甘肃省兰州市2023年高考数学一模试卷(解析版)(理科)

2023年甘肃省兰州市高考数学一模试卷〔理科〕一、选择题〔此题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．集合M={x|〔x﹣3〕〔x+1〕≥0}，N={x|﹣2≤x≤2}，那么M∩N=〔〕A．[﹣2，﹣1] B．[﹣1，2] C．[﹣1，1] D．[1，2]2．复数z满足〔3﹣4i〕z=25，那么z=〔〕A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i3．等差数列{an}的前n项和为Sn，假设a3+a5+a7=24，那么S9=〔〕A．36 B．72 C．C144 D．2884．某种商品的广告费支出x〔单位；万元〕与销售额y〔单位：万元〕之间有如下对应数据：x24568y304050m70根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为=6.5x+17.5，那么表中m的值为〔〕A．45 B．50 C．55 D．605．以下命题中，真命题为〔〕A．∃x0∈R，e≤0B．∀x∈R，2x＞x2C．a，b为实数，那么a+b=0的充要条件是=﹣1D．a，b为实数，那么a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件．6．某几何体三视图如下图，那么该几何体的外表积为〔〕A．〔9+〕π B．〔9+2〕π C．〔10+〕π D．〔10+2〕π7．设变量x，y满足不等式组，那么x2+y2的最小值是〔〕A． B． C． D．58．如图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著?九章算术?中的〞更相减损术“．执行该程序框图，假设输入a，b，i的值分别为6，8，0时，那么输出的i=〔〕A．3 B．4 C．5 D．69．圆C：〔x﹣〕2+〔y﹣1〕2=1和两点A〔﹣t，0〕，B〔t，0〕〔t＞0〕，假设圆C上存在点P，使得∠APB=90°，那么当t取得最大值时，点P的坐标是〔〕A．〔，〕 B．〔，〕 C．〔，〕 D．〔，〕10．函数f〔x〕=sin〔ωx+φ〕〔x∈R，ω＞0，|φ|＜〕的局部图象如下图，如果x1+x2=，那么f〔x1〕+f〔x2〕=〔〕A． B． C．0 D．﹣11．F1、F2为双曲线C：﹣=1〔a＞0，b＞0〕的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，直线PF1与圆x2+y2=a2相切，且|PF2|=|F1F2|，那么双曲线C的离心率为〔〕A． B． C． D．212．设函数f〔x〕在R上的导函数为f′〔x〕，对∀x∈R有f〔x〕+f〔﹣x〕=x2，在〔0，+∞〕上f′〔x〕﹣x＜0，假设f〔4﹣m〕﹣f〔m〕≥8﹣4m，那么实数m的取值范围是〔〕A．[2，+∞〕 B．〔﹣∞，2] C．〔﹣∞，2]∪[2，+∞〕 D．[﹣2，2]二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共40分〕13．cos2165°﹣sin215°=．14．的展开式中，x2项的系数为．〔用数字作答〕15．在三棱锥P﹣ABC中，VP﹣ABC=，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为．16．数列{an}中，a1=1，Sn为数列{an}的前n项和，且当n≥2时，有=1成立，那么S2023=．三、解答题17．〔12分〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．〔1〕求角A的大小；〔2〕假设，求△ABC的面积．18．〔12分〕随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，〞延迟退休“已经成为人们越来越关注的话题，为了解公众对“延迟退休〞的态度，某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：年龄[20，25〕[25，30〕[30，35〕[35，40〕[40，45〕人数45853年龄[45，50〕[50，55〕[55，60〕[60，65〕[65，70〕人数67354经调查年龄在[25，30〕，[55，60〕的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．〔Ⅰ〕求年龄在[25，30〕的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休〞的概率；〔Ⅱ〕假设选中的4人中，不赞成“延迟退休〞的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19．〔12分〕在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，点D为BC的中点；〔Ⅰ〕求证：A1B∥平面AC1D；〔Ⅱ〕假设点E为A1C上的点，且满足=m〔m∈R〕，假设二面角E﹣AD﹣C的余弦值为，求实数m的值．20．〔12分〕椭圆C：+=1〔a＞b＞0〕经过点〔，1〕，且离心率为．〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕设M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON〔O为坐标原点〕的斜率之积为﹣，假设动点P满足=+2，试探究，是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？假设存在，求F1，F2的坐标，假设不存在，请说明理由．21．〔12分〕函数f〔x〕=+lnx在〔1，+∞〕上是增函数，且a＞0．〔Ⅰ〕求a的取值范围；〔Ⅱ〕假设b＞0，试说明＜ln＜．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．〔10分〕在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为〔t为参数〕，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ〔a≠0〕．〔Ⅰ〕求圆C的直角坐标系方程与直线l的普通方程；〔Ⅱ〕设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=的定义域为R．〔Ⅰ〕求m的取值范围；〔Ⅱ〕假设m的最大值为n，解关于x的不等式：|x﹣3|﹣2x≤2n﹣4．2023年甘肃省兰州市高考数学一模试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题〔此题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．集合M={x|〔x﹣3〕〔x+1〕≥0}，N={x|﹣2≤x≤2}，那么M∩N=〔〕A．[﹣2，﹣1] B．[﹣1，2] C．[﹣1，1] D．[1，2]【考点】交集及其运算．【分析】求出集合M中不等式的解集，确定出集合M，找出两解集的公共局部即可确定出两集合的交集【解答】解：由〔x﹣3〕〔x+1〕≥0，解得：x≤﹣1或x≥3，∴M={x|x≤﹣1或x≥3}，∵N={x|﹣2≤x≤2}，那么M∩N={x|﹣2≤x≤﹣1}=[﹣2，﹣1]应选A【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解此题的关键．2．复数z满足〔3﹣4i〕z=25，那么z=〔〕A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i【考点】复数相等的充要条件．【分析】由题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．【解答】解：∵满足〔3﹣4i〕z=25，那么z===3+4i，应选：D．【点评】此题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于根底题．3．等差数列{an}的前n项和为Sn，假设a3+a5+a7=24，那么S9=〔〕A．36 B．72 C．C144 D．288【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据{an}是等差数列，a3+a5+a7=24，可得3a5=24，即a5=8．S9==可得答案．【解答】解：由题意，{an}是等差数列，a3+a5+a7=24，可得3a5=24，即a5=8．∵S9=，而a5+a5=a1+a9，∴S9═=72，应选：B．【点评】此题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是根底题．4．某种商品的广告费支出x〔单位；万元〕与销售额y〔单位：万元〕之间有如下对应数据：x24568y304050m70根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为=6.5x+17.5，那么表中m的值为〔〕A．45 B．50 C．55 D．60【考点】线性回归方程．【分析】由表中数据计算、，根据回归直线方程过样本中心点，求出m的值．【解答】解：由表中数据，计算=×〔2+4+5+6+8〕=5，=×〔30+40+50+m+70〕=38+，∵回归直线方程=6.5x+17.5过样本中心，∴38+=6.5×5+17.5，解得m=60．应选：D．【点评】此题考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，是根底题．5．以下命题中，真命题为〔〕A．∃x0∈R，e≤0B．∀x∈R，2x＞x2C．a，b为实数，那么a+b=0的充要条件是=﹣1D．a，b为实数，那么a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对于A，B，C举例即可说明，对于D根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：对于A：因为ex＞0恒成立，故A不正确，对于B：当x=2时，不成立，故B不正确，对于C：a=b=0时，那么a+b=0，故C不正确，对于D：由a＞1，b＞1⇒ab＞1，当a=﹣2，b=﹣2时，满足ab＞1，但不满足a＞1，b＞1，故a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件，故D正确，应选：D【点评】此题主要考查充分条件和必要条件和命题的真假的判断，根据不等式的关系是解决此题的关键．6．某几何体三视图如下图，那么该几何体的外表积为〔〕A．〔9+〕π B．〔9+2〕π C．〔10+〕π D．〔10+2〕π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到几何体为圆柱挖去一个圆锥，根据图中数据求外表积．【解答】解：由三视图得到几何体为圆柱挖去一个圆锥，圆柱的底面直径为2，高为2，圆锥的底面直径为2，高为2，所以几何体的外表积为π×12+π×2×4+=〔9+〕π；应选A．【点评】此题考查了由几何体的三视图求对应几何体的外表积；关键是正确复原几何体．7．设变量x，y满足不等式组，那么x2+y2的最小值是〔〕A． B． C． D．5【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与坐标原点距离的平方，结合点到直线的距离公式求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，x2+y2的几何意义为可行域内的动点与坐标原点距离的平方，那么其最小值为．应选：B．【点评】此题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．8．如图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著?九章算术?中的〞更相减损术“．执行该程序框图，假设输入a，b，i的值分别为6，8，0时，那么输出的i=〔〕A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b，i的值，即可得到结论．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：a=6，b=8，i=0，i=1，不满足a＞b，不满足a=b，b=8﹣6=2，i=2满足a＞b，a=6﹣2=4，i=3满足a＞b，a=4﹣2=2，i=4不满足a＞b，满足a=b，输出a的值为2，i的值为4．应选：B．【点评】此题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于根底题．9．圆C：〔x﹣〕2+〔y﹣1〕2=1和两点A〔﹣t，0〕，B〔t，0〕〔t＞0〕，假设圆C上存在点P，使得∠APB=90°，那么当t取得最大值时，点P的坐标是〔〕A．〔，〕 B．〔，〕 C．〔，〕 D．〔，〕【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据圆心C到O〔0，0〕的距离为2，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为3．再由∠APB=90°，可得PO=AB=t，可得t≤3，从而得到答案．【解答】解：圆C：〔x﹣〕2+〔y﹣1〕2=1，其圆心C〔，1〕，半径为1，∵圆心C到O〔0，0〕的距离为2，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为3．再由∠APB=90°，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=t，故有t≤3，∴A〔﹣3，0〕，B〔3，0〕．∵圆心C〔，1〕，直线OP的斜率k=，∴直线OP的方程为y=联立：解得：．应选D．【点评】此题主要考查直线和圆的位置关系的灵活运用，根据两点A〔﹣t，0〕，B〔t，0〕与圆的最大值距离求出t是解决此题的关键．10．函数f〔x〕=sin〔ωx+φ〕〔x∈R，ω＞0，|φ|＜〕的局部图象如下图，如果x1+x2=，那么f〔x1〕+f〔x2〕=〔〕A． B． C．0 D．﹣【考点】正弦函数的图象．【分析】根据图象求解f〔x〕=sin〔ωx+φ〕的解析式，不难发现图象关于〔，0〕中心对称，可得那么f〔x1〕+f〔x2〕的值．【解答】解：根据图象可知A=1，T=〔〕=∴T=π，那么ω=，可得f〔x〕=sin〔2x+φ〕∵图象过〔〕∴sin〔φ〕=0，∵|φ|＜，∴φ=．故得f〔x〕=sin〔2x〕．由对称中心横坐标：2x=kπ，〔k∈Z〕可得x=，〔k∈Z〕图象关于〔，0〕中心对称，x1+x2=，即那么f〔x1〕+f〔x2〕=0．应选C．【点评】此题给出正弦型三角函数的图象，确定其解析式．考查了函数的对称性问题．属于中档题．11．F1、F2为双曲线C：﹣=1〔a＞0，b＞0〕的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，直线PF1与圆x2+y2=a2相切，且|PF2|=|F1F2|，那么双曲线C的离心率为〔〕A． B． C． D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设直线PF1与圆x2+y2=a2相切于点M，取PF1的中点N，连接NF2，由切线的性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理，可得|PF1|=4b，再由双曲线的定义和a，b，c的关系及离心率公式，计算即可得到．一，运用中位线定理和勾股定理，可得|PF1|=4b，再由双曲线的定义和a，b，c的关系及离心率公式，计算即可得到．【解答】解：设直线PF1与圆x2+y2=a2相切于点M，那么|OM|=a，OM⊥PF1，取PF1的中点N，连接NF2，由于|PF2|=|F1F2|=2c，那么NF2⊥PF1，|NP|=|NF1|，由|NF2|=2|OM|=2a，那么|NP|==2b=2b，即有|PF1|=4b，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即4b﹣2c=2a，即2b=c+a，4b2=〔c+a〕2，即4〔c2﹣a2〕=〔c+a〕2，4〔c﹣a〕=c+a，即3c=5a，那么e==．应选：C．【点评】此题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，运用中位线定理和双曲线的定义是解题的关键．12．设函数f〔x〕在R上的导函数为f′〔x〕，对∀x∈R有f〔x〕+f〔﹣x〕=x2，在〔0，+∞〕上f′〔x〕﹣x＜0，假设f〔4﹣m〕﹣f〔m〕≥8﹣4m，那么实数m的取值范围是〔〕A．[2，+∞〕 B．〔﹣∞，2] C．〔﹣∞，2]∪[2，+∞〕 D．[﹣2，2]【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意设g〔x〕=f〔x〕﹣，由条件和奇函数的定义判断出g〔x〕是R上的奇函数，求出g′〔x〕后结合条件判断出符号，由导数与单调性的关系判断出在〔0，+∞〕上的单调性，由奇函数的性质判断出在R上的单调性，由g〔x〕的解析式化简的不等式，利用g〔x〕的单调性列出不等式，求出实数m的取值范围．【解答】解：由题意设g〔x〕=f〔x〕﹣，∵对∀x∈R有f〔x〕+f〔﹣x〕=x2，∴g〔x〕+g〔﹣x〕=f〔x〕+f〔﹣x〕﹣x2=0，那么函数g〔x〕是R上的奇函数，∵在〔0，+∞〕上f′〔x〕﹣x＜0，∴g′〔x〕=f′〔x〕﹣x＜0，那么函数g〔x〕在〔0，+∞〕上递减，由奇函数的性质知：函数g〔x〕在〔﹣∞，+∞〕上递减，∵f〔4﹣m〕﹣f〔m〕=[g〔4﹣m〕+]﹣[g〔m〕+]=g〔4﹣m〕﹣g〔m〕+8﹣4m≥8﹣4m，∴g〔4﹣m〕≥g〔m〕，那么4﹣m≤m，解得m≥2，即实数m的取值范围是[2，+∞〕，应选A．【点评】此题考查导数与单调性的关系，奇函数的定义以及性质，以及函数单调性的应用，考查转化思想，构造法，化简、变形能力．二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共40分〕13．cos2165°﹣sin215°=．【考点】二倍角的余弦．【分析】应用诱导公式、二倍角的余弦公式化简所给的式子，可得结果．【解答】解：cos2165°﹣sin215°=cos215°﹣sin215°=cos30°=，故答案为：．【点评】此题主要考查应用诱导公式、二倍角的余弦公式进行化简求值，属于根底题．14．的展开式中，x2项的系数为﹣20．〔用数字作答〕【考点】二项式定理的应用．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x2项的系数．【解答】解：在的展开式中，它的通项公式为Tr+1=•x5﹣r•〔﹣1〕r，令5﹣r=2，求得r=3，可得x2项的系数为﹣=﹣20，故答案为：﹣20．【点评】此题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于根底题．15．在三棱锥P﹣ABC中，VP﹣ABC=，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】利用等体积转换，求出PC，PA⊥AC，PB⊥BC，可得PC的中点为球心，球的半径，即可求出三棱锥P﹣ABC外接球的体积．【解答】解：由题意，设PC=2x，∵PA⊥AC，∠APC=，∴△APC为等腰直角三角形，∴PC边上的高为x，∵平面PAC⊥平面PBC，∴A到平面PBC的距离为x，∵∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，∴PB=x，BC=x，∴S△PBC=x=x2，∴VP﹣ABC=VA﹣PBC==，解得x=2，∵PA⊥AC，PB⊥BC，∴PC的中点为球心，球的半径为2，∴三棱锥P﹣ABC外接球的体积为=．故答案为：．【点评】此题考查三棱锥P﹣ABC外接球的体积，考查学生的计算能力，正确确定球心与球的半径是关键．16．数列{an}中，a1=1，Sn为数列{an}的前n项和，且当n≥2时，有=1成立，那么S2023=．【考点】数列的求和．【分析】当n≥2时，有=1成立，可得2〔Sn﹣Sn﹣1〕=〔Sn﹣Sn﹣1〕Sn﹣，化为：﹣=，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵当n≥2时，有=1成立，∴2〔Sn﹣Sn﹣1〕=〔Sn﹣Sn﹣1〕Sn﹣，化为：﹣=，∴数列是等差数列，公差为，首项为1．∴=1+〔n﹣1〕=，解得Sn=．∴S2023==．故答案为：．【点评】此题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题17．〔12分〕〔2023•兰州一模〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．〔1〕求角A的大小；〔2〕假设，求△ABC的面积．【考点】余弦定理的应用；正弦定理．【分析】〔1〕利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解即可．〔2〕利用余弦定理求出c的值，然后求解三角形的面积．【解答】解：〔1〕在△ABC中，由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=0，…〔2分〕即sinB〔sinA+cosA〕=0，又角B为三角形内角，sinB≠0，所以sinA+cosA=0，即，…又因为A∈〔0，π〕，所以．…〔2〕在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，那么…〔8分〕即，解得或，…〔10分〕又，所以．…〔12分〕【点评】此题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．18．〔12分〕〔2023•兰州一模〕随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，〞延迟退休“已经成为人们越来越关注的话题，为了解公众对“延迟退休〞的态度，某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：年龄[20，25〕[25，30〕[30，35〕[35，40〕[40，45〕人数45853年龄[45，50〕[50，55〕[55，60〕[60，65〕[65，70〕人数67354经调查年龄在[25，30〕，[55，60〕的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．〔Ⅰ〕求年龄在[25，30〕的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休〞的概率；〔Ⅱ〕假设选中的4人中，不赞成“延迟退休〞的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】〔I〕设“年龄在[25，30〕的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休〞〞为事件A，那么P〔A〕=．〔II〕X的可能取值为0，1，2，3．利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出．【解答】解：〔I〕设“年龄在[25，30〕的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休〞〞为事件A，那么P〔A〕==．〔II〕X的可能取值为0，1，2，3．P〔X=0〕==，P〔X=1〕==．P〔X=2〕==，P〔X=3〕==．X的分布列如下：X0123P∴E〔X〕=0+1×+2×+3×=．【点评】此题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．〔12分〕〔2023•兰州一模〕在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，点D为BC的中点；〔Ⅰ〕求证：A1B∥平面AC1D；〔Ⅱ〕假设点E为A1C上的点，且满足=m〔m∈R〕，假设二面角E﹣AD﹣C的余弦值为，求实数m的值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】〔Ⅰ〕连结A1C∩AC1于F，那么F为AC1的中点，连结DF，那么A1B∥DF，由此能证明A1B∥平面AC1D．〔Ⅱ〕过E作EM⊥AC于M，那么EM⊥平面ABC，过M作MN⊥AD，垂足为N，连结EN，那么∠ENM为二面角E﹣AD﹣C的一个平面角，由此利用二面角E﹣AD﹣C的余弦值为，能求出m的值．【解答】证明：〔Ⅰ〕连结A1C∩AC1于F，那么F为AC1的中点，连结DF，那么A1B∥DF，∵DF⊂平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D．解：〔Ⅱ〕过E作EM⊥AC于M，那么EM⊥平面ABC，过M作MN⊥AD，垂足为N，连结EN，那么EN⊥AD，∴∠ENM为二面角E﹣AD﹣C的一个平面角，设EM=h，那么=，∴CM=，∴AM=2﹣，∵，∴MN=，∴EN2=EM2+MN2=h2+〔1﹣〕2，∵cos，故=，解得h=，此时，点E为A1C的中点，∴m=1．【点评】此题考查线面平行的证明，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．〔12分〕〔2023•兰州一模〕椭圆C：+=1〔a＞b＞0〕经过点〔，1〕，且离心率为．〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕设M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON〔O为坐标原点〕的斜率之积为﹣，假设动点P满足=+2，试探究，是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？假设存在，求F1，F2的坐标，假设不存在，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】〔Ⅰ〕由椭圆经过点〔，1〕，且离心率为，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．〔Ⅱ〕由，得x=x1+2x2，y=y1+2y2，由M，N都在椭圆=1上，设=﹣，得到点P是椭圆上的点，由此能求出F1，F2的坐标．【解答】解：〔Ⅰ〕∵椭圆C：+=1〔a＞b＞0〕经过点〔，1〕，且离心率为，∴，解得a=2，b=，∴椭圆C的方程为=1．〔Ⅱ〕设P〔x，y〕，M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，那么由，得x=x1+2x2，y=y1+2y2，∵M，N都在椭圆=1上，∴，∴〔〕=〔〕+4〔〕+4〔x1x2+2y1y2〕=20+4〔x1x2+2y1y2〕，设=﹣，∴x1x2+2y1y2=0，∴x2+2y2=20，∴点P是椭圆上的点，∴由椭圆的定义知存在点F1，F2，满足|PF1|+|PF2|=2=4为定值，又∵|F1F2|=2=2，∴F1，F2的坐标分别为F1〔﹣，0〕，F2〔，0〕．【点评】此题考查椭圆方程的求法，考查焦点坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、椭圆性质、向量的数量积的合理运用．21．〔12分〕〔2023•兰州一模〕函数f〔x〕=+lnx在〔1，+∞〕上是增函数，且a＞0．〔Ⅰ〕求a的取值范围；〔Ⅱ〕假设b＞0，试说明＜ln＜．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】〔Ⅰ〕求出原函数的导函数，由f′〔x〕≥0，且a＞0，得ax﹣1≥0，即x，再由x的范围求得a的范围；〔Ⅱ〕b＞0，由〔Ⅰ〕知a≥1，可得＞1，由f〔x〕=+lnx在〔1，+∞〕上是增函数，可得f〔〕＞f〔1〕，化简得到＜；由ln＜⇔＜0．构造辅助函数g〔x〕=ln〔1+x〕﹣x〔x∈[0，+∞〕〕，利用导数判断函数g〔x〕在[0，+∞〕上为减函数．由g〔〕＜g〔0〕得ln＜．【解答】解：〔Ⅰ〕f′〔x〕=，由f′〔x〕≥0，且a＞0，得ax﹣