高等数学测试题一(极限、连续)答案

高等数学测试题(一)极限、连续部分(答案)、选择题(每小题4分，共20分)1、当xT+0时，1Axsm-Bx(A)无穷小量。11D—SinxxexClnx3x—1x<12、点x=1是函数f(x)=<1x=1的(C)3—xx>1A连续点B第一类非可去间断点C可去间断点D第二类间断点3、函数f(x)在点x处有定义是其在x处极限存在的(D)。00A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D无关条件zx2+2、c4、已知极限lim(——+ax)=0，则常数a等于(A)。XT8xA-1B0C1D2ex2—15、极限lim等于(D)。xtOCOSx—1AsB2C0D-2二、填空题(每小题4分，共20分)1、lim(1——)2x=e—2xT8x2、当xT+0时，无穷小^=ln(l+Ax)与无穷小0=sin3x等价，则常数A=33、已知函数f(x)在点x=0处连续，且当x丰0时，函数f(x)=2七,则函数值f(0)=04、lim[—!—ns1•4、lim[—!—ns1•212^31n(n+1)]=1sinx5、若limf(x)存在，且f(x)=一+2limf(x)，则limf(x)=1xT兀x—兀xT兀xT兀二、解答题1、(7分)计算极限lim(l—)(1—)2232n2n—1n+11n1、(7分)计算极限lim(l—)(1—)2232n2n—1n+11n+11•)=lim•2ns厶nT8“1324、/解：原式=lim^•)(•)•••(n*2233nntanx—sinx2、(7分)计算极限limxT0sinx—sinx[_解：原式=lim_co空=lim—ExxT0x3xT0x2cosx2x+33、(7分)计算极限lim()x+1x*2x+1n2解：原式=x31x2=lim2—xT0x2cosx221丄1lim(1+--)x+1=lim(1+—)x+2+2XT82X+1XT8x+_-11=lim(1+1)x+2•lim(1+XSx+_xT821)丄1)2=eX+-21+xsinx一14、(7分)计算极限lim—xT0ex2—1解：1xsinx原式=lim—xT0x2x3—ax2—x+45、(7分)设limxT—1x+1具有极限l，求a,l的值解：因为lim(x+1)=0，所以xT—1因此a=4并将其代入原式lim(x3—ax2—x+4)=0，xT—1l=limxT—1limxT—1(x+l)(x—l)(x—4)x+1=106、(8分)设a(x)=x3-3x+2,卩(x)=c(x-1)n，试确定常数c,n，使得a(x)〜P(x)a(x)=x3-3x+2=(x-1)2(x+2)解：v(x-1)2(x+2)3cc此时，a(x)〜卩(x)lim=—，.•.c=3,n=2TOC\o"1-5"\h\zxT1c(x-1)2c[.10xsin—x>07、(7分)试确定常数a，使得函数f(x)=5xa+x2x<0在(—s,)内连续解：当x>0时，f(x)连续，当x<0时，f(x)连续。limf(x)=limxsin=0x®+xtox所以当a=0时，f(x)在x=0连续limf(x)=lim(a+x2)=axtO-xtO因此，当a=0时，f(x)在(-s,+s)内连续。8、(10分)设函数f(x)在开区间(a,b)内连续，a<珥<x2<b，试证:(t>0,t>0)12<x2<b(t>0,t>0)12<x2<b，所以f(x)在%x2]t1f(x1)+t2f(x2)=(t1+t2)f(c)证明：因为f(x)在(a,b)内连续，a<x1上连续，由连续函数的最大值、最小值定理知，f(x)在［x2］上存在最大直M和最小值皿，即在%x2］上，m<f(x)<M，所以(t+1)m<tf(x)+1f(x)<(t+1)M，又因为t+1>0，所以1211221212tf(x)+1f(x)m<T122-<M,由连续函数的介值定理知：存在t+t