第九章 第5节 第1课时

第5节椭圆最新考纲1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.知识梳理1.椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1＋＝1(a>b>0)(a>b>0)图形－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a性质范围对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点A1(－a，0)，A2(a，0)，A1(0，－a)，A(0，a)，2B1(－b，0)，B(b，0)2顶点B1(0，－b)，B2(0，b)长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b|F1F2|＝2c轴焦距离心率e＝∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b2[常用结论与微点提醒]1.过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦的长为，称为通径.2.椭圆离心率e＝＝＝.3.应用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.()(3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.()(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同.()解析(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.(2)因为e＝＝＝，所以e越大，则越小，椭圆就越扁.答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.(2017·浙江卷)椭圆＋＝1的离心率是()A.B.C.D.解析由已知，a＝3，b＝2，则c＝答案B＝，所以e＝＝.3.(2018·张家口调研)椭圆A.(±3，0)B.(0，±3)＋＝1的焦点坐标为()D.(0，±9)C.(±9，0)解析根据椭圆方程可得焦点在y轴上，且c2＝a2－b2＝25－16＝9，∴c＝3，故焦点坐标为(0，±3)，故选B.答案B4.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则椭圆C的方程是()A.C.＋＋＝1＝1B.D.＋＋＝1＝1解析由题意知c＝1，e＝＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝3.故所求椭圆C的方程为＋＝1.答案D5.(选修2－1P49A6改编)已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________.解析设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1，0)，F2(1，0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x＞0，所以x＝，∴P点坐标为或.答案或第1课时椭圆及其标准方程考点一椭圆的定义及其应用【例1】(1)(选修2－1P49A7改编)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆(2)椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为()A.5B.6C.7D.8解析(1)连接QA.由已知得|QA|＝|QP|.所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|O