全国大学生数学建模竞赛优秀论文选之体能测试时间安排1

...10/10体能测试时间安排摘要：本文讨论了体能测试时间安排的优化模型。基于不同的考虑,分别得到如下模型：模型Ⅰ：对体能测试的五个项目运依据"排列论"的相关知识,利用相应的模型计算方法,得到每名学生测试完时的平均等待时间。模型Ⅱ：优先考虑测试场地的最大容量,并且场地得到充分利用。根据SAS系统procunivariate过程,做出所有参加体能测试的班级人数的"茎叶图"〔班级人数茎叶图表,并对其数据进行分析。并利用组合知识对所有班级分组<表2>,此时考虑每项测量仪器的数量以及每个学生完成测试所用的平均时间,对每次进入测试的班级进行测试仪器的分配。依据相关数据,做出各班参加体能测试的具体时间安排表。模型Ⅲ：优先考虑测试时间,将测试过程分成两个阶段。设每次进一个班,根据体能测试所需的条件,列出相应的关系式。由"模型Ⅱ"的"茎叶图"所得的数据,运用LINGO软件和Mathmatica软件进行计算,得出较精确的体能测试时间安排表<表5>。最后通过对模型Ⅰ、模型Ⅱ、模型Ⅲ进行分析和评价,得出较符合实际的体能测试的方案。关键词：排队论茎叶图类举法一、问题重述如今大学生体质下降是一个普遍问题,一些学生常常睡懒觉、不锻炼,还养成了抽烟、喝酒、长期上网等不良生活习惯。既耽误学习又对身体非常不利。在此情况下,某学校为了解学生的身体状况,按照教学计划分别对各班学生进行身高与体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶试验共5个项目的体能测试。其相关数据如下：表1测试项目身高与体重立定跳远肺活量握力台阶试验服务时间10秒/人20秒/人20秒/人15秒/人210秒/5人仪器数量3台1台1台2台2台每个学生测试每个项目前要录入个人信息,即学号,平均需时5秒。若学号相连便可省去录入时间。另外,学校安排每天的测试时间为8：00－12：10与13：30－16：45两个时间段。5项测试都在最多容纳150个学生的小型场所进行,测试项目没有固定的先后顺序。但要保证同一班的所有学生在同一时间段内完成所有项目的测试。并且在整个测试所需时间段数最少的条件下,尽量节省学生的等待时间。用数学符号和语言表述各班测试时间安排问题,并给出算法。尽量用清晰、直观的图表形式为学校工作人员及各班学生表示出测试时间的安排计划。根据所列模型对学校以后的体能测试在可以引进各项测量仪器的数量和调整测试场所的人员容量的条件下,设计一个最优的体能测试时间安排计划。二、问题假设测试的每台测试仪器在测试时均正常运行。各班学生人数均准时到达,且没有缺勤人数。天气情况对体能测试没有影响。测试员本身对本次测试的时间没有影响。测试同一项目的仪器并排放在一起。三、符号说明指数函数的参数身高与体重项目测试立定跳远项目肺活量项目握力项目台阶测试项目单台身高与体重项目仪器测试一次的时间单台立定跳远项目仪器测试一次的时间单台肺活量项目仪器测试一次的时间单台握力项目仪器测试一次的时间单台台阶测试仪器测试一次的时间身高与体重项目仪器测试一名学生所用的平均时间立定跳远项目仪器测试一名学生所用的平均时间肺活量项目仪器测试一名学生所用的平均时间握力项目仪器测试一名学生所用的平均时间台阶测试项目仪器测试一名学生所用的平均时间第i组进行整个体能测试过程所需的总时间第i组的总人数录入学号的时间5s全班人完成所有项目的等待时间全班人完成所有项目的测试时间模型三第一阶段参加台阶试验的人数每一个班级人数完成模型三第一阶段的时间模型三第一阶段两个测试过程其中只有一个未完成的等待时间模型三第一阶段中身高与体重、立定跳远、肺活量、握力的等待时间模型三第一阶段中台阶试验的等待时间完成模型三第一阶段身高与体重、立定跳远、肺活量、握力的完成模型三第一阶段中台阶试验的时间模型三第二阶段两个测试过程其中只有一个未完成的等待时间模型三第一阶段中身高与体重、立定跳远、肺活量、握力的等待时间模型三第二阶段中台阶试验的等待时间完成模型三第二阶段身高与体重、立定跳远、肺活量、握力的时间完成模型三第二阶段中台阶试验的时间模型三第一阶段录入学号的时间模型三第二阶段录入学号的时间完成模型三第二阶段的时间四、模型的分析与建立模型Ⅰ：假设学生测试每个项目为随机变量,每个项目学生到来的间隔时间服从参数为的指数分布。每个项目的服务时间服从定长分布,对每个测试项目分别运用"排队论"知识[1-2],其模型为。由题意的已知条件表1可得：〔一单服务台系统服务台顾客到达排队服务台顾客离去〔二多服务台系统服务台服务台服务台顾客到达服务台排队顾客离去服务台服务台由上图可知：系统中的顾客可看作学生,服务台可看作测试仪器。从而,立定跳远、肺活量的测试项目可以看作系统〔一；身高与体重、握力和台阶试验的测试项目可以看作系统〔二。立定跳远、肺活量的系统,由排队论原理,根据表1得：服务时间的数学期望为：=20即=,方差为,。对于身高与体重、握力和台阶试验的系统可做如下简化实验：把多服务台系统可近似看成服务时间同比减少的单服务台系统,由排队论理论和表1得：此三种测试的服务时间的数学期望分别为：,方差均为,。令,,可证得,即以上系统均为稳定的。现设顾客平均等待时间为：,对于立定跳远、肺活量的系统：T0==,对于握力的系统：T1==,对于身高和体重的系统：T2==,对于台阶测试系统：T3==,每个学生的总的等待时间：T=2*T0+T1+T2+T3=2*+++,代入得。若考虑录入学号的时间,每个人平均的等待时间,则有。模型Ⅱ：优先考虑测试场地最多能容纳150人,并且场地得到充分利用。利用SAS系统procunivariate过程,对所有参加体能测试的人数与班级〔附件一的相关数据进行处理,作出"茎叶图"。班级人数茎叶图表：对〔班级人数茎叶图表中数据进行分析,利用组合知识[2]分别将56个班级进行分组,使每次进场尽量满足人数为150人时,但由于测试项目只有5个,为了尽量减少等待时间,所以每小组最多4个班级。并根据上下午的时间安排,得到如下分组情况〔表2。表2身高与体重测量仪器3台,每台仪器每个学生的平均测试时间为10秒。立定跳远测量仪器与肺活量测量仪器各1台,每台仪器每个学生的平均测试时间皆为20秒。握力测量仪器2台,每台仪器每个学生的平均测试时间为15秒。台阶试验测量仪器2台,每台仪器一次测试5个学生,需要3分30秒。由上可得:：由上面数据得出：台阶测试所需时间最长,理论上当每小组中的所有班级的台阶测试项目完成时,其余项目也应该测试完,即完成了整个体能测试过程。在整个测试过程中把每个班看作整体来考虑,即每个班的学生都完成该项目的测试后,才进行下一项目的测试。1.每小组的班级安排如下：<第1组>班级1238人数41454420因为台阶测试时间最长,所以选取这一小组中人数最少的班级先测试该项目,即让8班学生先进行台阶项目测试。身高与体重项目所需测试时间最少,选取这一小组中人数最多的班级先测试该项目,即让2班学生先进行身高与体重项目。这样才能尽可能缩短学生的等待时间。同样用以上方法分配2--15组中的班级进行体能测试。2.时间段的确定由上述所知,只要求得每小组所有班级进行完台阶测试所需的总时间,即为这一小组进行整个体能测试的时间。即。因为在台阶试验中,有两台仪器对学生进行测试,所以每个班级至少要进行两次学号的录入,即每班录入学号的时间最少为10s。〔此时忽略班与班之间、小组与小组之间互换的时间。依次对每组的测试时间按上式进行计算,按时间段进行时间累计,进而计算出各组进行体能测试的如下具体时间安排表。体能测试时间安排表：模型Ⅲ现考虑分组测试时的时间安排问题。1.分组原则：保证每组成员的学号相连。2.考虑测试项目的耗时性：由表1和模型Ⅱ计算可知台阶试验耗时最多,但是可以成批测试学生。3.以台阶试验为优先考虑对象,把测试过程看作两个阶段：设n为各班人数.为便于求解,设.第一阶段〔人进行身高与体重、立定跳远、肺活量、握力项目的测试,人进行台阶试验项目的测试。第二阶段人进行身高与体重、立定跳远、肺活量、握力项目的测试,人进行台阶试验项目的测试。每个人的状态可分为测试1、测试2、等待时间〔录学号的时间另行计算。由以上可得：代入相关数据并化简得运用LINGO软件[4]求解：得到表3班号人数wq班号人数wq班号人数wq55178.2926838.707317203517.0731717.92683464220.487821.512256178.2926838.707317263617.5609818.43902494220.487821.512252199.2682939.731707113718.0487818.95122514220.487821.51228209.75609810.2439383718.0487818.95122474320.9756122.024399209.75609810.2439433718.0487818.9512234421.4634122.5365917209.75609810.2439213818.5365919.4634144421.4634122.5365927209.75609810.2439223818.5365919.4634164421.4634122.5365935209.75609810.2439393818.5365919.46341164421.4634122.5365936209.75609810.2439103818.5365919.46341374421.4634122.53659282411.7073212.29268193919.0243919.97561134521.9512223.04878122512.1951212.80488343919.0243919.97561144521.9512223.04878242512.1951212.80488403919.0243919.97561154521.9512223.0487852612.6829313.31707533919.0243919.97561504521.9512223.04878232813.6585414.34146424019.512220.487824521.9512223.04878183014.6341515.365851412021445024.3902425.60976253014.6341515.3658531412021455024.3902425.60976293215.6097616.3902448412021335124.8780526.12195303316.0975616.9024474220.487821.5122547536.5853738.41463323316.0975616.90244414220.487821.5122为时,第一阶段参加台阶测试的人数。为时,第一阶段参加台阶测试的人数。由上近似可知的线性关系如下然后根据测试时间,等待时间优化上述函数关系。直接计算,很难得出结果,故采用"类举法",带入程序。运用程序计算得下表表4班级人数102030频数302010班级人数等待时间〔s测试时间〔s等待时间〔s测试时间<s>等待时间〔s测试时间〔s等待时间〔s测试时间〔s等待时间〔s测试时间〔s等待时间〔s测试时间〔s1746984202326858123025618820227291107371959664201428312123027052820240681148382066604206429806123028526820254451189392487805741061682011313401230273608202686012304025962861511530820233291412302883386128313127141261051865612484820153452812303034490229804131242281238873814512820113618212303189394331333135343301442082016700820178001230253787612303348098432900139444321660490219048820201881230153961012303510510253450514354533177539432028282021442123022488801230438001230431001640503520165102522870820240701230115085412304565312714493316815136214281066242248202544412301110252518451015252255100325266575优先考虑测试时间,选择其中测试时间短的分配方案。对于测试时间相同的方案考虑等待时间,其中时间短的为最佳方案。分析上表可得出当n值确定时,较合理的m值,则m,n的关系可以优化。如下下面给出一种按上述方案分组的具体每班进行测试的时间安排计划表表5班号人数测试时间<s>开始时间终止时间班号人数测试时间开始时间终止时间1418618:008:14'21393882015:39'3915:52'1924510258:14'218:31'264550123015:52'1916:12'493449848:31'268:47'50433782016:12'4916:26'298204208:47'508:54'50243582016:26'2916:40'94449848:54'509:11008:17'55266569:11'149:22'1022388208:17'58:30'456449849:22'109:38'3456174208:30'458:37'4526368209:38'349:52'1429328208:37'458:51'257429029:52'1410:7'1630338208:51'259:5'592042010:7'1610:14'1631418619:5'59:19'26103882010:14'1610:27'5637449849:19'269:35'504450123010:27'5610:48'2632338209:35'509:49'30113782010:48'2611:1'4634398209:49'3010:2'10122561511:1'4611:12'1383782010:2'1010:15'501345102511:12'111:29'6484186110:15'5010:30'11474394311:29'611:44'50213882010:30'1110:43'51272042011:44'5011:51'50232873810:43'5110:56'9514290211:51'5012:6'2464290210:56'911:11'11362042013:3013:37494290211:11'1111:263713:44193982011:26'1311:39'531445102513:4414:1'5403982011:39'5311:53'331545102514:1'514:18'10352042011:53'3312:7'33183082014:18'1014:31'50414290213:3013:45'2253082014:31'5014:45'305475184513:45'214:15'47164498414:45'3015:1'54282457414:15'4714:25'21172042015:1'5415:8'54424082014:25'2114:39'1203582015:8'5415:22'34521942014:39'114:4622'3415:39'39533982014:46'114:59'41五模型的分析和评价1.模型Ⅰ利用排队论理论和近似思想得到了一些有意义的结果。但是此模型与实际情况不很符合,这将是以后的改进方向。2.模型Ⅱ从最基础的方面考虑,得到了比较理想的结论,其局限性在于得出的相关数据适用于班数较少时的时间安排。3.模型Ⅲ采用分组的分配方案,同时分解总测试过程,得出较合理的人员分配。4.分析表1身高与体重台阶试验10秒/人210秒/5人3台2台可知该学校引进的仪器数量问题值得商榷。由模型Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ可知：每一种方案在仪器的分配,测试场地的选择,班级人数的分派上都有一定的理想化,因此,要得到一种较为合理的方案,需要从仪器数量的分配,场地的选择以及人员的分派问题上着手。综合考虑测试时间的安排,最理想的方案应满足：测试过程中不存在仪器的空闲和学生的总的等待时间最少等这两个约束条件。再次变量说明：测试、身高与体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶试验5个项目的仪器台数分别为台。测试身高与体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶试验的人数为人。作图描述如下：测试项目身高与体重立定跳远肺活量握力台阶试验AA…ABB…BCC…CDD…DEE…Enmopq现把测试过程分为5个阶段,即循环测试。如表6所示：表6测试项目身高与体重立定跳远肺活量握力台阶试验参加测试项目的人数第一阶段nAmBoCpDqE第二阶段qEnAmBoCpD第三阶段pDqEnAmBoC第四阶段oCpDqEnAmB第五阶段mBoCpDqEnA分析：测试台阶项目的最小时间为210秒,若达到合理,即不存在测试台阶仪器的空闲。保证在210秒内,每个项目完成的人数相同为qE,此时,五个阶段的测试完〔h人都测试完五项时间相等。都为210秒。且存在qE可被5整除〔忽略录入学号时间的影响。运用类举法列表如下：符号说明：R测试场所最大容量Th人都测试完五项的时间W总的等待时间表7qqE21n10.5m10.5o14pRTW151111251050165.55.5925752101111501050110.50.54190031512227510506661374254202222100105022118760052523321251050175.55.531087563023331501050121.51.5121080073524431751050777715925840244320010502222520094535542251050187.57.51129025105035542501050132.52.5616000由表7可得：随着qE的增大,测试时间不变,而等待时间呈上升趋势,测试所用的仪器也增多,所要求的测试场所总容量也变大。下面为给出一种较优的时间安排计划：规定R=200〔不考虑仪器问题,由表7可得出：表8qqE2110.5m10.5o14pRTW8402443200105022225200上表即为所求。在此条件下：身高与体重、立定跳远、肺活量、握力项目的仪器台数为2台。台阶项目的仪器台数为8台。且测试身高与体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶试验的人数均为40人,安排如下：表9时间段班号开始测试时间终止时间上午123458：008：17’67852548：17’8:3510131141218:358:52’19202239448:52’9:1032333442439:109:27’48495051259:27’9:4514151618269:4510:2’293031374510:2’10