概率统计模拟试题1-4解答

模拟试题(一)参考答案1.设A,B为两个随机事件,若P(AB)=0,则下列命题中正确的是()(A)A与B互不相容(B)A与B独立(C)P(A)=0或P(B)=0(D)AB未必是不可能事件解若AB为零概率事件,其未必为不可能事件.本题应选D.2.设每次试验失败的概率为p,则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为()(A)3(1-p)(B)(1-p)3(C)1-p3(D)C1(1-p)p23解所求事件的对立事件为“3次都不成功”,其概率为p3,故所求概率为1-p3.若直接从正面去求较为麻烦.本3.若函数y=f(x)是一随机变量飞的概率密度,则下面说法中一定成立的是()(A)f(x)非负(B)f(x)的值域为[0,1](C)f(x)单调非降(D)f(x)在(-w,+w)内连续-w所以A一定成立.而其它所以A一定成立.而其它选项不一定成立.例如服从[,]上的均匀分布的随机变量的概率密度|l0,其他324.若随机变量X的概率密度为f(x)=1e-(x)2(-w<x<+w),则Y=()~N(0,1)2爪X+3X+3X-3X-3(A)(B)(C)(D)2222X+3解X的数学期望EX=-3,方差DX=2,令Y=,则其服从标准正态分布.故本题应选A.25.若随机变量X,Y不相关,则下列等式中不成立的是(),,S(A)X~N(0,1)(B)nX~N(0,1)(C)xnX2~X2(n)(D)X~t(n-1)iSi1解X~N(0,1),nX~N(0,n),n.X~t(n-1),只有C选项成立.本题应选C.nS7.样本X,X,^,X(n之3)取自总体X,则下列估计量中,()不是总体期望山的无偏估计量12n(A)xnX(B)X(C)0.1(6X+4X)(D)X+X-Xi1n123i=1解由无偏估计量的定义计算可知,xnX不是无偏估计量,本题应选A.ii 8.在假设检验中,记H为待检假设,则犯第一类错误指的是()0(A)H成立,经检验接受H(B)H成立,经检验拒绝H0000(C)H不成立,经检验接受H(D)H不成立,经检验拒绝H0000个均匀的硬币,出现三个正面的概率是________,恰好出现一个正面的概率是________.12.设随机变量X服从一区间上的均匀分布,且EX=3,DX=,则X的概率密度为________.344________.________.解根据切比雪夫不等式,Y623612.5.假设随机变量X服从分布t(n),则服从分布________(并写出其参数).X2XZXYtnYN1),Z~X2(n),且Y2~X2(1),从而1=n~F(n,1).ZX2Y2n6.设X,X,^,X(n>1)为来自总体X的一个样本,对总体方差DX进行估计时,常用的无偏估计量是12n________.解S2=1(xnX-X)2.n-1ii=1解由全概率公式可得P(A|B)=P(AB)=P(A)P(B|A)=1P(B)P(B)3.两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率为0.03,第二台出现废品的概率为0.02.加工出来的零件放在一起.X1301X13011二台车床加工的概率.解设A,A分别表示第一台,第二台车床加工的零件的事件.B表示产品是合格品的事件.2121112233BB有的数字,求:YY2101263 PXPXPXPYPYP(Y=3)=.4,2,44,2,4 (3)因为P(X=1,Y=1)=0士=P(X=1)P(Y=1),故X,Y不独立. Y6126661266w04一14024YYXXY42y42y4(0‘第i人(0‘第i人不购买该种商品‘ 某商店负责供应某地区1000人商品,某种产品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6.假定在这段时间,各人购买与否彼此无关,问商店应预备多少件这种商品,才能以66.L%的概率保证不会脱销？(假定该商品在某一段时间内每人最多).X~B)I000‘0.9(.又设商品预备n件该种商品,依题意,由中心极限定理可得(1)从罐内任取一球,取得黑球的个数X为总体,即X=〈求总体(2)从罐内有放回的抽取一个容量为n的样本X‘X‘^‘X,其中有m个白球,求比数R的最大似然估计值.ICn解(1)XP1R0Iii)I+R(ni(2)L)R(=nnP)X=x(=Rxxi,两边取对数,InL)R(=Rxx_ii)I+R(nii=I两边再关于R求导,并令其为0,得xxi_n=0,从而Rˆ=xxn_xix,又由样本值知,xxi=n_m,故估计值为Rˆ=_I.i 0.0CS0.0CS解(1)统计量为0IC.IIC FFF5)(在H成立时),2由a=0.05,查得临界值F=F(5,5)=7.15F=1.a/20.025,1a/27.15由样本值算得F=0.0000075=0.962,由于F<F<F,故不能拒绝H,即认为两批电子元件的电0.00000781a/2a/210112XY6 (在H成立时),0a/20.025.表得临界值t=a/20.025.6a0因为|T|<ta0模拟试题(二)参考答案3611(A)(B)(C)(D)181834PABPAPBA)=,3.设两个相互独立的随机变量X与Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1),则()2222XY(A)40(B)34(C)25.6(D)17.6YY机变量X服从参数为入的泊松分布,则X2的数学期望是()16.设X,X,^,X是来自于正态总体N(山,(2)的简单随机样本,X为样本方差,记12ni12nii4niitttttt tt13i1) 2 4解na2i,i=1解na2i,i=17.设总体X均值斤与方差a27.设总体X均值斤与方差a2都存在,且均为未知参数,而X,X,V,X是该总体的一个样本,X为样本方差,12n则总体方差a2的矩估计量是()(A)X(B)1xn(X-斤)2ii=1(C)1xn(X-X)2(D)1xn(X-X)2n-1ini8.在假设检验时,若增大样本容量,则犯两类错误的概率()A增大(B)都减小C变(D)一个增大一个减小解设A表示两件中有一件不合格品,B表示两件都是不合格品.则所求的极限为P(B|A)=P(AB)=P(B)=1P(A)P(A)5l0,x<0,解X服从0-1分布,其分布函数为f(x)=〈X本均值是________,样本方差是________.5155.设总体X服从参数为y的指数分布,现从X中随机抽取10个样本,根据测得的结果计算知x10x=27,那么yii=1的矩估计值为________.解=1=10.X276.设总体X~N(斤,a2),且a2未知,用样本检验假设H：斤=斤时,采用的统计量是________.00 解T=X-斤0~t(n-1)(H为真时).Sn0X01210.1X01210.10.050.3520.30.10.1(1)取到的球是黑球的概率；(2)若取到的是黑球,它是取自Ⅰ号盒中的概率.解设A,A,A分别表示从第Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ号盒中取球,B表示取到黑球.123ii320330350ii320330350i11P(B)1P(B)设随机变量X的概率密度为几对X独立地重复观察4次,用Y表示观察值大于地次数,求Y2的数学期望.33几22223YY解(1)因为,,99 l0,求:(1)X的边缘密度函数f(x)；X其他,(2)E(XY)；解(1)其他.其他.X–w|l0,其他l0,002x82一部件包括10部分,每部分的长度是一个随机变量,它们相互独立,且服从同一均匀分布,其数学期望为2mm,均方差为解设X表示第i部分的长度,i=1,2,^,10,X表示部件的长度.由题意知EX=2,DX=0.0025,且iiiX=x10X,EX=20,DX=0.025.由独立同分布的中心极限定理知,产品为合格品的概率为ii=1设总体X具有概率密度为其中k为已知正整数,求9的极大似然估计.其他,解设X,X,^,X是来自总体X的样本,当x,x,^,x>0时,似然函数12n12nii1i ii=1,iiii=1i1 ii1k=.X0.025,0.025,0.0025解本题是在未知方差,又没有说明方差是否相等的情况下,要求检验两总体均值是否相等的问题,故首先必须检验方差是否相等,在相等的条件下,检验总体均值是否相等.第一步假设H:装2=装2,统计量F~F(n-1,n-1),s122H装2；012012X-YX-Y2Tnn(nn1212经检验,接受H,即可认为东、西两支矿脉含锌量的平均值相等.(请参见模拟试题(一)第九大题)0设总体X的密度函数为|l0,其它,其中9为未知参数,X,X,^,X为来自总体X的样本,证明:4X是9的无偏估计量.12n3证明E(4X)=4EX=4EX=4j+wxf(x)dx3333-w4故X是9的无偏估计量.3 模拟试题(三)参考答案解设A表示一次射击中击中目标,依题意,四次都没击中的概率为334.设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布律,且X的分布律为:X01则随机变量Z=max{X,Y}的分布律为.Z1.22444XYXY6.设总体X的期望值山和方差(2都存在,总体方差(2的无偏估计量是kxn(X一X)2,则k=.nini=1001.6本中文书和4本外文书任意往书架上摆放,则4本外文书放在一起的概率为()774(D)2.若事件A,B相互独立,则下列正确的是()4.设随机变量X服从正态分布N(2,1),其概率密度函数为f(x),分布函数为F(x),则有()XYDXY(A)X与Y相互独立(B)X与Y不相关12n(26.设X,X,^,X是来自总体X~N(山,(2)的样本,X为样本均值,令Y=i=12n(2()DNn7.设X,X,^,X是取自总体N(0,(2)的样本,可以作为(2的无偏估计量的统计量是()12n(A)1xnX2(B)1xnX2(C)1xnX(D)1xnXnin一1inin一1iii=1i=1i=1解由无偏估计的定义及期望的性质知,E(1xnX2)=1xnEX2=EX2=DX+(EX)2=DX=(2故A选择正确,同理验算其他选项,B,C,Dnini,i=1i=18.样本X,X,^,X来自正态总体N(山,(2),若进行假设检验,当()时,一般采用统计量t=X一山012nS/n(A)山未知,检验(2=(2(B)山已知,检验(2=(20000有两台车床生产同一型号螺杆,甲车床的产量是乙车床的1.5倍,甲车床的废品率为2%,乙车床的废品率为1%,现1123424 解设A,A分别表示螺杆由甲,乙车床生产的事件.B表示螺杆是废品的事件.由贝叶斯公式可得1P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)22332.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作.若一周五个工作日里无故障,可获利润解设X表示一周中所获的利润,其分布律为:00510XPXXY112613311616161644X144PP(2)X与Y不相互独立.0x设连续型随机变量X的分布函数为:求:(1)系数A及B；xx解(1)由分布函数的性质知x)+wx,22x)0+x)0+(2)分布函数的导数即为其概率密度,即(3)P(ln4共X共ln9)=F(ln9)_F(ln4)=.6设X,X,^,X为总体X的一个样本,X的概率密度为:12n解令EX=j19x9dx=9=X,从而解得9的矩估计量为09+1)X.9=()2.极大似然估计为:i八.(本题10分)0X_pT=~t(n_X_ps/n(H为真时)0在a=0.05下,查t分布的双侧临界值表知t=2.0301.0.025,计算统计量的值15/36生的平均成绩为70分.九.(本题12分) 两家银行分别对21个储户和16个储户的年存款余额进行抽样调查,测得其平均年存款余额分别为x=2600元和y=2700元,样本标准差相应地为S=81元和S=105元,假设年存款余额服从正态分布,试比较两家银行的储户的2平均年存款余额有无显著差异？(a=0.2 解此题要求检验山=山,由于t检验必须在方差相等的条件下进行,因此必须先检验装2与装2是否相等.12122H装2；012 X_Y X_Y21212经检验,拒绝H,即两家银行的储户的平均年存款余额有显著差异.(请参见模拟试题(一)第九大题)0十.(本题4分)l1，证明:T(X)是e_2入的一个无偏估计量.x=0n=0所以T(X)是e_2入的一个无偏估计量. 模拟试题(四)参考答案.3解.4a-6.设总体X的密度函数为:l0,其他,(其中a为参数a>0),x,x,^,x是来自总体X的样本观测值,则样本的似然函数L(x,xL(x,x,^,x;a)=.12n解annnxa-1.ii=17.设X,Y是二维随机向量,DX,DY都不为零,若有常数a>0与b使P(Y=-aX+b)=1,这时X与Y解完全相关.nSnS9.设X~N(山,完2),Y~N(山,完2),X与Y相互独立.从X,Y中分别抽取容量为n,n的样本,样本均112212 12nn121.设随机变量X的数学期望EX与DX=(2均存在,由切比雪夫不等式估计概率P{X一EX<4(}为00124.若随机变量X与Y不相关,则有().11(A)F(n,n)(B)F(n,n)a121一a211(C)F(n,n)(D)F(n,n)a211一a12解6.将一枚硬币独立地掷两次,记事件:A={掷第一次出现正面},A={掷第二次出现正面},A={正、反面各出现123一次},A={正面出现两次},则事件().4(A)A,A,A相互独立(B)A,A,A相互独立123