2018版高中数学(北师大版必修5)教师用书 第3章 1 不等关系

§1不等关系1．1不等关系1．2不等关系与不等式1．了解现实世界和日常生活中的不等关系．2．了解不等式(组)的实际背景．(难点)3．能用作差法比较大小．(重点)[基础·初探]教材整理1不等式中的数学符号阅读教材P69～P71“练习”以上部分，完成下列问题．两个数或代数式常用以下数学符号连接：“＝”，“≠”，“＞”，“＜”，“≥”，“≤”．文字语言大于小于大于等于小于等于数学符号文字语言数学符号＞＜≥至多≤≥≥≤至少不少于不多于≤(1)某隧道入口处竖立着“限高4.5米”的警示牌是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h满足关系为________．(2)“a与b的差是非负数”的不等关系是________．【解析】(1)限高4.5米是指车辆及载物高度不高于4.5米，即h≤4.5.(2)非负数是指0或正数，故a－b≥0.【答案】(1)h≤4.5(2)a－b≥0教材整理2比较大小阅读教材P72～P73“练习”以上部分，完成下列问题．1．作差法比较两实数大小如果a－b＞0，那么a＞b.依据如果a－b＜0，那么a＜b.如果a－b＝0，那么a＝b.确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的差a－b与0的大小关系.结论2．不等式的性质1．对称性：若a＞b，则b＜a；若b＜a，则a＞b.2．传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c.3．同向可加性：若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d.4．同向的可乘性：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd.5．乘方法则：若a＞b＞0，则an＞bn(n∈N＋，且n≥2)．6．开方法则：若a＞b＞0，则＞(n∈N＋，且n≥2)．7．同号取倒数反序性：若a＞b，ab＞0，则＜.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当x＝2时，x≥2一定成立．()(2)a2一定大于a.()(3)若a＞b，则＜.()【解析】(1)“≥”表示大于或等于．(2)a＝0时，a2＝a.(3)若a＞b＞0，则＜；当a＝2，b＝－1时不成立．【答案】(1)√(2)×(3)×[小组合作型]用不等式(组)表示不等关系某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．【精彩点拨】认真分析题意，留意所给材料中的每个数字，弄清其出现的意义，写出所能表达的每一个不等式．【尝试解答】设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆．根据题意，应有如下的不等关系：(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数；(2)车队每天至少要运360t矿石；(3)甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆．用关于x，y的不等式表示上述不等关系即可．即1．此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等关系，如本例中驾驶员的人数限制了车辆数，所以甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数，这个不等关系易被忽略．2．当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间的不等关系，另外若问题有几个变量，就选用几个字母分别表示这些变量即可．像本题就是用含有两个字母x，y的不等式组来表示它们之间的不等关系的．[再练一题]1．某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍，请写出满足上述所有不等关系的不等式．【解】设截得的500mm钢管x根，截得的600mm钢管y根．根据题意，应满足的不等关系为：比较两个数(式)的大小已知A＝(x＋1)(x＋5)，B＝(x＋3)2，试比较A与B的大小．【精彩点拨】利用作差法比较大小．【尝试解答】A－B＝(x＋1)(x＋5)－(x＋3)2＝x2＋6x＋5－(x2＋6x＋9)＝－4＜0，∴A－B＜0，即A＜B.比较两数(式)大小的方法：(1)作差法作差法是比较两数(式)大小的常用方法，其一般步骤是：①作差．②变形．常采用因式分解(将“差”化成“积”)或配方(将“差”化为常数与n个平方和的形式)等恒等变形手段．③定号．作差法一般是将差化成非负数和的形式或因式乘积形式，即P－Q＝a或P－Q＝b1·b2…bn，以便判断差值的符号．＋a＋…＋a④得出结论．(2)作商法①作商法适合于以幂、指数或绝对值等形式出现的两数(式)的大小比较．②对于a>0，b>0，则有>1⇒a>b；＝1⇒a＝b；<1⇒a<b.作商法一般将结果化为＝1±m(0＜m＜1)的形式，以便确定商与1的大小关系．③若a<0，b<0，可通过先比较－a与－b的大小来比较a与b的大小．[再练一题]2．已知x＜1，比较x3－1与2x2－2x的大小.【导学号：47172033】【解】(x3－1)－(2x2－2x)＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)，∵x2－x＋1＝2＋≥＞0，∴当x＜1时，(x－1)(x2－x＋1)＜0，即x3－1＜2x2－2x.[探究共研型]不等式的性质探究1初中已经学过不等式的性质，请同学们回忆初中不等式的基本性质有哪些？【提示】(1)a＞b⇒a±c＞b±c；(2)a＞b，c＞0⇒ac＞bc，(3)a＞b，c＜0⇒ac＜bc，＞＜；.探究2如何用不等式表示“两个同向不等式的两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向”？想一想如何证明表示出的不等式？【提示】如果a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d.证明如下：因为a＞b，所以a＋c＞b＋c，又因为c＞d，所以b＋c＞b＋d，根据不等式的传递性得a＋c＞b＋d.探究3如果a＞b＞0，c＞d＞0.如何证明ac＞bd?【提示】⇒ac＞bd.设f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．【精彩点拨】用f(－1)，f(1)表示f(－2)，再利用f(－1)，f(1)的取值范围求f(－2)的取值范围．【尝试解答】由f(x)＝ax2＋bx得f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，f(－2)＝4a－2b，设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.于是有解得∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，即5≤f(－2)≤10，∴f(－2)的取值范围为[5,10]．1．不等式的性质是不等式变形的基础，是解不等式和证明不等式的主要依据，应熟练掌握．2．本例中如果由1≤a－b≤2,2≤a＋b≤4得到a，b的取值范围，再求f(－2)的取值范围，那么得到的结果不是正确答案．这是因为求得的a，b的取值范围与已知条件不是等价关系．[再练一题]3．已知－≤α＜β≤，求，，的取值范围．【解】∵－≤α＜β≤∴－≤＜，－＜≤.将两式相加，得－＜＜.∵－＜≤，∴－≤－＜，∴－≤＜.又α＜β，∴＜0，故－≤＜0.综上所述，－＜＜，－≤＜0.1．下面列出的不等式中，正确的是()A．a不是负数，可表示成a＞0B．x不大于3，可表示成x＜3C．m与4的差是负数，可表示成m－4＜0D．x与2的和是非负数，可表示成x＋2＞0【解析】a不是负数，可表示成a≥0；x不大于3可表示成x≤3；m与4的差是负数，可表示成m－4＜0；x与2的和是非负数，可表示成x＋2≥0.【答案】C2．李辉准备用自己节省的零花钱买一台复读机，他现在已存60元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元，设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是()A．30x－60≥400B．30x＋60≥400C．30x－60≤400D．30x＋60≤400【解析】x月后他至少有400元，可表示成30x＋60≥400.【答案】B3．若8＜x＜10,2＜y＜4，则的取值范围为________．【解析】∵2＜y＜4，∴＜＜，又8＜x＜10，∴2＜＜5.【答案】(2,5)4．下列命题中，真命题是________．①若a＞b＞0，则b，则lga＞lgb.＜；②若a＞b，则c－2a＜c－2b；③若a＞b，e＞f，则f－ac＜e－bc；④若a＞【解析】对①，a＞b＞0⇒0＜＜⇒＜；对②，a＞b⇒－2a＜－2b⇒c－2a＜c－2b；对③，取a＝2，b＝e＝1，f＝