2023年高考数学二轮复习专题10数列求和及其应用教学案理

专题10数列求和及其应用高考对本节内容的考查仍将以常用方法求和为主，尤其是错位相减法及裂项求和，题型延续解答题的形式．预测2023高考对数列求和仍是考查的重点．数列的应用以及数列与函数等的综合的命题趋势较强，复习时应予以关注．1．数列求和的方法技巧(1)公式法：直接应用等差、等比数列的求和公式求和．(2)错位相减法这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列．(3)倒序相加法这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时假设有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，那么这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．(5)分组转化求和法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并．2．数列的综合问题(1)等差数列与等比数列的综合．(2)数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识的综合．(3)增长率、分期付款、利润本钱效益的增减等实际应用问题．数列的实际应用问题一般文字表达较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决.【误区警示】1．应用错位相减法求和时，注意项的对应．2．正确区分等差与等比数列模型，正确区分实际问题中的量是通项还是前n项和．考点一．数列求和例1、25.【2023江苏，19】对于给定的正整数,假设数列满足对任意正整数总成立，那么称数列是“数列〞.〔1〕证明：等差数列是“数列〞;〔2〕假设数列既是“数列〞，又是“数列〞，证明：是等差数列.【答案】〔1〕见解析〔2〕见解析〔2〕数列既是“数列〞，又是“数列〞，因此，当时，，①当时，.②由①知，，③，④将③④代入②，得，其中，所以是等差数列，设其公差为.在①中，取，那么，所以，在①中，取，那么，所以，所以数列是等差数列.【变式探究】(2023·浙江卷)设数列{an}的前n项和为Sn，S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.(1)求通项公式an；(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．【举一反三】假设An和Bn分别表示数列{an}和{bn}的前n项的和，对任意正整数n，an＝2(n＋1)，3An－Bn＝4n.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)记cn＝eq\f(2,An＋Bn)，求{cn}的前n项和Sn.解：(1)由于an＝2(n＋1)，∴{an}为等差数列，且a1＝4.∴An＝eq\f(n〔a1＋an〕,2)＝eq\f(n〔4＋2n＋2〕,2)＝n2＋3n，∴Bn＝3An－4n＝3(n2＋3n)－4n＝3n2＋5n，当n＝1时，b1＝B1＝8，当n≥2时，bn＝Bn－Bn－1＝3n2＋5n－[3(n－1)2＋5(n－1)]＝6n＋2.由于b1＝8适合上式，∴bn＝6n＋2.(2)由(1)知cn＝eq\f(2,An＋Bn)＝eq\f(2,4n2＋8n)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))，∴Sn＝eq\f(1,4)eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1)－\f(1,3)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,6)))＋))…＋eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n＋1)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(3,8)－eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)＋\f(1,n＋2))).【变式探究】(2023·山东卷)数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)令cn＝eq\f(〔an＋1〕n＋1,〔bn＋2〕n)，求数列{cn}的前n项和Tn.(2)由(1)知cn＝eq\f(〔6n＋6〕n＋1,〔3n＋3〕n)＝3(n＋1)·2n＋1.又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋\f(4〔1－2n〕,1－2)－〔n＋1〕×2n＋2))＝－3n·2n＋2，∴Tn＝3n·2n＋2.考点二、数列和函数、不等式的交汇例4、(2023·四川卷)数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.(1)假设2a2，a3，a2＋2成等差数列，求数列{an}(2)设双曲线x2－eq\f(y2,aeq\o\al(2,n))＝1的离心率为en，且e2＝eq\f(5,3)，证明：e1＋e2＋…＋en>eq\f(4n－3n,3n－1).(2)证明：由(1)可知，an＝qn－1，∴双曲线x2－eq\f(y2,aeq\o\al(2,n))＝1的离心率en＝eq\r(1＋aeq\o\al(2,n))＝eq\r(1＋q2〔n－1〕).由e2＝eq\r(1＋q2)＝eq\f(5,3)解得q＝eq\f(4,3).∵1＋q2(k－1)>q2(k－1)，∴eq\r(1＋q2〔k－1〕)>qk－1(k∈N*)．于是e1＋e2＋…＋en>1＋q＋…＋qn－1＝eq\f(qn－1,q－1)，故e1＋e2＋…＋en>eq\f(4n－3n,3n－1).【变式探究】数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋2n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)假设点(bn，an)在函数y＝log2x的图象上，求数列{bn}的前n项和Tn.1.【2023天津，理18】为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.〔Ⅰ〕求和的通项公式；〔Ⅱ〕求数列的前n项和.【答案】〔1〕..〔2〕.【解析】〔I〕设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由，得，而，所以.又因为，解得.所以，.由，可得①.由，可得②，联立①②，解得，，由此可得.所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为.〔II〕解：设数列的前项和为，由，，有，故，，上述两式相减，得得.所以，数列的前项和为.2.【2023江苏，19】对于给定的正整数,假设数列满足对任意正整数总成立，那么称数列是“数列〞.〔1〕证明：等差数列是“数列〞;〔2〕假设数列既是“数列〞，又是“数列〞，证明：是等差数列.【答案】〔1〕见解析〔2〕见解析〔2〕数列既是“数列〞，又是“数列〞，因此，当时，，①当时，.②由①知，，③3.【2023山东，理19】{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2〔Ⅰ〕求数列{xn}的通项公式；〔Ⅱ〕如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)…Pn+1(xn+1,n+1)得到折线P1P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，所围成的区域的面积.【答案】(I)〔II〕〔II〕过……向轴作垂线，垂足分别为……,由(I)得记梯形的面积为.由题意，所以……+=……+①又……+②①-②得=所以1.【2023高考天津理数】是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是和的等差中项.(Ⅰ)设，求证：是等差数列；(Ⅱ)设，求证：【答案】〔Ⅰ〕详见解析〔Ⅱ〕详见解析2.【2023高考新课标3理数】数列的前n项和，其中．〔I〕证明是等比数列，并求其通项公式；〔II〕假设，求．【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕．3.【2023高考浙江理数】设数列满足，．〔I〕证明：，；〔II〕假设，，证明：，．【答案】〔I〕证明见解析；〔II〕证明见解析．【解析】〔I〕由得，故，，所以，因此．〔II〕任取，由〔I〕知，对于任意，，故．4.【2023年高考北京理数】〔本小题13分〕设数列A：，,…().如果对小于()的每个正整数都有＜，那么称是数列A的一个“G时刻〞.记“是数列A的所有“G时刻〞组成的集合.〔1〕对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；〔2〕证明：假设数列A中存在使得>，那么；〔3〕证明：假设数列A满足-≤1〔n=2,3,…,N〕,那么的元素个数不小于-.【答案】〔1〕的元素为和；〔2〕详见解析；〔3〕详见解析.〔Ⅲ〕当时，结论成立.以下设.由〔Ⅱ〕知.设.记.那么.对，记.如果，取，那么对任何.从而且.又因为是中的最大元素，所以.从而对任意，，特别地，.对.因此.所以.因此的元素个数p不小于.5.【2023年高考四川理数】〔本小题总分值12分〕数列{}的首项为1，为数列的前n项和，，其中q>0，.〔Ⅰ〕假设成等差数列，求的通项公式；〔Ⅱ〕设双曲线的离心率为，且，证明：.【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕详见解析.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知，.所以双曲线的离心率．由解得.因为，所以.于是，故.6.【2023高考上海理数】〔此题总分值18分〕此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值8分.假设无穷数列满足：只要，必有，那么称具有性质.〔1〕假设具有性质，且，，求；〔2〕假设无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由；〔3〕设是无穷数列，.求证：“对任意都具有性质〞的充要条件为“是常数列〞.【答案】〔1〕．〔2〕不具有性质．〔3〕见解析．〔3〕[证]充分性：当为常数列时，．对任意给定的，只要，那么由，必有．充分性得证．必要性：用反证法证明．假设不是常数列，那么存在，使得，而．下面证明存在满足的，使得，但．设，取，使得，那么，，故存在使得．取，因为〔〕，所以，依此类推，得．但，即．所以不具有性质，矛盾．必要性得证．综上，“对任意，都具有性质〞的充要条件为“是常数列〞．7.【2023高考新课标2理数】为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕求数列的前1000项和．【答案】〔Ⅰ〕，，；〔Ⅱ〕1893.8.【2023高考山东理数】〔本小题总分值12分〕数列的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且〔Ⅰ〕求数列的通项公式；〔Ⅱ〕令求数列的前n项和Tn.【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，又，得，，两式作差，得所以9.【2023高考江苏卷】〔本小题总分值16分〕记.对数列和的子集T，假设,定义;假设，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕对任意正整数，假设，求证：；〔3〕设,求证：.【答案】〔1〕〔2〕详见解析〔3〕详见解析〔3〕下面分三种情况证明.①假设是的子集，那么.②假设是的子集，那么.③假设不是的子集，且不是的子集.令，那么，，.于是，，进而由，得.设是中的最大数，为中的最大数，那么.由〔2〕知，，于是，所以，即.又，故，从而，故，所以，即.综合①②③得，.10.【2023高考山东理数】〔本小题总分值12分〕数列的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且〔Ⅰ〕求数列的通项公式；〔Ⅱ〕令求数列的前n项和Tn.【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，又，得，，两式作差，得所以【2023江苏高考，11】数列满足，且〔〕，那么数列的前10项和为【答案】【2023高考天津，理18】〔本小题总分值13分〕数列满足，且成等差数列.(I)求的值和的通项公式；(II)设，求数列的前项和.【答案】(I);(II).【解析】〔Ⅰ〕由，有，即，所以，又因为，故，由，得，当时，，当时，，所以的通项公式为【2023高考四川，理16】设数列的前项和，且成等差数列.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕记数列的前n项和，求得成立的n的最小值.【答案】〔1〕；〔2〕10.【解析】〔1〕由，有，即.从而.又因为成等差数列，即.所以，解得.所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列.故.〔2〕由〔1〕得.所以.由，得，即.因为，所以.于是，使成立的n的最小值为10.【2023高考新课标1，理17】为数列{}的前项和.＞0，=.〔Ⅰ〕求{}的通项公式；〔Ⅱ〕设,求数列{}的前项和.【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕【2023江苏高考，20】〔本小题总分值16分〕设是各项为正数且公差为d的等差数列〔1〕证明：依次成等比数列；〔2〕是否存在，使得依次成等比数列，并说明理由；〔3〕是否存在及正整数，使得依次成等比数列，并说明理由.【答案】〔1〕详见解析〔2〕不存在〔3〕不存在〔3〕假设存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列，那么，且．分别在两个等式的两边同除以及，并令〔，〕，那么，且．将上述两个等式两边取对数，得，且．化简得，且．再将这两式相除，化简得〔〕．令，那么．令，那么．【2023高考浙江，理20】数列满足=且=-〔〕〔1〕证明：1〔〕；〔2〕设数列的前项和为，证明〔〕.【答案】〔1〕详见解析；〔2〕详见解析.【解析】〔1〕由题意得，，即，，由得，由得，，即；〔2〕由题意得，∴①，由和得，，∴，因此②，由①②得.【2023高考山东，理18】设数列的前n项和为..〔I〕求的通项公式；〔II〕假设数列满足，求的前n项和.【答案】〔I〕;〔II〕.〔Ⅱ〕因为，所以当时，所以当时，所以两式相减，得所以经检验，时也适合，综上可得：【2023高考安徽，理18】设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标.〔Ⅰ〕求数列的通项公式；〔Ⅱ〕记，证明.【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕.1.【2023高考湖南理第20题】数列满足,.(1)假设为递增数列,且成等差数列,求的值;(2)假设,且是递增数列,是递减数列,求数列的通项公式.【答案】(1)(2)或(2)由题可得,因为是递增数列且是递减数列,所以且,那么有,因为(2)由题可得,因为是递增数列且是递减数列,所以且,两不等式相加可得,又因为,所以,即,同理可得且,所以,那么当时,,这个等式相加可得.当时,,这个等式相加可得,当时,符合,故综上.【考点定位】等差数列、等比数列、数列单调性2.【2023高考江西理第17题】首项都是1的两个数列〔〕，满足.〔1〕令，求数列的通项公式；〔2〕假设，求数列的前n项和【答案】〔1〕〔2〕【考点定位】等差数列、错位相减求和3.【2023高考全国1第17题】数列的前项和为，，，，其中为常数，〔I〕证明：；〔II〕是否存在，使得为等差数列？并说明理由.【答案】〔I〕详见解析；〔II〕存在，.【考点定位】递推公式、数列的通项公式、等差数列．4.【2023高考全国2第17题】数列满足=1，.〔Ⅰ〕证明是等比数列，并求的通项公式；〔Ⅱ〕证明：.【答案】【解析】此题第〔1〕问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第〔2〕问，可先由第〔1〕问求出，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式.试题解析：〔1〕证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得.〔2〕由〔1〕知：，所以，因为当时，，所以，于是=，所以.【考点定位】本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明5.【2023高考山东卷第19题】等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.

〔Ⅰ〕求数列的通项公式；〔Ⅱ〕令，求数列的前项和.【答案】〔I〕.〔II〕，〔或〕〔II〕当n为偶数时，当n为奇数时，所以，〔或〕【考点定位】等差数列的前项和、等比数列及其性质。6.【2023高考上海理科第23题】数列满足.假设，求的取值范围；假设是公比为等比数列，，求的取值范围；〔3〕假设成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.【答案】〔1〕；〔2〕；〔3〕的最大值为1999，此时公差为.②当时，，由单调性可得，，解得，【考点定位】解不等式〔组〕、数列的单调性、分类讨论、等差〔比〕数列的前项和.7.【2023高考上海理科第8题】设无穷等比数列{}的公比为q，假设，那么q=.【答案】【解析】由题意，即，∵，∴.【考点定位