初中数学解题教学中逆向思维的应用分析

初中数学解题教学中逆向思维的应用分析

【Summary】初中数学的整体难度有了明显提升。如果学生们仍然按照传统思维进行解题，自然会遇到诸多困难。因此，教师就需要引导学生应用逆向思维，转变思路，提升解题效率。本篇文章主要描述了在进行数学解题教学的过程中，引导学生应用逆向思维的具体方法，并通过相关案例展开说明。【Keys】逆向思维；初中数学；解题教学对于逆向思维而言，主要是指将原有的常规思维完全颠倒过来，从已有思路出发，反向展开思考，寻找解题方案。数学题目本身有着很强的逻辑性，各个环节之间存在联系。如果一直应用常规思路，在某些题目中就会受挫。因此就需要采取逆向思维的方式，提升解题效率。一、从结论入手处理几何题目（一）基本概念分析在对几何题证明的时候，无论其复杂还是简单，通常都需要从两个方面入手。其一是从现有已知条件入手，经过推理之后，思考能够获得什么结论。其二是从待证结论入手，思考为了达成这一结论，具体需要哪些条件，而当前有哪些条件。如果发现有某个条件缺失，就能得出该条件就是需要从现有条件推算出的最终结论。（二）具体案例分析例如：“如下图所示，已知在三角形ABC中，D和E都是AC边上的点，AD和AB相等，BD平分∠EBC，试说明：AD2=AE·AC。”为了能够对AD2=AE·AC这一结论展开证明，需要从三角形的相似性入手。基于AD2=AE·AC，将其变为=。从题目中的基本条件可以得知AD和AB相等，因此可以将=直接转变成=。从这个比例算式可以了解，为了完成证明，必须从三角形ABE和三角形ABC出发，对二者的相似性予以证明。这其中∠A属于条件中这两个三角形共有的角，参照相似性的判断方式，并根据现有条件，仅仅只需要证明另一组对角完全相等就行。参照条件AD=AB，因此说明∠ABD和∠ADB完全相等，也就说明∠ABE+∠EBD和∠C+∠DBC完全相等。同时∠EBD和∠DBC一样，可以推算出∠ABE等于∠C，继而证明另外一对角是完全相等的。根据以上分析能够了解，在对几何证明题处理的过程中，可以尝试从结论方面入手。但在书写的时候，可以从题目中提供的条件入手，推算出需要进行证明的结论。二、依靠反证法处理几何题目处理几何题目我们需要具体案例分析，例如：“在左下图，已知点D和点E分别是AB和AC上面的点，同时BE和CD相交于O点。如果OB=OC，且AD=AE，试说明OD=OE。”尽管该题目看似难度不大，若是选择从正面入手进行处理，需要考虑的事情非常多，因此难度很大：先画一个辅助圆，经过A、B、C三个点，之后再利用三角形特有的相似性，以此完成处理。但是，若从结论部分出发，依靠反证法的方式，难度就很低。证明：假设OD和OE不相等。其一，如果OD小于OE，在线段OE上进行截取，且OF和OD相等，并将DE、DF以及CF全部连接在一起，具体如右上图。基于图像可以很容易证明，三角形BOD全等于三角形COF，从中得知∠BDO和∠CFO相等，同时∠CFO大于∠3，从中推断出∠BDO大于∠3。根据∠EDO>∠1，同时∠1和∠2相等，∠2比∠DEO小，得出结论是∠EDO比∠DEO大。此时说明∠BDO+∠EDO>∠3+∠DEO，进而推出∠BDE>∠CED。此外，∠BDE和∠ADE为互补关系，同时∠CDE和∠AED也是互补关系，说明∠ADE<∠AED，并得出AE小于AD。显然，这一结果和题目条件AD和AE相等存在矛盾，所以该假设并不成立。其二，如果OD大于OE，按照相同的方法，可以推断出AD>AE，同样和题目条件中AE和AD相等完全不符，因此该假设并不成立。通过将以上两个假设结合在一起，说明OD和OE完全相等。通过应用反证法对几何命题展开证明，先从不成立这一方面入手进行论证，通过已知条件、定理以及公理，说明该结果不成立，进而完成结论证明。三、依靠顺序倒换处理几何题目（一）基本概念分析在进行数学题目思考的时候，很多学生往往会受到固定思维的影响，总是按照相同的步骤，完成解答。由于经过多次练习之后，自身思维模式已经定型，通常很难转换。诸如在计量时，通常会选择“从上到下”或者“从左到右”的顺序。然而在处理数学题目的时候，如果可以打破固有顺序，将其颠倒过来，进而能够提升解答的实际效果。思維训练需要以学生的主动参与作为起点，只有全面点燃学生参与思维训练活动的热情，才能够激活学生思维潜力。比如在初中数学教学中，我们可以组织数学竞赛活动，利用学生的好胜心，以开展比赛活动的形式，让学生参与到逆向思考过程中来。比如学习《一元二次方程》的时候，在学习一元二次方程表达式之后，派出2名学生写出2个一元二次方程式，然后派出另外2名学生求解，第5位同学负责批改。为了强化竞争可以以小组两两对决的方式进行，即甲组出题乙组解题、丙组评价，相互切换角色，最后评比解题成绩，选出获胜小组。当然这只是初步点燃学生热情，这之后，我们就要重点关注竞赛中的逆向思维训练了。传统教学中注重习题的反复训练，但是从平时的测试可看出，教学效果欠佳，由于模式单一，学生很难找到学习应用题的乐趣，因此可以开展数学知识竞赛，选取典型的与生活联系紧密的题型。如：“初二年级组织学生去秋游，联系车子的情况如下：每辆小型车能载20人，花费200元，每辆大巴车能载30人，花费240人，学生总人数170，问可以怎样设计乘车方案？哪种方案最经济实惠？”（二）具体案例分析例如：在确定标准之后，接下来要做的就是进行讨论了，而讨论是利用分类讨论思想最重要的环节，这个环节将会直接关系到结果。在进行讨论之前必须要明确讨论的标准，通过标准来划分成不同的问题，进行讨论。比如，需要解决问题“求函数y=（k-1）x2-kx+1与x轴的交点坐标”，看题目可以发现题目的条件并不是固定的，所以在解答思考这一问题的时候，首先就要判断k-1的值，因為这个结果会关系到题目中的函数是一次函数还是二次函数的问题。第一种情况下，当K不等于1的时候，函数就是二次函数，这个时候进行判断，要利用判别式该判断交点数，有三种情况，再具体地对坐标进行求值；第二种情况就相对简单了，如果k=1，这个时候函数就变成了一次函数，很容易就可以求出交点坐标。例如，初中数学教师在教授初中数学《不等式与不等式组》这一课时的内容时，这一课时的内容主要讲解的是不等式与不等式组，不等式这一个概念是初中学生一个新的知识点，在这一课时当中，解不等式是学生的一大难点。首先，教师要先向同学们明确不等式的定义，同学们只有在认识和理解不等式的定义后才能进行解题，解不等式的过程和解一元一次方程非常类似，教师在讲解不等式的解题过程时可以引入学过的一元一次方程的解题方法，这样可以帮助同学们做到“温故而知新”，教师在讲解一元一次不等式之前要引导学生对不等式的概念进行记忆，不等式的概念是用不等号连接的式子，这当中又会出现一个陌生的概念—不等号，教师也要适当的给予一些解释，教师可以告诉同学们不等号就是同学们之前接触过的大于号、小于号或者不等号，这样可以在教学之前增加学生学好不等式与不等式组增加信心。初中数学教师可以先带领学生复习一元一次方程的解法，这样学生对于不等式的解法理解将会更加透彻。紧接着教师也要给学生讲解一些不等式组的解法，教师可以利用画图的方式进行教学，教师也可以引导学生用公式进行理解：“大大取大，小小取小。”所以初中数学教师还是要非常注重学生的数学基础知识。四、结束语综上所述，通过本文中提供的三个案例中发现，通过应用逆向思维，能够有效完成解题。当然，在初中数学之中，可以应用的逆向思维仍然还有很多，诸如在整式乘法之中的完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2就可以和因式分解中完全平方公式a2+2ab+b2=（a