高等数学上(订版)黄立宏(复旦出版社)习题五答案详解

XtJ)J=9/SU12/COS%利用曲线的对称性,W：d/=42Sfl-Tsin^rcos3/dtJo9.-/T729.-/T72A/jsm22rdr=6a丿o72sin2/dr=[3a(-cos2/)]‘=6a・o0求对数螺线r=e^相应&=0到0=(p的一段弧长.解：/=『y]r2+r，260=12a=几戸时戶de存(严-“10.求半径为R,高为h的球冠的表面积.10.=2tc解：D=2nfRxy］l+x，2dy=2tcRcos&7(/?cos0)J+(/?sin&)二d0.R-harc:mA=2kA=2k用cos&dB,・R-harc沁R=2兀用［sin&厂…arczinR=2nRli.求曲线段y=x\0<x<l)绕”轴旋转一周所得旋转曲面的面积.解：D=2tiflyyll+y,2dx=2兀讨l+9x°d.Y=^(10-^10-1).把长为10m,宽为6m,高为5m的储水池内盛满的水全部抽出，需做多少功?解：如图19,区间［小x+dx］上的一个薄层水，有微体积dV=10-6dx

//////,V///Ax+dx5//////,V///Ax+dx5设水的比重为1,,则将这薄水层吸出池面所作的微功为dw=x・60gdx=60gxdx・于是将水全部抽出所作功为w=^560gxdx4M：=750g(KJ)・13・有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m和6m,高为20m,较长的底边与水面相解：如图20,解：如图20,建立坐标系，直线A3的方程为(20)压力元素为o5士14.半径为R的球沉入水中，球的顶部与水面相切,球的密度与水相同，现将球从水中取=1467(吨)(20)压力元素为o5士14.半径为R的球沉入水中，球的顶部与水面相切,球的密度与水相同，现将球从水中取(21)(21)离水面，问做功多少?解：如图21,以切点为原点建立坐标系，则圆的方程为(x~R)-+y-=R-将球从水中取出需作的功相应于将［0,2/?］区间上的许多薄片都上提2R的高度时需作功的和的极限。取深度x为枳分变量，典型小薄片厚度为血，将它由A上升到B时，在水中的行程为上在水上的行程为2R—x°因为球的比重与水相同，所以此薄片所受的浮力与其自身的重力之和x为零，因而该片在水中由A上升到水面时，提升力为零，并不作功，由水面再上提到3时，需作的功即功元素为dw=(27?-x)[gny2(x)dx]=兀g(2R一x)[yjR2-(x-R)2]2dv=兀g(2/?-x)(2心一x')cLy所求的功为

2R=fng(2R-x)(2Rx-x2)cLrJo2R=xgJ；(4/?'x-4/?x'+x')dv呵2呵2曲¥+»=\fg(KJ).15.设有一半径为R,中心角为y的圆弧形细棒，其线密度为常数p,在圆心处有一质量为m的质点，试求细棒对该质点的引力。解：如图22,建立坐标系，圆弧形细棒上一小段山对质点N的引力的近似值即为引力元素R2TOC\o"1-5"\h\z吗r叶沁e

RRR2dF=dFcos0=cos0d0.R尸严直地cosOd&=2广如cos&d—如sm±”遐RJoRR2dF=dFsin&=""sinOd。〉R代丄警sm0de=O.J飞A故所求引力的大小为呼s嗚，方向自N点指向圆弧的中点。16.求卞列函数在［―a,刃上的平均值：解：歹=扌~「Ja2解：歹=扌~「Ja2-x沁=—£*\/a2-x2dx=丄cr.x1厂二7—aicsin_■-xyja^-x^2a2KClT(2)几解:R解:R舟匸血T；皿Va">

cr0=T17・求正弦交流电Wosinat经过半波整流后得到电流/0siiicot.Q<t<-CD兀/,2兀—<t<——coco的平均值和有效值。解：产=竺孑/17・求正弦交流电Wosinat经过半波整流后得到电流/0siiicot.Q<t<-CD兀/,2兀—<t<——coco的平均值和有效值。解：产=竺孑/05迅曲宙+色(目0(1/=彳仏「一1—coscotco2/q0兀有效值扛尸(如=裁"曲=£0讪+J?®故有效值为=—sin2cotdt=—

2ttJo04I丄.218.已知电压"⑴=3sin2/,求⑴火)在0冷上的平均值;解:3sin2MZ=-.7T(2)电压的均方根值.解：均方根公式为设某企业固定成本为50,边际成本和边际收入分别为C(x)=x2-14x+llbRr(x)=100-2x・试求最大利润.解：设利润函数口“).则L(x)=R(x)—C(x)—50由于ZJ(x)=/T(x)-C(x)=(100—2x)—(F—14x+lll)=—F+12x—ll

令ZJ(x)=0得x=l9x=ll・又当尸1时，L"(a)=—2v+12>0.当.Lil时L"(x)<0,故当J=ll时利润取得最人值.且最大利润为£(11)=£1(-x24-12x-ll)(iv-50=［一討+6x—114)1—50=¥=111*.设某工厂生产某种产品的固定成本为零，生产x(百台)的边际成本为C'⑴(万元/百台)，边际收入为/?'(x)=7-2x(万元/百台).求生产量为多少时总利润最大？在总利润最犬的基础上再生产100台，总利润减少多少？解：(1)当C'(x)=R'(x)时总利润最大.即2=7—2「人=5/2(百台)⑵厶'(x)=R‘(x)-C'(x)=5~2x.在总利润最人的基础上再多生产100台时，利润的增量为△L(x)=(5-2x)dx=5x-x2即此时总利润减少1万元.某企业投资800万元，年利率5%,按连续复利计算，求投资后20年中企业均匀收入率为200万元/年的收入总现值及该投资的投资回收期.解：投资20年中总收入的现值为呵<>严肩赞(―严。)=400(1-e-1)=2528.4(万元)纯收入现值为/?=V-800=2528.4-800=1728.4(万元)收回投资，即为总收入的现值等于投资，故有—(l-e-5%T)=8002005%200T=—111=20111-=4.46(年)・5%200-800x5%422・某父母打算连续存钱为孩子攒学费，设建行连续复利为5%(