2023年高中数学专题突破练7几何概型新人教A版必修3

专题7几何概型1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(根本领件)有无限多个．(2)每个根本领件出现的可能性相等．3．几何概型的概率公式P(A)＝eq\f(构成事件A的区域长度〔面积或体积〕,试验的全部结果所构成的区域长度〔面积或体积〕).例1某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠3分钟．(1)求乘客到站候车时间大于10分钟的概率；(2)求候车时间不超过10分钟的概率；(3)求乘客到达车站立即上车的概率．变式训练1在等腰Rt△ABC中，在斜边AB上取一点M，那么AM的长小于AC的长的概率为()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\r(2)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(\r(2),3)例2向面积为S的△ABC内任意投一点P，那么△PBC的面积小于eq\f(S,2)的概率是多少？变式训练2如下列图，在半径为1的半圆内放置一个边长为eq\f(1,2)的正方形ABCD，向半圆内任投一点，那么该点落在正方形内的概率为________．例3正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，求使四棱锥M－ABCD的体积小于eq\f(1,6)的概率．变式训练3正三棱锥S－ABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M，试求点M到底面的距离小于eq\f(h,2)的概率．A级1．在1000mL水中有一只草履虫，现从中随机取出3mL水样放到显微镜下观察，那么发现草履虫的概率是()A．0.003B．0.03C．0.001D．0.52．在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边作正方形，那么此正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为()A.eq\f(1,16)B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,2)3．地铁列车每10min一班，在车站停1min，那么乘客到达站台立即乘上车的概率是()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,11)D.eq\f(1,8)4．在长为10厘米的线段AB上任取一点G，用AG为半径作圆，那么圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是()A.eq\f(9,25)B.eq\f(16,25)C.eq\f(3,10)D.eq\f(1,5)5．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，假设随机向圆面上投一镖投中圆面，那么镖落在三角形内的概率为________．6．在区间[－2，4]上随机地取一个数x，假设x满足|x|≤m的概率为eq\f(5,6)，那么m＝________．7．在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为________．B级8．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是()A.eq\f(1,12)B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,16)D.eq\f(5,6)9．某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，那么他等车时间不超过10分钟的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)10．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．假设一名行人来到该路口遇到红灯，那么至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.eq\f(7,10)B.eq\f(5,8)C.eq\f(3,8)D.eq\f(3,10)11．两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，灯与两端距离都大于2m的概率为________．12．在长方体ABCD－A1B1C1D1中随机取点，那么点M落在四棱锥O－ABCD(O13．如下图的大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，求飞镖落在阴影局部的概率．14.如图，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．专题7几何概型典型例题例1解(1)如下图，设相邻两班车的发车时刻为T1、T2，T1T2＝15.设T0T2＝3，TT0＝10，记“乘客到站候车时间大于10分钟〞为事件A.那么当乘客到站时刻t落到T1T上时，事件A发生．∵T1T＝15－3－10＝2，T1T2＝15，∴P(A)＝eq\f(T1T,T1T2)＝eq\f(2,15).(2)如下图，当t落在TT2上时，候车时间不超过10分钟，故所求概率为eq\f(TT2,T1T2)＝eq\f(13,15).(3)如下图，当t落在T0T2上时，乘客立即上车，故所求概率为eq\f(T0T2,T1T2)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).变式训练1A[在AB上截取AC′＝AC.点M随机地落在线段AB上，故线段AB为区域D.当点M位于图中线段AC′上时，AM<AC.故线段AC′即为区域d.于是P(AM<AC)＝P(AM<AC′)＝eq\f(AC′,AB)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(\r(2),2).]例2解如下图，EF为△ABC的中位线，当点P落在四边形EFCB内时△PBC的面积小于eq\f(S,2)，总事件为△ABC的面积S，S四边形EFCB＝S△ABC－S△AEF＝S－eq\f(S,4)＝eq\f(3S,4).设满足条件的事件为事件A，那么P(A)＝eq\f(S四边形EFCB,S△ABC)＝eq\f(\f(3,4)S,S)＝eq\f(3,4).变式训练2eq\f(1,2π)解析S正＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，S半圆＝eq\f(1,2)π×12＝eq\f(π,2)，由几何概型的计算公式得所求的概率为eq\f(S正,S半圆)＝eq\f(\f(1,4),\f(π,2))＝eq\f(1,2π).例3解如图，正方体ABCD－A1B1C1D1设M－ABCD的高为h，那么eq\f(1,3)×S正方形ABCD×h<eq\f(1,6)，又S正方形ABCD＝1，∴h<eq\f(1,2)，即点M在正方体的下半局部，∴所求概率为eq\f(\f(1,2)V正方体,V正方体)＝eq\f(1,2).变式训练3解在SA、SB、SC上取点A1、B1、C1，使A1、B1、C1分别为SA、SB、SC的中点，那么当点M位于平面ABC和平面A1B1C1之间时，点M到底面的距离小于eq\f(h,2).设△ABC的面积为S′，由△ABC∽△A1B1C1且相似比为2，得△A1B1C1的面积为eq\f(S′,4).由题意，得三棱锥S－ABC的体积为eq\f(1,3)S′h，三棱台A1B1C1－ABC的体积为eq\f(1,3)S′h－eq\f(1,3)·eq\f(S′,4)·eq\f(h,2)＝eq\f(1,3)S′h·eq\f(7,8).故所求概率为eq\f(7,8).强化提高1．A[用“体积比〞公式计算其概率，记“发现草履虫〞为事件A，那么P(A)＝eq\f(3,1000)＝0.003.]2．C[正方形的面积介于36cm2与81cm2之间，所以正方形的边长介于6cm与9cm之间，线段AB的长度为12cm，故所求概率为eq\f(9－6,12)＝eq\f(1,4).]3．A[准确找出“两长度〞，套用相应公式．设“到达站台立即乘上车〞为事件A，试验的所有结果构成的区域长度为10min，而构成事件A的区域长度为1min，故P(A)＝eq\f(1,10).]4．D[以AG为半径作圆，面积介于36π平方厘米到64π平方厘米，那么AG的长度应介于6厘米到8厘米之间．∴所求概率P(A)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).]5.eq\f(3\r(3),4π)解析设圆面半径为R，如下图△ABC的面积S△ABC＝3·S△AOC＝3·eq\f(1,2)AC·OD＝3·CD·OD＝3·Rsin60°·Rcos60°＝eq\f(3\r(3)R2,4)，∴P＝eq\f(S△ABC,πR2)＝eq\f(3\r(3)R2,4πR2)＝eq\f(3\r(3),4π).6．3解析由|x|≤m，得－m≤x≤m.当m≤2时，由题意得eq\f(2m,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝2.5，矛盾，舍去．当2<m<4时，由题意得eq\f(m－〔－2〕,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝3.即m的值为3.7．1－eq\f(π,4)解析如图，要使图中点到O的距离大于1，那么该点需取在图中阴影局部，故概率P＝eq\f(2－\f(π,2),2)＝1－eq\f(π,4).8．C[由题意可知在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯〞的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P＝eq\f(5,80)＝eq\f(1,16).]9．B[如下图，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P＝eq\f(10＋10,40)＝eq\f(1,2)，应选B.]10．B[至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为eq\f(40－15,40)＝eq\f(5,8)，应选B.]11.eq\f(1,3)12.eq\f(1,6)13．解设阴影小正方形边长为x，那么在直角三角形中有22＋(x＋2)2＝(eq\r(13))2，解得x＝1或x＝－5(舍)，∴阴影局部面积为1