2023年高考数学二轮复习专题15椭圆、双曲线、抛物线教学案理

专题15椭圆、双曲线、抛物线1.以客观题形式考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线的定义、离心率、焦点弦长问题、双曲线的渐近线等，可能会与数列、三角函数、平面向量、不等式结合命题，假设与立体几何结合，会在定值、最值、定义角度命题．2.每年必考一个大题，相对较难，且往往为压轴题，具有较高的区分度．平面向量的介入，增加了本局部高考命题的广度与深度，成为近几年高考命题的一大亮点，备受命题者的青睐，本局部还经常结合函数、方程、不等式、数列、三角等知识结合进行综合考查．一、椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质椭圆双曲线抛物线定义|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1定点F和定直线l，点F不在直线l上，P到l距离为d，|PF|＝d标准方程焦点在x轴上eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)焦点在x轴上eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)焦点在x轴正半轴上y2＝2px(p>0)图象几何性质范围|x|≤a，|y|≤b|x|≥a，y∈Rx≥0，y∈R顶点(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)对称性关于x轴、y轴和原点对称关于x轴对称焦点(±c,0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))轴长轴长2a，短轴长2实轴长2a，虚轴长2几何性质离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))(0<e<1)e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))(e>1)e＝1准线x＝－eq\f(p,2)通径|AB|＝eq\f(2b2,a)|AB|＝2p渐近线y＝±eq\f(b,a)x【误区警示】1．求椭圆、双曲线方程时，注意椭圆中c2＝a2＋b2，双曲线中c2＝a2－b2的区别．2．注意焦点在x轴上与y轴上的双曲线的渐近线方程的区别．3．平行于双曲线渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点；平行于抛物线的轴的直线与抛物线有且仅有一个交点．考点一椭圆的定义及其方程例1．(2023·北京卷)椭圆C的两个顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，焦点在x轴上，离心率为eq\f(\r(3),2).(1)求椭圆C的方程；(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(m＋2,n)〔x－m〕，,y＝\f(n,2－m)〔x－2〕，))解得点E的纵坐标yE＝－eq\f(n〔4－m2〕,4－m2＋n2).由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，所以yE＝－eq\f(4,5)n.又S△BDE＝eq\f(1,2)|BD|·|yE|＝eq\f(2,5)|BD|·|n|，S△BDN＝eq\f(1,2)|BD|·|n|，所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.【2023高考浙江理数】椭圆C1：+y2=1(m>1)与双曲线C2：–y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，那么〔〕A．m>n且e1e2>1B．m>n且e1e2<1C．m<n且e1e2>1D．m<n且e1e2【答案】A【变式探究】椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．假设AB的中点坐标为(1，－1)，那么E的方程为()A.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1 B.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1C.eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1 D.eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在椭圆上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),a2)＋\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1，①,\f(xeq\o\al(2,2),a2)＋\f(yeq\o\al(2,2),b2)＝1②))①－②，得eq\f(〔x1＋x2〕〔x1－x2〕,a2)＋eq\f(〔y1＋y2〕〔y1－y2〕,b2)＝0，即eq\f(b2,a2)＝－eq\f(〔y1＋y2〕〔y1－y2〕,〔x1＋x2〕〔x1－x2〕)，∵AB的中点为(1，－1)，∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，而eq\f(y1－y2,x1－x2)＝kAB＝eq\f(0－〔－1〕,3－1)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2).又∵a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9.∴椭圆E的方程为eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1，应选D.答案D考点二椭圆的几何性质例2．【2023高考新课标3理数】为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.假设直线经过的中点，那么的离心率为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】A【变式探究】(2023·北京，19)椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，点P(0，1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？假设存在，求点Q的坐标；假设不存在，说明理由．解(1)由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝1，,\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,a2＝b2＋c2))解得a2＝2，故椭圆C的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.设M(xM，0)．因为m≠0，所以－1＜n＜1.直线PA的方程为y－1＝eq\f(n－1,m)x.所以xM＝eq\f(m,1－n)，即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,1－n)，0)).考点三双曲线的定义及标准方程例3．(2023·全国卷Ⅱ)假设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，那么C的离心率为()A．2 B.eq\r(3)C.eq\r(2) D.eq\f(2\r(3),3)解析：取渐近线y＝eq\f(b,a)x，化成一般式bx－ay＝0，圆心(2，0)到直线的距离为eq\r(22－12)＝eq\f(|2b|,\r(a2＋b2))，又由c2＝a2＋b2得c2＝4a2，e2＝4，e答案：A【变式探究】【2023高考天津理数】双曲线〔b>0〕，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，那么双曲线的方程为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D【变式探究】(2023·福建，3)假设双曲线E：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，那么|PF2|等于()A．11 B．9 C．5 D．3解析由双曲线定义||PF2|－|PF1||＝2a，∵|PF1|＝3，∴P在左支上，∵a＝3，∴|PF2|－|PF1|＝6，∴|PF2|＝9，应选答案B考点四双曲线的几何性质例4．【2023高考新课标1卷】方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,那么n的取值范围是()〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】A【解析】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，应选A．【变式探究】(2023·新课标全国Ⅱ，11)A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，那么E的离心率为()A.eq\r(5) B．2 C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析如图，设双曲线E的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，那么|AB|＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1，0)，∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin60°＝eq\r(3)a，x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos60°＝2a.将点M(x1，y1)的坐标代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，可得a2＝b2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(2)，选D.答案D考点五抛物线的定义及方程例5．(2023·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为eq\r(3)的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，那么M到直线NF的距离为()A.eq\r(5) B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．3eq\r(3)答案：C【变式探究】【2023年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,那么直线OM的斜率的最大值为()〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕1【答案】C【解析】设〔不妨设〕，那么，应选C.【变式探究】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，假设|AF|＝3，那么△AOB的面积为()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\r(2) C.eq\f(3\r(2),2) D．2eq\r(2)解得x1＝2，x2＝eq\f(1,2).∴|BF|＝x2＋1＝eq\f(3,2)，∴|AB|＝3＋eq\f(3,2)＝eq\f(9,2).∴S△AOB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×eq\f(9,2)×eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(3\r(2),2).答案C考点六抛物线的几何性质例6．(2023·全国卷Ⅲ)抛物线C：y2＝2x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．(1)证明：设l：x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝2x，,x＝my＋2，))得y2－2my－4＝0，Δ＝4m2＋16恒大于0，y1＋y2＝2m，y1eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(my1＋2)(my2＋2)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋2m(y1＋y2＝－4(m2＋1)＋2m·2所以eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，即O在圆M上．(2)解：由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，圆M的半径r＝eq\r(〔m2＋2〕2＋m2).由于圆M过点P(4，－2)，因此eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，故(x1－4)·(x2－4)＋(y1＋2)·(y2＋2)＝0，即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4，所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－eq\f(1,2).当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3，1)，圆M的半径为eq\r(10)，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.当m＝－eq\f(1,2)时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，－\f(1,2)))，圆M的半径为eq\f(\r(85),4)，圆M的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(9,4)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(85,16).【2023高考新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.|AB|=,|DE|=,那么C的焦点到准线的距离为(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B【解析】如图,设抛物线方程为,交轴于点,那么,即点纵坐标为,那么点横坐标为,即,由勾股定理知,,即,解得,即的焦点到准线的距离为4,应选B.【变式探究】(2023·天津，6)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，eq\r(3))，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4eq\r(7)x的准线上，那么双曲线的方程为()A.eq\f(x2,21)－eq\f(y2,28)＝1 B.eq\f(x2,28)－eq\f(y2,21)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1解析双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，又渐近线过点(2，eq\r(3))，所以eq\f(2b,a)＝eq\r(3)，即2b＝eq\r(3)a，①抛物线y2＝4eq\r(7)x的准线方程为x＝－eq\r(7)，由，得eq\r(a2＋b2)＝eq\r(7)，即a2＋b2＝7②，联立①②解得a2＝4，b2＝3，所求双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1，选D.答案D1.【2023课标1，理10】F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，那么|AB|+|DE|的最小值为A．16 B．14 C．12 D．10【答案】A【解析】设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知，当且仅当〔或〕时，取等号.2.【2023课标II，理9】假设双曲线〔，〕的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，那么的离心率为〔〕A．2B．C．D．【答案】A3.【2023浙江，2】椭圆的离心率是A．B．C．D．【答案】B【解析】，选B．4.【2023天津，理5】双曲线的左焦点为，离心率为.假设经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，那么双曲线的方程为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】B【解析】由题意得，选B.5.【2023北京，理9】假设双曲线的离心率为，那么实数m=_________.【答案】2【解析】，所以，解得.6.【2023课标1，理】双曲线C：〔a>0，b>0〕的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.假设∠MAN=60°，那么C的离心率为________.【答案】【解析】如下图，作，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，那么为双曲线的渐近线上的点，且，，而，所以，点到直线的距离，在中，，代入计算得，即，由得，所以.7.【2023课标II，理16】是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。假设为的中点，那么。【答案】6【解析】如下图，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，那么，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．8.【2023课标3，理5】双曲线C：(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，那么C的方程为A．B．C．D．【答案】B【解析】双曲线C：(a＞0,b＞0)的渐近线方程为，椭圆中：，椭圆，即双曲线的焦点为，据此可得双曲线中的方程组：，解得：，那么双曲线的方程为.应选B.9.【2023山东，理14】在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，假设，那么该双曲线的渐近线方程为.【答案】10.【2023课标1，理20】椭圆C：〔a>b>0〕，四点P1〔1,1〕，P2〔0,1〕，P3〔–1，〕，P4〔1，〕中恰有三点在椭圆C上.〔1〕求C的方程；〔2〕设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.假设直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l【答案】〔1〕.〔2〕见解析。【解析】〔1〕由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此，解得.故C的方程为.〔2〕设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为〔t，〕，〔t，〕.那么，得，不符合题设.从而可设l：〔〕.将代入得由题设可知.设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么x1+x2=，x1x2=.而.由题设，故.即.解得.当且仅当时，，欲使l：，即，所以l过定点〔2，〕11.【2023课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足。求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。【答案】(1)。(2)证明略。所以，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.12.【2023山东，理21】在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为.〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为.求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.【答案】〔I〕.〔Ⅱ〕的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.【解析】〔I〕由题意知，，所以，因此椭圆的方程为.〔Ⅱ〕设，联立方程得，由题意知，且，所以.由题意可知圆的半径为由题设知，所以因此直线的方程为.联立方程得，因此.由题意可知，而，令，那么，因此，当且仅当，即时等号成立，此时，所以，因此，所以最大值为.综上所述：的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.13.【2023北京，理18】抛物线C：y2=2px过点P〔1，1〕.过点〔0，〕作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.〔Ⅰ〕求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；〔Ⅱ〕求证：A为线段BM的中点.【答案】〔Ⅰ〕方程为，抛物线C的焦点坐标为〔，0〕，准线方程为.〔Ⅱ〕详见解析.〔Ⅱ〕由题意，设直线l的方程为〔〕，l与抛物线C的交点为，.由，得.那么，.因为点P的坐标为〔1，1〕，所以直线OP的方程为，点A的坐标为.直线ON的方程为，点B的坐标为.因为，所以.故A为线段BM的中点.14.【2023天津，理19】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.〔I〕求椭圆的方程和抛物线的方程；〔II〕设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点〔异于点〕，直线与轴相交于点.假设的面积为，求直线的方程.【答案】〔Ⅰ〕，.〔Ⅱ〕，或.【解析】〔Ⅰ〕解：设的坐标为.依题意，，，，解得，，，于是.所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.〔Ⅱ〕解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.所以，直线的方程为，或.15.【2023江苏，8】在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点,,其焦点是,那么四边形的面积是▲.【答案】【解析】右准线方程为，渐近线方程为，设，那么，，，那么．16.【2023江苏，17】如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线,过点作直线的垂线.〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕假设直线的交点在椭圆上,求点的坐标.【答案】〔1〕〔2〕【解析】〔1〕设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，，解得，于是，因此椭圆E的标准方程是.因为点在椭圆上，由对称性，得，即或.又在椭圆E上，故.由，解得；，无解.因此点P的坐标为.1.【2023高考新课标1卷】方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,那么n的取值范围是()〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】A【解析】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，应选A．2.【2023年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,那么直线OM的斜率的最大值为()〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕1【答案】C【解析】设〔不妨设〕，那么，应选C.3.【2023高考新课标2理数】是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,那么的离心率为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2【答案】A【解析】因为垂直于轴，所以，因为，即，化简得，故双曲线离心率.选A.4.【2023高考浙江理数】椭圆C1：+y2=1(m>1)与双曲线C2：–y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，那么〔〕A．m>n且e1e2>1B．m>n且e1e2<1C．m<n且e1e2>1D．m<n且e1e2【答案】A【解析】由题意知，即，由于m＞1，n＞0，可得m＞n，又=，故．应选A．5.【2023高考浙江理数】假设抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，那么M到y轴的距离是_______．【答案】【解析】6.【2023高考新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.|AB|=,|DE|=,那么C的焦点到准线的距离为(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B【解析】如图,设抛物线方程为,交轴于点,那么,即点纵坐标为,那么点横坐标为,即,由勾股定理知,,即,解得,即的焦点到准线的距离为4,应选B.7.【2023高考新课标3理数】为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.假设直线经过的中点，那么的离心率为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】A8.【2023高考天津理数】双曲线〔b>0〕，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，那么双曲线的方程为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D【解析】根据对称性，不妨设A在第一象限，，∴，∴，故双曲线的方程为，应选D.9.【2023高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且,那么该椭圆的离心率是▲.【答案】【解析】由题意得，因此10.【2023高考天津理数】设抛物线，〔t为参数，p＞0〕的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C〔p,0〕，AF与BC相交于点E.假设|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为，那么p的值为_________.【答案】【解析】抛物线的普通方程为，，，又，那么，由抛物线的定义得，所以，那么，由得，即，所以，，所以，解得．11.【2023高考山东理数】双曲线E：〔a＞0，b＞0〕，假设矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，那么E的离心率是_______.【答案】2【解析】假设点A在第一象限，点B在第二象限，那么，，所以，，由，得离心率或〔舍去〕，所以E的离心率为2.12.【2023年高考北京理数】双曲线〔，〕的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，假设正方形OABC的边长为2，那么_______________.【答案】2【解析】∵是正方形，∴，即直线方程为，此为双曲线的渐近线，因此，又由题意，∴，．故填：2．13.【2023高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，双曲线的焦距是________▲________.【答案】【解析】．焦距为2c故答案应填：。14.【2023高考山东理数】〔本小题总分值14分〕

平面直角坐标系中，椭圆C：

的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.

〔I〕求椭圆C的方程；〔II〕设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.〔i〕求证：点M在定直线上;〔ii〕直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标.【答案】〔Ⅰ〕;〔Ⅱ〕〔i〕见解析；〔ii〕的最大值为，此时点的坐标为【解析】〔Ⅰ〕由题意知，可得：.因为抛物线的焦点为，所以，所以椭圆C的方程为.因此,将其代入得，因为，所以直线方程为.联立方程，得点的纵坐标为，即点在定直线上.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知直线方程为，令得，所以，又，所以，，所以，令，那么，当，即时，取得最大值，此时，满足，所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为.15.【2023高考江苏卷】〔本小题总分值10分〕如图，在平面直角坐标系xOy中，直线，抛物线〔1〕假设直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；〔2〕抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为；②求p的取值范围.【答案】〔1〕〔2〕①详见解析，②【解析】解：〔1〕抛物线的焦点为由点在直线上，得，即所以抛物线C的方程为〔2〕设，线段PQ的中点因为点P和Q关于直线对称，所以直线垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为，那么可设其方程为①由消去得因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以从而，化简得.方程〔*〕的两根为，从而因为在直线上，所以因此，线段PQ的中点坐标为②因为在直线上所以，即由①知，于是，所以因此的取值范围为16.【2023高考天津理数】〔本小题总分值14分〕设椭圆〔〕的右焦点为，右顶点为，，其中为原点，为椭圆的离心率.〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕设过点的直线与椭圆交于点〔不在轴上〕，垂直于的直线与交于点，与轴交于点，假设，且，求直线的斜率的取值范围.【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕【解析】〔Ⅰ〕解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.因此直线的方程为.设，由方程组消去，解得.在中，，即，化简得，即，解得或.所以，直线的斜率的取值范围为.17.【2023高考新课标3理数】抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．〔I〕假设在线段上，是的中点，证明；〔II〕假设的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕．【解析】由题设.设，那么，且.记过两点的直线为，那么的方程为......3分〔Ⅰ〕由于在线段上，故.记的斜率为，的斜率为，那么，所以.......5分〔Ⅱ〕设与轴的交点为，那么.由题设可得，所以〔舍去〕，.设满足条件的的中点为.当与轴不垂直时，由可得.而，所以.当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为.....12分18.【2023高考浙江理数】〔此题总分值15分〕如图，设椭圆〔a＞1〕.〔I〕求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长〔用a、k表示〕；〔II〕假设任意以点A〔0,1〕为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【答案】〔I〕；〔II〕．【解析】〔Ⅰ〕设直线被椭圆截得的线段为，由得，故，．因此．〔Ⅱ〕假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，，满足．记直线，的斜率分别为，，且，，．由〔Ⅰ〕知，，，故，所以．19.【2023高考新课标2理数】椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，．〔Ⅰ〕当时，求的面积；〔Ⅱ〕当时，求的取值范围．【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕.【解析】〔Ⅰ〕设，那么由题意知，当时，的方程为，.由及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.将代入得.解得或，所以.因此的面积.〔Ⅱ〕由题意，，.将直线的方程代入得.由得，故.由题设，直线的方程为，故同理可得，由得，即.当时上式不成立，因此.等价于，即.由此得，或，解得.因此的取值范围是.20.【2023年高考北京理数】〔本小题14分〕椭圆C：〔〕的离心率为，，，，的面积为1.〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕设的椭圆上一点，直线与轴交于点M，直线PB与轴交于点N.求证：为定值.【答案】〔1〕；〔2〕详见解析.【解析】〔Ⅰ〕由题意得解得.所以椭圆的方程为.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，，设，那么.当时，直线的方程为.令，得，从而.直线的方程为.令，得，从而.所以.当时，，所以.综上，为定值.21.【2023年高考四川理数】〔本小题总分值13分〕椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线与椭圆E有且只有一个公共点T.〔Ⅰ〕求椭圆E的方程及点T的坐标；〔Ⅱ〕设O是坐标原点，直线l’平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数，使得，并求的值.【答案】〔Ⅰ〕，点T坐标为〔2,1〕；〔Ⅱ〕.〔II〕由可设直线的方程为，有方程组可得所以P点坐标为〔〕，.设点A，B的坐标分别为.由方程组可得.②方程②的判别式为，由，解得.由②得.所以，同理，所以.故存在常数，使得.22.【2023高考上海理数】〔此题总分值14分〕此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分.双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点。〔1〕假设的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；〔2〕设，假设的斜率存在，且，求的斜率.【答案】〔1〕．〔2〕.【解析】〔1〕设．由题意，，，，因为是等边三角形，所以，即，解得．故双曲线的渐近线方程为．〔2〕由，，．设，，直线．显然．由，得．因为与双曲线交于两点，所以，且．设的中点为．由即，知，故．而，，，所以，得，故的斜率为．1．(2023·陕西，20)椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为eq\f(1,2)c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝eq\f(5,2)的一条直径，假设椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．解(1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，那么原点O到该直线的距离d＝eq\f(bc,\r(b2＋c2))＝eq\f(bc,a)，由d＝eq\f(1,2)c，得a＝2b＝2eq\r(a2－c2)，解得离心率eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).(2)法一由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①依题意，圆心M(－2，1)是线段AB的中点，且|AB|＝eq\r(10)，易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1＋x2＝－eq\f(8k〔2k＋1〕,1＋4k2)，x1x2＝eq\f(4〔2k＋1〕2－4b2,1＋4k2)，由x1＋x2＝－4，得－eq\f(8k〔2k＋1〕,1＋4k2)＝－4，解得k＝eq\f(1,2)，从而x1x2＝8－2b2，于是|AB|＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))|x1－x2|＝eq\f(\r(5),2)eq\r(〔x1＋x2〕2－4x1x2)＝eq\r(10〔b2－2〕)，由|AB|＝eq\r(10)，得eq\r(10〔b2－2〕)＝eq\r(10)，解得b2＝3，故椭圆E的方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1.于是|AB|＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))|x1－x2|＝eq\f(\r(5),2)eq\r(〔x1＋x2〕2－4x1x2)＝eq\r(10〔b2－2〕).由|AB|＝eq\r(10)，得eq\r(10〔b2－2〕)＝eq\r(10)，解得b2＝3，故椭圆E的方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1.2．(2023·广东，7)双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq\f(5,4)，且其右焦点为F2(5，0)，那么双曲线C的方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 D.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1解析因为所求双曲线的右焦点为F2(5，0)且离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，应选B.答案B3．(2023·新课标全国Ⅰ，5)M(x0，y0)是双曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，假设eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))<0，那么y0的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))解析由题意知M在双曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝1上，又在x2＋y2＝3内部，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)－y2＝1，,x2＋y2＝3，))得y＝±eq\f(\r(3),3)，所以－eq\f(\r(3),3)<y0<eq\f(\r(3),3).答案A4．(2023·浙江，9)双曲线eq\f(x2,2)－y2＝1的焦距是______，渐近线方程是______．解析由双曲线方程得a2＝2，b2＝1，∴c2＝3，∴焦距为2eq\r(3)，渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),2)x.答案2eq\r(3)y＝±eq\f(\r(2),2)x5．(2023·北京，10)双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)的一条渐近线为eq\r(3)x＋y＝0，那么a＝________．解析双曲线渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，∴eq\f(b,a)＝eq\r(3)，又b＝1，∴a＝eq\f(\r(3),3).答案eq\f(\r(3),3)6．(2023·湖南，13)设F是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一个焦点，假设C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，那么C的离心率为________．解析不妨设F(c，0)，那么由条件知P(－c，±2b)，代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1得eq\f(c2,a2)＝5，∴e＝eq\r(5).答案eq\r(5)7．(2023·江苏，12)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．假设点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，那么实数c的最大值为________．解析双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线的距离d＝eq\f(|1－0|,\r(12＋12))＝eq\f(\r(2),2).由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤eq\f(\r(2),2)，故c的最大值为eq\f(\r(2),2).答案eq\f(\r(2),2)8．(2023·浙江，5)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，那么△BCF与△ACF的面积之比是()A.eq\f(|BF|－1,|AF|－1) B.eq\f(|BF|2－1,|AF|2－1)C.eq\f(|BF|＋1,|AF|＋1) D.eq\f(|BF|2＋1,|AF|2＋1)解析由图象知eq\f(S△BCF,S△ACF)＝eq\f(|BC|,|AC|)＝eq\f(xB,xA)，由抛物线的性质知|BF|＝xB＋1，|AF|＝xA＋1，∴xB＝|BF|－1，xA＝|AF|－1，∴eq\f(S△BCF,S△ACF)＝eq\f(|BF|－1,|AF|－1).应选A.答案A9．(2023·新课标全国Ⅰ，20)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝eq\f(x2,4)与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．解(1)由题设可得M(2eq\r(a)，a)，N(－2eq\r(a)，a)，或M(－2eq\r(a)，a)，N(2eq\r(a)，a)．又y′＝eq\f(x,2)，故y＝eq\f(x2,4)在x＝2eq\r(a)处的导数值为eq\r(a)，C在点(2eq\r(a)，a)处的切线方程为y－a＝eq\r(a)(x－2eq\r(a))，即eq\r(a)x－y－a＝0.y＝eq\f(x2,4)在x＝－2eq\r(a)处的导数值为－eq\r(a)，C在点(－2eq\r(a)，a)处的切线方程为y－a＝－eq\r(a)(x＋2eq\r(a))，即eq\r(a)x＋y＋a＝0.故所求切线方程为eq\r(a)x－y－a＝0和eq\r(a)x＋y＋a＝0.1.【2023高考福建卷第9题】设分别为和椭圆上的点，那么两点间的最大距离是〔〕B.C.D.【答案】D【解析】依题意两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上;圆的半径.设.圆心到椭圆的最大距离.所以两点间的最大距离是.应选D.2.【2023高考广东卷理第4题】假设实数满足，那么曲线与曲线的〔〕A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等【答案】D【解析】，那么，，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，因此，两双曲线的焦距相等，应选D.【考点定位】双曲线3.【2023高考湖北卷理第9题】是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,那么椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为〔〕A.B.C.3D.2【答案】A【解析】设椭圆方程为，双曲线方程为〔〕，半焦距为，由面积公式得，所以，令，，为参数，所以.所以椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为，应选A.【考点定位】椭圆、双曲线4.【2023高考湖南卷第15题】如图4，正方形和正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过两点，那么.【答案】【解析】由题可得,因为在抛物线上,所以,故填.【考点定位】抛物线5.【2023江西高考理第16题】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，假设是线段的中点，那么椭圆的离心率为.【答案】【解析】设，那么由两式相减变形得：即，从而【考点定位】椭圆6.【2023辽宁高考理第10题】点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，那么直线BF的斜率为〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】由于点在抛物线C：的准线上，所以，设直线AB的方程为，将与联立，即，那么〔负值舍去〕，将k=2代入得y=8，即可求出x=8，故B〔8,8〕，所以，应选D.【考点定位】抛物线。7.【2023辽宁高考理第15题】椭圆C：，点M与C的焦点不重合，假设M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，那么.【答案】12【考点定位】椭圆8.【2023全国1高考理第4题】为双曲线