－35000，因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．【变式探究】某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，假设该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，那么能获得的最大利润是()A．10.5万元B．11万元C．43万元D．43.025万元考点五、分段函数的模型例5、【2023课标3，理15】设函数那么满足的x的取值范围是_________.【答案】写成分段函数的形式：，函数在区间三段区间内均单调递增，且：，据此x的取值范围是：.【变式探究】一家公司生产某品牌服装的年固定本钱为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10.8－\f(1,30)x20<x≤10，,\f(108,x)－\f(1000,3x2)x>10.))(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总本钱)(2)①当0<x≤10时，令W′＝8.1－eq\f(x2,10)＝0，得x＝9，可知当x∈(0,9)时，W′>0，当x∈(9,10]时，W′<0，∴当x＝9时，W取极大值，即最大值，且Wmax＝8.1×9－eq\f(1,30)×93－10＝38.6.②当x>10时，W＝98－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1000,3x)＋2.7x))≤98－2eq\r(\f(1000,3x)·2.7x)＝38，当且仅当eq\f(1000,3x)＝2.7x，即x＝eq\f(100,9)时，W＝38，故当x＝eq\f(100,9)时，W取最大值38(当1000x取整数时，W一定小于38)．综合①②知，当x＝9时，W取最大值，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．【方法技巧】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型．(2)求函数最值常利用根本(均值)不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比拟得最大值、最小值．【变式探究】国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，假设每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；假设每团人数多于30人，那么给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到到达规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？1.【2023北京，理14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如下图，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.①记Q1为第i名工人在这一天中加工的零件总数，那么Q1，Q2，Q3中最大的是_________.②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，那么p1，p2，p3中最大的是_________.【答案】；【解析】作图可得中点的纵坐标比中点的纵坐标大，所以Q1，Q2，Q3中最大的是，分别作关于原点的对称点，比拟直线的斜率〔即为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数〕，可得最大，所以p1，p2，p3中最大的是2.【2023课标3，理15】设函数那么满足的x的取值范围是_________.【答案】写成分段函数的形式：，函数在区间三段区间内均单调递增，且：，据此x的取值范围是：.3.【2023课标1，理21】函数.〔1〕讨论的单调性；〔2〕假设有两个零点，求a的取值范围.【答案】〔1〕见解析；〔2〕.〔2〕〔ⅰ〕假设，由〔1〕知，至多有一个零点.〔ⅱ〕假设，由〔1〕知，当时，取得最小值，最小值为.①当时，由于，故只有一个零点；②当时，由于，即，故没有零点；1.【2023高考山东理数】函数其中，假设存在实数b，使得关于x的方程f〔x〕=b有三个不同的根，那么m的取值范围是________________.【答案】【解析】画出函数图象如以下图所示：由图所示，要有三个不同的根，需要红色局部图像在深蓝色图像的下方，即，解得。2、【2023高考上海理数】点在函数的图像上，那么.【答案】【解析】将点〔3，9〕代入函数中得，所以，用表示得，所以.3.【2023高考上海理数】，函数.〔1〕当时，解不等式；〔2〕假设关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；〔3〕设，假设对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.【答案】〔1〕．〔2〕．〔3〕．〔3〕当时，，，所以在上单调递减．4.【2023高考上海理数】设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①假设、、均为增函数，那么、、中至少有一个增函数；②假设、、均是以为周期的函数，那么、、均是以为周期的函数，以下判断正确的选项是〔〕、①和②均为真命题、①和②均为假命题、①为真命题，②为假命题、①为假命题，②为真命题【答案】D【解析】①不成立，可举反例,,②前两式作差，可得结合第三式，可得,也有∴②正确应选D.【2023高考浙江，理7】存在函数满足，对任意都有〔〕A.B.C.D.【答案】D.【2023高考湖南，理15】，假设存在实数，使函数有两个零点，那么的取值范围是.【答案】.【解析】分析题意可知，问题等价于方程与方程的根的个数和为，假设两个方程各有一个根：那么可知关于的不等式组有解，∴，从而；假设方程无解，方程有2个根：那么可知关于的不等式组有解，从而，综上，实数的取值范围是.【2023高考江苏，13】函数，，那么方程实根的个数为【答案】4【2023高考天津，理8】函数函数，其中，假设函数恰有4个零点，那么的取值范围是()〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D【解析】由得，所以，即,所以恰有4个零点等价于方程有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知.【2023高考浙江，理10】函数，那么，的最小值是．【答案】，.【2023高考四川，理13】某食品的保鲜时间y〔单位：小时〕与储存温度x〔单位：〕满足函数关系〔为自然对数的底数，k、b为常数〕。假设该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，那么该食品在33的保鲜时间是小时。【答案】24【解析】由题意得：，所以时，.【2023高考上海，理10】设为，的反函数，那么的最大值为．【答案】4【解析】由题意得：在上单调递增，值域为，所以在上单调递增，因此在上单调递增，其最大值为【2023高考北京，理14】设函数①假设，那么的最小值为；②假设恰有2个零点，那么实数的取值范围是．【答案】(1)1，(2)或.②假设函数与轴有无交点，那么函数与轴有两个交点，当时与轴有无交点，在与轴有无交点，不合题意；当时，，与轴有两个交点，和，由于，两交点横坐标均满足；综上所述的取值范围或.【2023高考浙江，理18】函数，记是在区间上的最大值.证明：当时，；〔2〕当，满足，求的最大值.【答案】〔1〕详见解析；〔2〕3.【解析】〔1〕由，得对称轴为直线，由，得，故在上单调，∴，当时，由，得，即，当时，由，得，即，综上，当时，；〔2〕由得，，故，，由，得，当，时，，且在上的最大值为，即，∴的最大值为3.〔2023·湖南卷〕某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，那么该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.eq\f(p＋q,2)B.eq\f(〔p＋1〕〔q＋1〕－1,2)C.eq\r(pq)D.eq\r(〔p＋1〕〔q＋1〕)－1【答案】D【解析】设年平均增长率为x，那么有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x＝eq\r(〔1＋p〕〔1＋q〕)－1.1．〔2023·湖南卷〕函数f(x)＝x2＋ex－eq\f(1,2)(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图像上存在关于y轴对称的点，那么a的取值范围是()A．(－∞，eq\f(1,\r(e)))B．(－∞，eq\r(e))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(e))，\r(e)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(e)，\f(1,\r(e))))【答案】B2．〔2023·天津卷〕函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.假设方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，那么实数a的取值范围为________．【答案】(0，1)∪(9，＋∞)【解析】在同一坐标系内分别作出y＝f(x)与y＝a|x－1|的图像如下图．当y＝a|x－1|与y＝f(x)的图像相切时，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－ax＋a＝－x2－3x，,a>0，))整理得x2＋(3－a)x＋a＝0，那么Δ＝(3－a)2－4a＝a2－10a＋9＝0，解得a＝1或a＝9.故当y＝a|x－1|与y＝f(x)的图像有四个交点时，0<a<1或a>9.3．〔2023·浙江卷〕函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0<f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，那么()A．c≤3B．3<c≤6C．6<c≤9D．c>9【答案】C4．〔2023·全国卷〕假设函数f(x)＝cos2x＋asinx在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))是减函数，那么a的取值范围是________．【答案】(－∞，2]【解析】f(x)＝cos2x＋asinx＝－2sin2x＋asinx＋1，令sinx＝t，那么f(x)＝－2t2＋at＋1.因为x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))，所以t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，所以f(x)＝－2t2＋at＋1，t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).因为f(x)＝cos2x＋asinx在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))是减函数，所以f(x)＝－2t2＋at＋1在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上是减函数，又对称轴为x＝eq\f(a,4)，∴eq\f(a,4)≤eq\f(1,2)，所以a∈(－∞，2]．5．〔2023·福建卷〕假设函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图1­1所示，那么以下函数图像正确的选项是()图1­1ABCD【答案】B6．〔2023·江西卷〕函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．假设f[g(1)]＝1，那么a＝()A．1B．2C．3D．－1【答案】A【解析】g(1)＝a－1，由f[g(1)]＝1，得5|a－1|＝1，所以|a－1|＝0，故a＝1.7．〔2023·辽宁卷〕a＝2－eq\f(1,3)，b＝log2eq\f(1,3)，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,3)，那么()A．a>b>cB．a>c>bC．c>a>bD．c>b>a【答案】C【解析】因为0<a＝2－eq\f(1,3)<1，b＝log2eq\f(1,3)<0，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,3)>logeq\f(1,2)eq\f(1,2)＝1，所以c>a>b.8．〔2023·山东卷〕设集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，那么A∩B＝()A．[0，2]B．(1，3)C．[1，3)D．(1，4)【答案】C【解析】根据得，集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{y|1≤y≤4}，所以A∩B＝{x|1≤x＜3}．应选C.9．〔2023·山东卷〕实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，那么以下关系式恒成立的是()A.eq\f(1,x2＋1)＞eq\f(1,y2＋1)B.ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)C.sinx＞sinyD.x3＞y3【答案】D【解析】因为ax＜ay(0＜a＜1)，所以x＞y，所以sinx＞siny，ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)，eq\f(1,x2＋1)＞eq\f(1,y2＋1)都不一定正确，应选D.10．〔2023·陕西卷〕以下函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)·f(y)〞的单调递增函数是()A．f(x)＝xeq\f(1,2)B．f(x)＝x3C．f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)D．f(x)＝3x【答案】B【解析】由于f(x＋y)＝f(x)f(y)，故排除选项A，C.又f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)为单调递减函数，所以排除选项D.11．〔2023·山东卷〕实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，那么以下关系式恒成立的是()A.eq\f(1,x2＋1)＞eq\f(1,y2＋1)B.ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)C.sinx＞sinyD.x3＞y3【答案】D12．〔2023·山东卷〕函数f(x)＝eq\f(1,\r(〔log2x〕2－1))的定义域为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B．(2，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[2，＋∞)【答案】C【解析】根据题意得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞0，,〔log2〕2－1＞0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞0，,x＞2或x＜\f(1,2).))应选C.13．〔2023·福建卷〕假设函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图1­1所示，那么以下函数图像正确的选项是()图1­1ABCD【答案】B【解析】由函数y＝logax的图像过点(3，1)，得a＝3.选项A中的函数为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)，那么其函数图像不正确；选项B中的函数为y＝x3，那么其函数图像正确；选项C中的函数为y＝(－x)3，那么其函数图像不正确；选项D中的函数为y＝log3(－x)，那么其函数图像不正确．14．〔2023·广东卷〕假设等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，那么lna1＋lna2＋…＋lna【答案】5015．〔2023·辽宁卷〕a＝2－eq\f(1,3)，b＝log2eq\f(1,3)，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,3)，那么()A．a>b>cB．a>c>bC．c>a>bD．c>b>a【答案】C【解析】因为0<a＝2－eq\f(1,3)<1，b＝log2eq\f(1,3)<0，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,3)>logeq\f(1,2)eq\f(1,2)＝1，所以c>a>b.16．〔2023·天津卷〕函数f(x)＝logeq\f(1,2)(x2－4)的单调递增区间为()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)【答案】D【解析】要使f(x)单调递增，需有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4>0，,x<0，))解得x<－2.17．〔2023·陕西卷〕4a＝2，lgx＝a，那么x【答案】eq\r(10)【解析】由4a＝2，得a＝eq\f(1,2)，代入lgx＝a，得lgx＝eq\f(1,2)，那么x＝10eq\f(1,2)＝eq\r(10).18．〔2023·湖南卷〕某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，那么该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.eq\f(p＋q,2)B.eq\f(〔p＋1〕〔q＋1〕－1,2)C.eq\r(pq)D.eq\r(〔p＋1〕〔q＋1〕)－119．〔2023·陕西卷〕如图1­2，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，下降飞行轨迹为某三次函数图像的一局部，那么该函数的解析式为()图1­2A．y＝eq\f(1,125)x3－eq\f(3,5)xB．y＝eq\f(2,125)x3－eq\f(4,5)xC．y＝eq\f(3,125)x3－xD．y＝－eq\f(3,125)x3＋eq\f(1,5)x【答案】A【解析】设该三次函数的解析式为y＝ax3＋bx2＋cx＋d.因为函数的图像经过点(0，0)，所以d＝0，所以y＝ax3＋bx2＋cx.又函数过点(－5，2)，(5，－2)，那么该函数是奇函数，故b＝0，所以y＝ax3＋cx，代入点(－5，2)得－125a－5c＝2.又由该函数的图像在点(－5，2)处的切线平行于x轴，y′＝3ax2＋c，得当x＝－5时，y′＝75a＋c＝0.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－125a－5c＝2，,75a＋c＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,125)，,c＝－\f(3,5).))故该三次函数的解析式为y＝eq\f(1,125)x3－eq\f(3,5)x.20．〔2023·重庆卷〕函数f(x)＝log2eq\r(x)·logeq\r(2)(2x)的最小值为________．【答案】－eq\f(1,4)1．设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－22，1≤x≤3，,－\f(1,3)x2＋\f(4,3)x，0≤x＜1，3＜x≤4，))那么函数g(x)＝lgx的图象与函数f(x)的图象的交点个数为()A．3B．5C．9D．10解析：选C因为函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)的图象与函数g(x)＝lgx的图象如下图，由图可知两曲线有9个交点．2．符号函数sgn(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))那么函数f(x)＝sgn(lnx)－ln2x的零点个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选B由题意知，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－ln2x，x>1，,0，x＝1，,－1－ln2x，0<x<1，))当x>1时，令1－ln2x＝0，解得x＝e，此时f(x)有一个零点；当x＝1时，f(1)＝0，那么x＝1是f(x)的一个零点；当0<x<1时，令－1－ln2x＝0，此方程无解，此时f(x)无零点．综上，f(x)的零点个数为2.3．假设直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称．那么称点对[P，Q]是函数y＝f(x)的一对“友好点对〞(点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对〞)．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,－x2－4x，x≤0，))那么此函数的“友好点对〞有()A．1对B．2对C．3对D．4对那么A，B两点关于原点的对称点一定在函数f(x)＝－x2－4x(x≤0)的图象上，故函数f(x)的“友好点对〞有2对．4.某地一天内的气温Q(t)(单位：℃)与时刻t(单位：时)之间的关系如下图，令C(t)表示时间段[0，t]内的温差(即时间段[0，t]内最高温度与最低温度的差)，C(t)与t之间的函数关系用以下图象表示，那么正确的图象是()解析：选D当0<t<4时，最高温度不变，最低温度减小，所以温差变大，排除C；当4<t<8时，前面一段温差不变，后面一段最高温度增大，所以温差变大，排除A，B，应选D.5．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．本年9月份两食堂的营业额又相等，那么本年5月份()A．甲食堂的营业额较高B．乙食堂的营业额较高C．甲、乙两食堂的营业额相同D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高6．设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－22，1≤x≤3，,－\f(1,3)x2＋\f(4,3)x，0≤x＜1，3＜x≤4，))那么函数g(x)＝lgx的图象与函数f(x)的图象的交点个数为()A．3B．5C．9D．10解析：选C因为函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)的图象与函数g(x)＝lgx的图象如下图，由图可知两曲线有9个交点．7．符号函数sgn(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))那么函数f(x)＝sgn(lnx)－ln2x的零点个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选B由题意知，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－ln2x，x>1，,0，x＝1，,－1－ln2x，0<x<1，))当x>1时，令1－ln2x＝0，解得x＝e，此时f(x)有一个零点；当x＝1时，f(1)＝0，那么x＝1是f(x)的一个零点；当0<x<1时，令－1－ln2x＝0，此方程无解，此时f(x)无零点．综上，f(x)的零点个数为2.8．假设直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称．那么称点对[P，Q]是函数y＝f(x)的一对“友好点对〞(点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对〞)．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,－x2－4x，x≤0，))那么此函数的“友好点对〞有()A．1对B．2对C．3对D．4对解析：选B函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,－x2－4x，x≤0))的图象及函数f(x)＝－x2－4x(x≤0)的图象关于原点对称的图象如下图，那么A，B两点关于原点的对称点一定在函数f(x)＝－x2－4x(x≤0)的图象上，故函数f(x)的“友好点对〞有2对．9．函数f(x)对一切实数x都满足并且方程f(x)＝0有三个实根，那么这三个实根的和为________．答案：eq\f(3,2)10．某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10000元，每天需要交房租、水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入P(元)与店面经营天数x的关系式是P(x)＝eq\