高等代数(下)期终考试题及答案(C卷)

高等代数(下)期末考试试卷(C卷)一.选择题(每空2分，共12分)1.(D)下列集合哪一个是Rn的子空间(A){(a,0,,0,a)|a,aeR,,a丰a}1n1n1n(B){(,^^,<…，a)|aeZ,i=，…，n}12nix—(C){(,^^,i…，a)|另a=1,aeR}12niii=1x—(D){(a,a,12...,a)|na=0,aiieR}i=12.(B)令g=(X],x2,x3)是R3的任意向量.下列哪一个映射b是R3的线性变换b(g)=g+a,其中d丰0是R3的固定向量b(g)=(2x-x+x,x+x,-x)123233b(g)=(x,x2,x3)123b(g)=(x+1,x,0)12(C)如果V,V是线性空间V的两个子空间，且dim(V)=3,dim(V)=2,1212dim(V?V)1,那么dim(V+V)为1212(A)2(B)3(C)4(D)5(C)若4阶方阵A的初等因子为(1+3)2,+3,2.则A的不变因子是1,(+3),(+2),(1+3)2；1,1,(+3)(+2),(1+2)(1+3)2；1,1,(+3),(1+2)(1+3)2；(D)1,1,(+2),(1+2)(1+3)2；(B)设矩阵A的全部不同特征值为九,九，…,九,则下列哪一说法与A可对角化不等TOC\o"1-5"\h\z12s价A有n个线性无关的特征向量；R(入E—A)=n(i=1,2,...s)(其中n为入的重数)；\o"CurrentDocument"iiii九的特征子空间V的维数dim(V)=X的重数(i=1,2,...,s)；i九九iii(D)A的最小多项式均是数域P上互素的一次因式的乘积；(D)在实数域R中，由全体4阶反对称矩阵所构成的线性空间W的维数为

(A)10;(B)4(A)10;(B)4；(C)9；(D)6；二.填空题（每空2分，共18分）已知a是数域P上的一个固定的数，而W={（a,x,L,x）|xeP,i=2,L,n}TOC\o"1-5"\h\z2ni是Pn+1的一个子空间，则a=,dim（W）=.设o,T是P2的两个线性变换，定义如下b（x,y）=（一2x+y,0）,t（x,y）=（—3y,x+y）（Vx,yep）贝9to（x,y）=.'100、已知九E-A的标准形为0九0,则A的特征多项式、00九（九一2）丿九E—A=九2（九—2）,A的最小多项式为。则向量I则向量I1I是A的属于特征值的特征向量.66.设三阶实对称矩阵A的特征值九二九=1,九=3，则R（3E一A）=。123三.判断题（对的打”,错的打”X”,每小题2分，共10分）1.对于矩阵的加法和数乘，V={BB'=B,BeRn“}是Rn“的子空间（）r200'r200'5.若A=001与B=0y0相似,、01x?i00一1丿0TOC\o"1-5"\h\z任一实对称矩阵A都与对角阵A既相似又合同（）设°是数域P上线性空间V的线性变换,W是一维°-子空间，那么W中任何一个非零向量都是°属于特征值九的特征向量.（）在欧几里得空间V中，保持任两个非零向量的夹角不变的线性变换°必为正交变换.（）A（九）与B（九）等价当且仅当它们有相同的行列式因子.（）四.计算题（共3小题，33分）1•设e2和h1,h2是线性空间R2的两组基，°是R2的线性变换，已知

s(e,e)=(e-2e,2e+e),(h,h)=(e+e,2e+3e)121212121212(1)求Q在基e,e下的矩阵A；(2)求基e,e到基h,h的过渡矩阵X；121212TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"⑶求Q在h,h下的矩阵。.(7分)122.设匕,a2,a,是3维欧氏空间V的一组基’这组基的度量矩阵为'1-12、-12-1<2-16丿(1)令丫=片+a2，求|丫|；⑵若吐巴+匕+⑵若吐巴+匕+ka3与丫正交，求k的值.10分)3.设二次型f(x132x3，,x,x)=2x2+2x2+2x2-2xx3.设二次型f(x132x3，123123121)写出二次型所确定的矩阵；2)用正交线性替换将二次型化为标准形；3)求二次型的秩；1)写出二次型所确定的矩阵；2)用正交线性替换将二次型化为标准形；3)求二次型的秩；4)判断二次型的正定性．16分)五.证明题(每题9分，共27分)设V与V分别是齐次方程组x+x+…+x=0,x=x=…=x=x的解空间，1212n12n-1n证明：Pn=V㊉V12.证明：若A是实对称矩阵，则Rn中分别属于A的不同特征值九小的特征向量a,卩必正交设V是一个n维欧氏空间，Q是V的一个对称变换，证明：值域b(V)是核a-1(0)的正交补.

答案幻灯片1高等代数（下）期末考试C卷解答二、选择题（2X6=12分）1、（D）下列集合哪一个是Rn的子空间(A){(a0,a)|a,,aGR,aHaininin(B){(a,a,・・・,a)|aGZ,i=i,...,ni2ni(C){(a,a,a)|a—i,aGR}i2ni=iii(D){(ai,a,2n)|艺a—0,aiiGR}i=1幻灯片幻灯片一、选择题(2X6=12分)2、(B)令E=(x,x,x)是R3的任意向量,TOC\o"1-5"\h\z123下列哪一个映射是R3的线性变换。o(E)=g+a,其中J丰0是R3的固定向量o(g)=(2x一x+x,x+x,一x)123233o(g)=(x,x2,x3)123o(g)=(x+1,x,0)123、(C)如果是线性空间V的两个子空间，且

dim(V)=3,dim(V)=2,dim(V?V)1,则dim(则dim(V+V)为12(A)2(B)3(C)4(D)5一、选择题(2X6=12分)4、(C)若4阶方阵A的初等因子为(1+3)2,1+3,1+2则A的不变因子是1,1+2,1+3,(1+3)21,1,(1+2)(1+3),(1+2)(1+3)21,1,(1+3),(1+2)(1+3)21,1,(1+2),(1+2)(1+3)2一、选择题(2X6=12分)5、(B)设矩阵A的全部不同特征值为九，九，…,九12s则下列哪一说法与A可对角化不等价：A有n个线性无关的特征向量；R(九E-A)=n,(i=1,2,...s),(其中n为九的重数)入的特征子空间V的维数dim(V)=X的重数i入入i(i=1,2,...,s)''A的最小多项式均是数域P上互素的一次因式的乘积6、(D)在实数域R中，由全体4阶反对称矩阵所构成的线性空间W的维数为(A)10;(B)4；(C)9；(D)6；3+2+1二、填空题(每空2分，共18分)1、已知a是数域P上的一个固定的数，而W={(a,x,L,x)|xgP,i=1,L,n}1ni是Pn+i的一个子空间，则a=dimW=n2(a,x,L,x)=(2a,2x,L,2x)gW1n1n=2a=a=a=0ie=(0,0,L1,0,L0)(i=2,3,・・・,n+1)i是W的一个基。二、填空题(每空2分，共18分)2、设Q，工是P2的两个线性变换，定义如下：Q(x,y)=(-2x+y,0),t(x,y)=(-3y,x+y)(vx,yeP)则tq(x,y)=(0,-2x+y)tq(x,y)=t(-2x+y,0)=(0,-2x+y)(-20、<10丿(

tq(x,y)=t(x,y)或Q(x,y)=(x,y)=(x,y),T(x,y)=(x,y)(-20“10=(x,y)(01、31丿

(-20、(01、(0-2、<01丿丿丿0丿I-31丿=(0,-2x+y)二、填空题（每空2分，共18分）'100、3、已知九E-A的标准形为0九0、00九（九一2）丿则A的特征多项式是九2（九一2）A的最小多项式是A的最小多项式是九（九一2）|九E—A|=D（x）=d（九）d（九）…d（九）n12/n、n阶复数方阵A的最小多项式mA□丿正是A的第n个不变因子d（九）（P351

填空题（每空2分，共18分）'13'(1、'13'(1、(4[(1、=4——H-22><4丿<J则向量相似，则是A的属于特征值4(200、(200、5、若A=001与B—0y0101x丿100-1丿x=07y—1的特征向量。|A|=—2=B=—2yny=1tr(A)=2+x=tr(B)=1+ynx=0二、填空题(每空2分，共18分)6、设三阶实对称矩阵A的特征值九=九=1,九二3123贝QR(3E—A)=_实对称矩阵必可对角化，所以V也即(E—A)X=0解空间的维数为2,1故R(E—A)二1V也即(3E—A)X=0解空间的维数为1,3故R(3E—A)二2GG)=kQa)=X(ka)=Xg三、判别题（对的打”V”,错的打”X”，2X5=10分）1、对于矩阵的加法和数乘，V={b\b'=B,B&Rnxn}是Rnxn的子空间（V）2、任一实对称矩阵A都与一对角阵既相似又合同（V3、设Q是数域P上线性空间V的线性变换，W是一维b-子空间，那么W中任何一个非零向量都是Q的属于特征值九的特征向量（VW=L（a）,a（a）eW虹）=XaVg=kaeW,g丰4、在欧几里得空间V中，保持任两个非零向量的夹角不变的线性变换必为正交变换(X)保持任意两个非零向量的夹角不变的线性变换未必是正交变换。如：令Aa=2a,VaeV(Aa,AB)(2a,2B)(a,B)显然A疋线性变换，且|a\a^2a\\2ba||$|但(Aa,Ap)=(2a,2p)=4(a,p)所以A不是正交变换。但有一一实数域R上欧氏空间V的线性变换A是正交变换oVaeV,有Aa=|a四、四、计算题（7+10+16=33分）1、设S1，82和人叫是线性空间R2的两组基，°是R2的线性变换，已知：s（e,e）=（e-2e,2e+e）,（h,h）=（e+e,2e+3e）（1）（2）（3）解：三、判别题（对的打”丁”,错的打”X”，2X5=10分）5、4（九）与B（九）等价当且仅当它们有相同的行列式因子（“）12121212121求°在基81,82下的矩阵A；求由基81,82到基SQ的过渡矩阵X；求°在基qq下的矩阵Bo12骣1(1)s(e,e)=(e-2e,2e+e)=(e,e)g12121212桫2(12、—21丿1、设“82和51是线性空间R2的两组基，b是R2的线性变换，已知：s(e,e)=(e-2e,2e+e),(h,h)=(e+e,2e+3e)121212121212求b在基8，8下的矩阵A;12⑵求由基81,82到基的过渡矩阵x；(3)求b在基n1，n2下的矩阵b。骣2解：(2)h,h)=(e+e,2e+3e)=(e,e)f1121212骣\2桫31由基81,82到基n1，n2的过渡矩阵x=桫31(3)求b在基n1，n2下的矩阵2鼢骣113鼢桫426-9四、计算题（7+10+16=33分）2、设a,a,a是3维欧氏空间V的一组基，这组基的123/1度量矩阵为：-1.22、-16丿、-12-1令丫=a+a，求|y|12^^p=a+a+ka解：（i）b,y）=（i(1-12、(11-12-11、2-16丿、0丿求k的值。=i^M=i0)3与丫正交,=(a+a,a+a)212Y）(1)之解法二：：Y，=(a,a)+(a,a)+(a,a)+1221(Y，丫)=1.,a)=1-1-1+2=122四、计算题（7+10+16=33分）2、设a,a,a是3维欧氏空间V的一组基，这组基的123/1-12、度量矩阵为：-12-1、2-16丿（1）令丫二a+a，求M12（2）若0=巴+幺2+ka3与丫正交，求k的值。〔1-12、r1]1k)-12-11、2-16丿10丿解：（2）（卩，丫）=（1四、计算题(7+10+16=33分)3、设二次型f(x,x,x)=2x2+2x2+2x2-2xx一2xx一2xx123123121323写出二次型所确定的矩阵；用正交线性替换将二次型化为标准形；求二次型的秩；(4)判断二次型的正定性。/2解：(1)二次型f(4)判断二次型的正定性。/2解：(1)二次型f(x,x,x)=(x,x,x)I-1123123/2-1-1>所以二次型的矩阵是：A=-12-1-1-12-12-1-1、-1(x)1x2人x3丿四、计算题(7+10+16=33分)3、设二次型f(x,x,x)=2x2+2x2+2x2-2xx一2xx一2xx123123121323写出二次型所确定的矩阵；用正交线性替换将二次型化为标准形；求二次型的秩；判断二次型的正定性。九-211解：(2)I九E-A=1九―21=X(九―3)211九-2A的特征值为：九］=0,九2二九=3.对九］=0,解方程组(0E-A)X=0得一基础解系：a［=(1,1,1)'四、计算题(7+10+16=33分)3、设二次型f(x,x,x)=2x2+2x2+2x2-2xx一2xx一2xx123123121323写出二次型所确定的矩阵；用正交线性替换将二次型化为标准形；求二次型的秩；判断二次型的正定性。解:解:对八2=4=3,解方程组(3E一A)X=0得一基础解系：«=(一1丄0)',a=(一1,0,1)'23-=(―1,—1,2)，把巴单位化，把a2乞正交规范化，得片=±(1丄1)',卩2=吉(--=(―1,—1,2)，四、计算题(7+10+16=33分)3、设二次型f(x,x,x)=2x2+2x2+2x2-2xx一2xx一2xx123123121323写出二次型所确定的矩阵；用正交线性替换将二次型化为标准形；求二次型的秩；判断二次型的正定性。解:⑵令T=(卩,卩,卩)解:123)=3y2+3y223作正交变换：X=TY(则二次型化为标准形：/(x])=3y2+3y223由(2)知二次型的秩为2；由(2)知二次型是半正定的。五、证明题(每题9分，共27分)1、设V与V分别是齐次方程组x1+x2+…+x=°，TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1212n和x=x=...=x=x的解空间，证明Pn=V㊉V12n-1ni2证明：方程x+x+…+x=°,12n的一个基础解系也即V1的一个基是：ex=(—1,