平面向量的运算讲义

专题2：平面向量的运算核心知识点1：向量的加法运算.向量的加法⑴定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.(2)三角形法则：如图甲所示，已知非零向量a(2)三角形法则：如图甲所示，已知非零向量a、b，在平面内任取一点，作宿=a,BC=b,则向量iC叫做向量a与b的和，记作a+b.这种求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则.⑶平行四边形法则：已知两个不共线向量a、b(如图乙所示)，作通=a,AD=b,则A、B、D三点不共线，以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，则向量AC=a+b,这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.【知识微点评】向量加法的平行四边形法则和三角形法则(1)在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量.(2)三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.当向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用了.⑶向量求和的多边形法则①已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和，这称为向量求和的多边形法则.即A0A1+A1A2+A2A3+…+An,-2An-1+An,-1An=A0An②首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为0..向量加法的交换律已知向量a、b,如图所示，作AB=a,BC=b,如果A、B、C不共线，则AC=a+b.

作AD=瓦连接DC如果我们能证明DC=用那么也就证明了加法交换律成立.由作图可知，AD=BC=瓦所以四边形ABCD是平行四边形，这就证明了DC=m即a+b=b+a.向量的加法满足交换律..向量加法的结合律如图，作AB=a,BC=b,CD=c，由向量加法的定义，知AC=AB+BC=a+b, 一，.:'■ ,■—>—>,-^ . L—L1 BD=BC+CD=b+c, 、I...1”所以AD=aC+CD=(a+b)+c,AD=,4B+BD=a+(b+c). "从而(a+b)+c=a+(b+c)，即向量的加法满足结合律.【知识微点评】.我们可以从位移的物理意义理解向量加法的交换律：一质点从点A出发，①先走过的位移为向量a,再走过的位移为向量b,②先走过的位移为向量b,再走过的位移为向量a，则方案①②中质点A一定会到达同一终点..多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行.如a+b)+(c+d)=(b+d)+(a+c);a+b+c+d+e=[d+(a+c)]+(b+e).核心知识点2:向量的减法运算1.相反向量定义如果两个向量长度相等，而方向相反那么称这两个向量是相反向量性质①对于相反向量有：a+(—a尸0②若a、b互为相反向量，则a=—b,a+b=0③零向量的相反向量仍是零向量2.向量的减法定义a—b=a+(—b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量作法在平面内任取一点。，作OA—a,OB—b,则向量ab—BA.如图所示几何意义如果才把两个向量a、b的起点放在一起，则a—b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量【知识微点评】1响量减法的三角形法则中，BA表示a-b,强调了差向量的“箭头”指向被减向量.即作非零向量a,b的差向量a—b可以简记为“共起点，连终点指向被减”..由上可知，可以用向量减法的三角形法则作差向量；也可以用向量减法的定义a—b=a+(—b)(即平行四边形法则)作差向量，显然，此法作图较烦琐..如图，以AB,AD为邻边作平行四边形ABCD,则两条对角线所对应的向量A<2=a+b,IDB=a一b,这一结论在以后的学习中应用非常广泛.核心知识点3:向量的数乘运算.向量的数乘定义一般地，实数X与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作Xa长度IXaI=IXIIaI方向X>0Xa的方向与a的方向相同X=0Xa=0X<0Xa的方向与a的方向相反.数乘的几何意义加的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小I丸I倍.【知识微点评】(1M是实数，a是向量，它们的积弱仍然是向量.实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如”+a,丸—a均没有意义.(2)对于非零向量a，当丸=H时，%表示a方向上的单位向量.IaI(3)注意向量数乘的特殊情况：①若丸=0,则^a=0；②若a=0,则^a=0.应该特别注意的是结果是向量0,而非实数0..向量数乘的运算律向量的数乘运算满足下列运算律：设入〃为实数，则(1)X(pa)=(A〃)a；(2)(A+〃)a=^a+/m；(3)A(a+b)=^a+Ab(分配律).特别地，我们有(一X)a=—(Xa)=X(―a),X(a-b)=Xa一Xb..共线向量定理向量a(aW0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数X,使b=Xa..向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量ab以及任意实数X、/p/2,恒有X&1a±/2b)=Xp1a±Xp2b.【知识微点评】

向量共线定理的理解注意点及主要应用.定理中aW0不能漏掉.若a=b=0,则实数丸可以是任意实数；若a=0,bW0,则不存在实数九使得b=2a.这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t,s,使ta+sb=0,则a与b共线；若两个非零向量a与b不共线，且ta+sb=0,则必有t=s=0.核心知识点4:向量的数量积.平面向量的数量积的定义定义已知两个非零向量a与b,我们把数量aIIbIcos6叫做a与b的数量积(或内积)，其中6是a与b的夹角记法记作ab即a•b=IIaIIbIcos6规定零向量与任一向量的数量积为0投影IaIcos6(IIbIcos6)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影几何意义数量积a•b等于a的长度aI与b在a的方向上的投影IbIcos6的乘积.两个向量数量积的性质设a、b都是非零向量，(1)a±ba•b=0.(2)当a与b同向时，a-b=laIIIbl；当a与b反向时，a•b=—IaIIIbl.特别地，a-a=a2=1a|2或a=\；a-a.(3)la•bKIaIIbI..平面向量数量积的运算律已知向量a、b、c和实数九(1)交换律：a•b=b•a.(2)结合律：(^a)•b=A(a•b)=a•(^b).(3)分配律：(a+b)•c=a•c+b•c.必考必会题型1：向量的加减法运算0A+OB+。匚+0DTOC\o"1-5"\h\z【典型例题】设M是ABCD的对角线的交点，O为任意一点，则 等于( )T T T TOM OM OM 0MA. B.2 C.3 D.4—> —> TT月B4ME+80+QM【题型强化】1.化简( ) 的结果为一.2.一条河宽40km，一船从A出发垂直到达正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12km/h，则船到达B处所需时间为【名师点睛】向量的加减法运算有如下方法:

【名师点睛】向量的加减法运算有如下方法:（1）利用相反向量统一成加法（相当于向量求和）；OA-OB=BA2）运用减法公式 （正用或逆用均可）；⑶运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以其中一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同起点的向量问题.必考必会题型2:三角形（平行四边形）法则的应用a0c【典型例题】如图，用，，-表示下列向量.e-□f—dd—§.(1) "；(2) ；(3).GA+GB+GC=Q2.G为乙ABC内一点，若 ，求证：点G是^ABC的重心.【名师点睛】 利用已知向量表示其他向量的思路：解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量加法、减法和共线（相等）向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系.当运用三角形法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法.常用结论：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和 （差），即 所以及AB=NB-N2（M，N均是同一平面内的任意点）.必考必会题型3:向量的线性运算【典型例题】下列四个等式:丁二b= 口 _彳—W月日+SC+CA=D三十丁二① ；②-（“）一二③ ；④」（其中正确的是（填序号）.其中正确的是（填序号）.，则用，【题型强化】1.已知点E,F分别为四边形ABCD的对角线AC,BD的中点，设，则用，AB=a8c=BCA=ca+ c=【收官验收】在^ABC中， ， ，，则.2.解决向量的线性运算问题的基本方法：向量的数乘运算类似于实数运算，遵循括号内的运算优先的原则，将相同的向量看作“同类项”进行合并.要注意向量的数乘所得结果仍是向量，同时要在理解其几何意义的基础上，熟练运用运算律响量的线性运算也可以通过方程形式来考查，把所求向量当作未知量，利用解代数方程（组）的方法求解.必考必会题型4:用已知向量表示相关向量AC=~aBD=bI0ABBC【典型例题】如图，在ABCD中，设对角线 ， ，试用“，表示，fifi[2£ECd7EC（3）用"，,-表示；（4）用，一表示.【名师点睛】用已知向量表示相关向量的基本思路:

用已知向量来表示其他向量是解向量相关问题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形对应边成比例等，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.必考必会题型5:向量共线定理的应用a8【典型例题】已知,是不共线的向量，AB-a用已知向量来表示其他向量是解向量相关问题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形对应边成比例等，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.必考必会题型5:向量共线定理的应用a8【典型例题】已知,是不共线的向量，AB-a+5AC-a45且入1 , 入2（入，%eR）.若A,B,C三点共线，则入1入2=【题型强化】1,已知"2%c=2e-j+3e2a=mb4tm?',一"且 ，则Um+n=a5 a+5a—kii2.设向量，不共线，向量与2共线则实数k=（A.-2B.-1C.1D.2E=Aff使得，则向量【名师点睛】解决向量共线的判定问题的基本方法:E=Aff使得，则向量.证明三点共线，通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据.丽就屈.若A，B，C三点共线，则向量 在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据.必考必会题型6:向量线性运算在三角形中的运用qp=dk-F第+显【典型例题】O是平面上一定点，AABC中AB=AC,一动点P满足： 入（ ），入C（0,+8）,则直线AP通过△ABC的—（请在横线上填入正确的编号）①外心 ②内心 ③重心 ④垂心.QP=【题型强化】1.O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足且入W1,则点P的轨迹一定通过“BC的—（填重心，垂心，外心或内心）2.已知4ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,O为^ABC内一点，若分别

满足下列四个条件:②tanA,40B4 0C=0tanB,OA^r③sin2A" ;OB4sin2B•sin2C,0A+④则点O分别为△ABC的()A.外心、内心、垂心、重心B.内心、外心、垂心、重心仁垂心、内心、重心、外心D.内心、垂心、外心、重心【名师点睛】三角形的四心:⑴三角形的内心：三角形内切圆的圆心，三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等(2)三角形的外心：三角形外接圆的圆心，三角形三条边的中垂线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相|丽二I =I满足下列四个条件:②tanA,40B4 0C=0tanB,OA^r③sin2A" ;OB4sin2B•sin2C,0A+④则点O分别为△ABC的()A.外心、内心、垂心、重心B.内心、外心、垂心、重心仁垂心、内心、重心、外心D.内心、垂心、外心、重心【名师点睛】三角形的四心:⑴三角形的内心：三角形内切圆的圆心，三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等(2)三角形的外心：三角形外接圆的圆心，三角形三条边的中垂线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相|丽二I =IjifC]等.若M是^ABC内一点，满足 ，则点M为^ABC的外心.(3)三角形的垂心：三角形三条鬲线的交点.璃十面+死=0(4)三角形的重心：三角形三条中线的交点.若G是匕ABC内一点，且满足，贝G是4ABC的重心.必考必会题型7:向量数量积的运算7T【典型例题】在直角三角形ABC中，NC,AC=3,取点D使CDCA=则-A.6B.C.27D.36―^9【题型强化】1.P|=II=4<□60°1=(A.4B.C.37D.13ACBC2.三角形ABC中，II=II=1AB则SC4CSCA的值是(A.1B.-1C.D.【名师点睛】求向量的数量积的两个关键点:求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.解决平面几何图形中的向量数量积问题的基本思路解决平面几何图形中的向量数量积问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要

指具有特殊夹角或已知长度的向量.对于以图形为背景的向量数量积的题目，解题时要充分把握图形的特征.必考必会题型8:向量的夹角TTTT Tt0 6 ba4-6的夹角为（30°60°150°120°【题型强化…向量”的夹角为60°口|因=乙叫=1且的夹角等于（ ）150°90°6的夹角为（30°60°150°120°【题型强化…向量”的夹角为60°口|因=乙叫=1且的夹角等于（ ）150°90°60°30°、aa a—白2.设向量， 满足II=I1=1及I32Ia5则，的夹角为【名师点睛】求两向量夹角的基本思路:c&sQ——同求两非零向量的夹角0或其余弦值一般利用夹角公式式“求解.据题中条件分别求出&£&£曲用］cos9>0确定0时要注意 ，当 时，建"）；当…，"E（烈当此外，往往将夹角的最值问题转化为模的范围研究，因此基本不等式是重要的工具必考必会题型9:向量的模【典型例题】图中，小正方形的边长为18 EF,【典型例题】图中，小正方形的边长为18 EF,II=,II=【题型强化】1.已知三个非零平面向量'」,0£ a,一两两夹角相同，且「I=1,b£ ci—b£II=2,「I=3,则I23-IADJ3AB=aSC=bBD=ca+c2.如图所示，已知矩形ABCD中，II=4…，设， ，，那么I I的大小为【名师点睛】解决与向量的模有关的问题的基本思路：""一"一1或"="’"是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据.这种通过求自身的数量积从而求模的思想是解决向量的模的问题的主要方法.此外，根据平面图形求向量的模时，注意利用图形的性质对向量的数量积或夹角等进行转化.【课后巩固】.三角形ABC所在平面内一点P满足PA.PB=PB.PC=PC.PA，那么点P是三角形ABC的（ ）A.重心 B.垂心 C.外心 口.内心.点P是AABC所在平面上一点，满足P"P牛|PB+PC-2PA\=0，则AABC的形状是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 一D7边三角J一.著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O,H分别是△ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则（ ）A.AB+AC=3HM+3MO B.AB+AC=3HM-3MOC.AB+AC=2HM+4MO D.AB+AC=2HM-4MO.O为平面上的定点，