2023年高考数学二轮复习专题05不等式与线性规划教学案理

专题05不等式与线性规划与区域有关的面积、距离、参数范围问题及线性规划问题；利用根本不等式求函数最值、运用不等式性质求参数范围、证明不等式是高考热点．2023高考备考时，应切实理解与线性规划有关的概念，要熟练掌握根本不等式求最值的方法，特别注意“拆〞“拼〞“凑〞等技巧方法．要特别加强综合能力的培养，提升运用不等式性质分析、解决问题的能力．1.熟记比拟实数大小的依据与根本方法．①作差(商)法；②利用函数的单调性．2．特别注意熟记活用以下不等式的根本性质(1)乘法法那么：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；(2)同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(3)同向可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(4)乘方法那么：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)；3．熟练应用根本不等式证明不等式与求函数的最值．4．牢记常见类型不等式的解法．(1)一元二次不等式，利用三个二次之间的关系求解．(2)简单分式、高次不等式，关键是熟练进行等价转化．(3)简单指、对不等式利用指、对函数的单调性求解．5．简单线性规划(1)应用特殊点检验法判断二元一次不等式表示的平面区域．(2)简单的线性规划问题解线性规划问题，关键在于根据条件写出线性约束关系式及目标函数，必要时可先做出表格，然后结合线性约束关系式作出可行域，在可行域中求出最优解．考点一不等式性质及解不等式例1、(1)不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx＋2＞0，,|x|＜1))的解集为()A．{x|－2＜x＜－1}B．{x|－1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}解析：根本法：由x(x＋2)＞0得x＞0或x＜－2；由|x|＜1得－1＜x＜1，所以不等式组的解集为{x|0＜x＜1}，应选C.答案：C(2)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－eq\f(1,1＋x2)，那么使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪(1，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))速解法：令x＝0，f(x)＝f(0)＝－1＜0.f(2x－1)＝f(－1)＝ln2－eq\f(1,2)＝ln2－lneq\r(e)＞0.不适合f(x)＞f(2x－1)，排除C.令x＝2，f(x)＝f(2)＝ln3－eq\f(1,5)，f(2x－1)＝f(3)，由于f(x)＝ln(1＋|x|)－eq\f(1,1＋x2)在(0，＋∞)上为增函数∴f(2)＜f(3)，不适合．排除B、D，应选A.答案：A考点二根本不等式及应用例2、【2023山东，理7】假设，且，那么以下不等式成立的是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】B【解析】因为，且，所以，所以选B.【变式探究】(1)假设直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，那么a＋b的最小值等于()A．2B．3C．4D．5答案：C(2)定义运算“⊗〞：x⊗y＝eq\f(x2－y2,xy)(x，y∈R，xy≠0)．当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．解析：根本法：x⊗y＋(2y)⊗x＝eq\f(x2－y2,xy)＋eq\f(4y2－x2,2yx)＝eq\f(2x2－2y2＋4y2－x2,2xy)＝eq\f(x2＋2y2,2xy)＝eq\f(x,2y)＋eq\f(y,x)，∵x＞0，y＞0，∴eq\f(x,2y)＋eq\f(y,x)≥2eq\r(\f(1,2))＝eq\r(2)，当且仅当eq\f(x,2y)＝eq\f(y,x)，即x＝eq\r(2)y时等号成立，故所求最小值为eq\r(2).答案：eq\r(2)考点三求线性规划中线性目标函数的最值例3、【2023课标II，理5】设，满足约束条件，那么的最小值是〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】x、y满足约束条件的可行域如图：【变式探究】(1)假设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x－2y≤0，,x＋2y－2≤0，))那么z＝x＋y的最大值为________．解析：根本法：作出可行域，如图：由z＝x＋y得y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))时，z取得最大值，zmax＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).速解法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0,x－2y＝0))得点(－2，－1)，那么z＝－3由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0,x＋2y－2＝0))得点(0,1)，那么z＝1由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＝0,x＋2y－2＝0))得点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))那么z＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)(2)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥a，,x－y≤－1，))且z＝x＋ay的最小值为7，那么a＝()A．－5B．3C．－5或3D．5或－3解析：根本法：二元一次不等式组表示的平面区域如下图，其中Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,2)，\f(a＋1,2))).平移直线x＋ay＝0，可知在点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,2)，\f(a＋1,2)))处，z取得最小值，答案：B考点四线性规划的非线性目标函数的最值例4、(1)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥x，,4x＋3y≤12，))那么eq\f(x＋2y＋3,x＋1)的取值范围是()A．[1,5]B．[2,6]C．[3,11]D．[3,10]答案：C(2)(2023·高考山东卷)假设变量x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,2x－3y≤9，,x≥0，))那么x2＋y2的最大值是()A．4B．9C．10D．12解析：根本法：先作出不等式组表示的平面区域，再求目标函数的最大值．作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影局部所示．x2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,2x－3y＝9))得A(3，－1)，由图易得(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10.应选C.答案：C1.【2023北京，理4】假设x，y满足那么x+2y的最大值为〔A〕1〔B〕3〔C〕5〔D〕9【答案】D【解析】如图，画出可行域，2.【2023浙江，4】假设，满足约束条件，那么的取值范围是A．[0，6] B．[0，4] C．[6，D．[4，【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，选D．3.【2023山东，理7】假设，且，那么以下不等式成立的是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】B4.【2023课标II，理5】设，满足约束条件，那么的最小值是〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】x、y满足约束条件的可行域如图：z=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由解得A(−6,−3)，那么z=2x+y的最小值是：−15.应选：A.5.【2023山东，理4】x,y满足，那么z=x+2y的最大值是〔A〕0〔B〕2〔C〕5〔D〕6【答案】C【解析】由画出可行域及直线如下图，平移发现，当其经过直线与的交点时，最大为，选C.6.【2023天津，理2】设变量满足约束条件那么目标函数的最大值为〔A〕〔B〕1〔C〕〔D〕3【答案】D1.【2023高考新课标1卷】假设,那么()〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】C【解析】用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误，，选项C正确，，选项D错误，应选C．2.【2023高考天津理数】设变量x，y满足约束条件那么目标函数的最小值为〔〕〔A〕〔B〕6 〔C〕10 〔D〕17【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点B时取最小值6，选B.3.【2023高考山东理数】假设变量x，y满足那么的最大值是〔〕〔A〕4〔B〕9〔C〕10〔D〕12【答案】C4.【2023高考浙江理数】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，那么│AB│=〔〕A．2B．4C．3D．【答案】C【解析】如图为线性区域，区域内的点在直线上的投影构成了线段，即，而，由得，由得，．应选C．5.【2023年高考北京理数】假设，满足，那么的最大值为〔〕A.0B.3C.4【答案】C6.【2023年高考四川理数】设p：实数x，y满足，q：实数x，y满足那么p是q的()〔A〕必要不充分条件〔B〕充分不必要条件〔C〕充要条件〔D〕既不充分也不必要条件【答案】A【解析】画出可行域〔如下图〕，可知命题中不等式组表示的平面区域在命题中不等式表示的圆盘内，应选A.7.【2023高考新课标3理数】假设满足约束条件那么的最大值为_____________.【答案】8.【2023高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,那么在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．【答案】【解析】设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么 ①目标函数.二元一次不等式组①等价于 ②作出二元一次不等式组②表示的平面区域〔如图〕,即可行域.9.【2023高考江苏卷】实数满足，那么的取值范围是▲.【答案】1.【2023高考北京，理2】假设，满足那么的最大值为〔〕A．0 B．1 C． D．2【答案】D【解析】如图，先画出可行域，由于，那么，令，作直线，在可行域中作平行线，得最优解，此时直线的截距最大，取得最小值2.2．【2023高考广东，理6】假设变量，满足约束条件那么的最小值为〔〕A．B.6C.D.4【答案】C【解析】不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，那么由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A〔1，〕，此时z=3×1+2×=，应选：B．3.【2023高考天津，理2】设变量满足约束条件，那么目标函数的最大值为()〔A〕3〔B〕4〔C〕18〔D〕40【答案】C4.【2023高考陕西，理10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，那么该企业每天可获得最大利润为〔〕A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元甲乙原料限额〔吨〕〔吨〕【答案】D当直线过点时，取得最大值，所以，应选D．5.【2023高考福建，理5】假设变量满足约束条件那么的最小值等于()A．B．C．D．2【答案】A6.【2023高考山东，理6】满足约束条件，假设的最大值为4，那么〔〕〔A〕3〔B〕2〔C〕-2〔D〕-3【答案】B【解析】不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如以下图中的阴影局部所示，假设的最大值为4，那么最优解可能为或，经检验，是最优解，此时；不是最优解.应选B.7.【2023高考新课标1，理15】假设满足约束条件，那么的最大值为.【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影局部所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A〔1,3〕与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.8.【2023高考浙江，理14】假设实数满足，那么的最小值是．【答案】.9．【2023高考新课标2，理14】假设x，y满足约束条件，那么的最大值为____________．【答案】【考点定位】线性规划．10.【2023高考湖南，理4】假设变量，满足约束条件，那么的最小值为〔〕A.-7B.-1C.1D.2【答案】A.【解析】如以下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线：，平移，从而可知当，时，的最小值是，应选A.11.【2023高考四川，理9】如果函数在区间上单调递减，那么mn的最大值为〔〕〔A〕16〔B〕18〔C〕25〔D〕【答案】B12.【2023高考陕西，理9】设，假设，，，那么以下关系式中正确的选项是〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，函数在上单调递增，因为，所以，所以，应选C．1.【2023高考安徽卷理第5题】满足约束条件，假设取得最大值的最优解不唯一，那么实数的值为〔〕A,B.C.2或1D.【答案】D【考点定位】线性规划2.【2023高考北京版理第6题】假设、满足，且的最小值为，那么的值为〔〕A．2B．C．D．【答案】D【解析】假设，没有最小值，不合题意；【考点定位】不等式组表示的平面区域，求目标函数的最小值3.【2023高考福建卷第11题】假设变量满足约束条件那么的最小值为________.【答案】1【解析】依题意如图可得目标函数过点A时截距最大.即.【考点定位】线性规划.4.【2023高考福建卷第13题】要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，那么该容器的最低总造价是_______〔单位：元〕.【答案】88【解析】假设底面长方形的长宽分别为,.那么该容器的最低总造价是.当且仅当的时区到最小值.【考点定位】函数的最值.5.【2023高考广东卷理第3题】假设变量、满足约束条件，且的最大值和最小值分别为和，那么〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】作出不等式组所表示的可行域如以下图中的阴影局部所表示，【考点定位】线性规划中线性目标函数的最值6.【2023高考湖南卷第14题】假设变量满足约束条件，且的最小值为，那么.【答案】【考点定位】线性规划7.【2023辽宁高考理第16题】对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为.【答案】【解析】法一：判别式法：令，那么，代入到中，得，即……①因为关于的二次方程①有实根，所以，可得，取最大值时，或，当时，，当时，，综上可知当时，【考点定位】柯西不等式.8.【2023全国1高考理第9题】不等式组的解集为D,有下面四个命题：，，，其中的真命题是〔〕A．B．C．D．【答案】B【考点定位】线性规划、存在量词和全称量词．10.【2023山东高考理第5题】实数满足，那么下面关系是恒成立的是〔〕B.C.D.【答案】【解析】由及指数函数的性质得，所以，，选.【考点定位】指数函数的性质，不等式的性质.11.【2023山东高考理第9题】满足约束条件，当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为〔〕A.5B.4C.D.2【答案】【解析】画出可行域〔如下图〕，由于，所以，经过直线与直【考点定位】简单线性规划的应用，二次函数的图象和性质.12.【2023四川高考理第4题】假设，，那么一定有〔〕A．B．C．D．4．假设，，那么一定有〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】，又.选D【考点定位】不等式的根本性质.13.【2023四川高考理第5题】执行如图1所示的程序框图，如果输入的，那么输出的的最大值为〔〕A．B．C．D．【答案】C【考点定位】程序框图与线性规划.14.【2023浙江高考理第13题】当实数，满足时，恒成立，那么实数的取值范围是________.【答案】【解析】作出不等式组所表示的区域，由得，由图可知，，且在点取得最小值在取得最大值，故，，故取值范围为．【考点定位】线性规划.15.【2023天津高考理第2题】设变量，满足约束条件那么目标函数的最小值为〔〕〔A〕2〔B〕3〔C〕4〔D〕5【答案】B．【考点定位】二元一次不等式组表示的平面区域、线性目标函数的最值问题．16.【2023大纲高考理第14题】设满足约束条件，那么的最大值为.【答案】5.【考点定位】二元一次不等式组表示的平面区域、线线目标函数的最值的计算．17.【2023高考上海理科】假设实数x,y满足xy=1,那么+的最小值为______________.【答案】【解析】，当且仅当时等号成立.【考点定位】根本不等式.18.【2023高考安徽卷第21题】设实数，整数，.〔1〕证明：当且时，；〔2〕数列满足，，证明：.【答案】〔1〕证明：当且时，；〔2〕.【解析】〔1〕证明：用数学归纳法证明①当时，，原不等式成立.②假设时，不等式成立.当时，所以时，原不等式也成立.综合①②可得，当且时，对一切整数，不等式均成立.再由可得，即.综上所述，.证法2：设，那么，并且.由此可得，在上单调递增，因而，当时，.①当时，由，即可知，并且，从而.故当时，不等式成立.②假设时，不等式成立，那么当时，，即有.所以当时，原不等式也成立.综合①②可得，对一切正整数，不等式均成立.【考点定位】数学归纳法证明不等式、构造函数法证明不等式.1．假设点A(a，b)在第一象限且在直线x＋2y＝4上移动，那么log2a＋log2bA．有最大值2B．有最小值1C．有最大值1D．没有最大值和最小值解析：根本法：由题意，知a＋2b＝4(a＞0，b＞0)，那么有4＝a＋2b≥2eq\r(2ab)，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，所以0＜ab≤2，所以log2a＋log2b＝log2ab≤log22＝1，应选C.答案：C2．假设2x＋2y＝1，那么x＋y的取值范围是()A．[0,2]B．[－2,0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]答案：D3．设实数x，y满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2,y－x≤2,y≥1))，那么x2＋y2的取值范围是()A．[1,2]B．[1,4]C．[eq\r(2)，2]D．[2,4]解析：根本法：如下图，不等式组表示的平面区域是△ABC内部(含边界)，x2＋y2表示的是此区域内的点(x，y)到原点距离的平方．从图