第四单元-构件基本变形的分析

通过本单元的学习，了解有关构件基本变形的概念及形式，明确求解构件在各种基本变形状态下的内力和应力，掌握强度条件和刚度条件的公式，并能应用其解决简单的工程问题。

学习目标构件基本变形的分析第四单元基本变形分析的基础综合知识模块一能力知识点1变形分析的基本概念一、变形固体及其基本假设

任何物体受载荷（外力）作用后其内部质点都将产生相对运动，从而导致物体的形状和尺寸发生变化，称为变形。例如，橡皮筋在两端受拉后就发生伸长变形；工厂车间中吊车梁在吊车工作时，梁轴线由直变弯，发生弯曲变形。在外力的作用下会产生变形的物体可统称为变形固体。

变形固体在外力的作用下会产生两种不同的变形：当外力消除后，变形也会随着消失，这种变形称为弹性变形；外力消除后，变形不能完全消除并且具有残留的变形，称为塑性变形。

当物体的外力在一定的范围时，塑性变形很小，可以把构件当作只发生弹性变形的理想弹性变形体。假设弹性体内连续不断地充满着物质，各点处的材料性质完全相同，且各方向上的性质都相同。这就是变形固体的基本假设。即本单元研究的对象为构件是均匀连续的、各向同性的理想弹性体，限于小变形的范围内。二、变形的基本形式

杆件在各种不同方式的外力作用下产生不同形式的变形。变形的基本形式有四种：

①轴向拉伸（压缩）变形③扭转变形②剪切（挤压）变形④弯曲变形

工程实际中，机械设备在工作时，每个构件都要承受一定的载荷（外力）作用，它们的尺寸和形状都会发生变化，并在载荷增加到一定程度时发生破坏。为了保证机械设备在载荷作用下能安全可靠地工作，必须要求每个构件具有足够的承受载荷的能力，简称承载能力。

构件的承载能力分为：强度、刚度、稳定性。三、承载能力

一、强度

构件抵抗破坏的能力。构件在外力作用下不破坏必须具有足够的强度，例如房屋大梁、机器中的传动轴不能断裂，压力容器不能爆破等。强度要求是对构件的最基本要求。二、刚度

构件抵抗变形的能力。在某些情况下，构件虽有足够的强度，但若受力后变形过大，即刚度不够，也会影响正常工作。例如机床主轴变形过大，将影响加工精度。三、稳定性

构件受载后保持原有平衡状态的能力。例如千斤顶的螺杆，内燃机的连杆等。本单元主要研究构件在载荷（外力）作用下的变形、受力与破坏的规律，在保证构件既安全适用又尽可能经济合理的前提下，为构件选择合适的材料、确定合理的截面形状和尺寸提供必要的基础知识和实用的计算方法。一、内力

构件上的载荷和约束力统称为外力。构件在外力作用下，由于变形引起的内部相互作用力的改变量，称为附加力，简称内力。根据材料的基本假设，内力在截面上连续分布，构件的内力随外力增加而增大，当增大到某一限度时，构件将发生破坏。内力与构件的强度密切相关，内力分析和计算是本单元的重要内容。能力知识点2内力与应力取左由平衡方程左右二、截面法

求解内力的基本方法是截面法。截面法求内力的步骤1、截：在欲求处假想用截面将构件截成两段。2、取：取其中任意一段为研究对象。3、代：用作用于截面上的内力，代替切去部分对留下部分的作用力。4、平：对研究对象列平衡方程，由外力确定该截面的内力。三、应力

知道内力还无法判断构件的强度。例如用相同的力拉材料相同、粗细不等的杆，随着拉力的增加，虽然两者的内力相同，但细杆首先被拉断。

说明构件的强度不仅与内力有关，而且与横截面面积有关

截面上某一点内力分布的集度称为应力。应力是一个矢量。τσ应力分为：正应力σ（垂直于截面的应力）切应力τ（切于截面的应力）应力的量纲：力/[长度]2国际制单位：N/m2(Pa)，工程制单位：MN/mm2

(MPa)

换算：1MPa=106Pa1GPa=103MPa综合知识模块二拉伸（压缩）变形的分析能力知识点1轴向拉伸和压缩的概念

工程实际中，有许多杆件承受外力作用而产生轴向拉伸或压缩变形。例如，图a所示内燃机中的连杆、图b所示托架的拉杆和压杆、图c所示连接螺栓等均为二力杆。轴向拉（压）的工程实例与力学模型

1.工程实例

AB杆是二力杆件，外力沿杆件轴线，受到拉伸；BC杆也是二力杆件，外力沿杆件轴线，受到压缩。

△2.杆件轴向拉伸（压缩）的受力与变形特点：

外力（或合外力）作用线与杆件轴线重合

杆件纵向伸长（或缩短），横向缩短（或伸长）。能力知识点2拉（压）杆横截面上的内力和应力一、横截面上的内力

①由截面法求得轴向拉（压）杆的内力沿轴线称为轴力，用符号FN表示，单位是N（牛顿），方向与轴线重合。取左由平衡方程左右取右由平衡方程②轴力的正负由杆件的变形确定。规定：当轴力方向背离截面时，杆受拉，轴力为正，当轴力方向指向截面时，杆受压，轴力为负。左右简记为：拉正压负。③为了形象直观地表明各截面轴力的变化情况，通常将其绘制成轴力图。作法是：以杆的左端为坐标原点，取平行于轴线的χ轴为横坐标轴，其值表示各横截面位置，取垂直于χ轴的FN为纵坐标轴，其值表示对应截面的轴力值，正值画在χ轴上方，负值画在χ轴下方。xFNF1）任一截面上的轴力等于该截面一侧所有外力的代数和。学习例4-1可得出以下结论：2）截面左侧向左、右侧向右的外力产生正值轴力；截面左侧向右、右侧向左的外力产生负值轴力。3）两外力作用点之间各个截面的轴力相等。4）轴力图一般为平行于杆轴的直线。在集中力作用处轴力图发生突变，突变幅值等于集中力的大小。例4-1如图4-8a所示的等截面直杆，受轴向力F1=30KN，

F2=20KN

F3=10KN，求杆件1-1、2-2、3-3截面的轴力，并画出轴力图。112233解：1）直接求各个截面的轴力2）画轴力图XFN40KN10KN10KN4KN5KN2KNF2F4KN9KN3KN2KN受载后受载前1.实验观察2.平面假设F

3.应力计算公式FNFb´a´c´d´F二、横截面上的应力

研究拉（压）杆横截面上应力主要从以下方面讨论：①应力的类型②应力的分布③应力大小的计算结论：

拉杆横截面上的应力是均匀分布的，方向垂直于横截面为正应力σ。拉（压）杆横截面正应力的计算公式为：

式中：σ为横截面上的正应力，单位是MPa

FN

为横截面上的轴力，单位为是N

A为横截面面积，单位是mm2

正应力σ符号规定：

拉应力为正压应力为负。FFNFN1=-F

1=-50KN（受压）90KN50KN解：（1）计算各截面上的轴力并画出轴力图（3）计算正应力

(压应力)(拉应力)例4-2如图4-10所示杆件，在A、B处分别受力F1=50KN，F2=140KN，其横截面面积分别为A1=500mm2，A2=1000mm2，试求横截面上的最大正应力。

FN2=F2–F1=90KN(受拉)设直杆原长为l，直径为d。在轴向拉力（或压力）F作用下，所产生的变形表现为轴向尺寸的伸长（或缩短）以及径向尺寸的缩小（或增大）。变形后杆件的长度为l1，直径为d1。能力知识点3拉（压）杆的变形

一、轴向绝对变形Δl=l1－l

单位长度上的纵向变形称为相对变形或线应变，以ε表示，即二、相对变形三、胡克定律

实验表明，当杆的应力不超过某一限度时，杆件的绝对变形与轴向荷载成正比，与杆件的长度成正比，与杆件横截面面积成反比。即

引入与材料有关的比例常数E，则有

由于杆件只在两端受轴向荷载F，有FN=F，则

比例常数E称为弹性模量。材料弹性模量越大，则变形越小，所以E表示了材料抵抗拉伸或压缩变形的能力，是材料的刚度指标。对杆件来说，EA值越大，则杆件的绝对变形Δl

越小，所以EA称为杆件的抗拉（压）刚度。将σ=FN/A，ε=Δl

/l代入，胡克定律又可表示为上式表明：当应力未超过某一极限时，应力与应变成正比。由于ε无量纲，故E的单位与σ的单位相同，常用GPa表示。1GPa=103MPa=109Pa。1、杆件的应力没有超过某一极限。2、单向拉伸（或压缩）的情况。3、在l长度内，FN、E、A均为常量。胡克定律时适用范围：四、拉（压）杆的变形计算1.画轴力图求各段轴力27kN62kNBACDA1A2lll2.计算变形例：

变截面直杆受力如图，已知A1=500mm2,A2=300mm2,l=0.1m,E=200GPa,试计算杆件变形。

解：FAB=-62+27=-35kNFBC=27kNFCD=27kNFNx35kN27kN例：图示螺栓接头，螺栓内径d1=10.1mm,拧紧后测得长度为l=80mm内的伸长量△l=0.4mm，E=200GPa,试求螺栓拧紧后横截面的正应力及螺栓对钢板的预紧力。

解：1.求螺栓的线应变3.由应力公式求螺栓的预紧力

2.由胡克定律求螺栓截面的应力

σ=E·=(200×103×5×10-4)=100MPaF=σ·A

能力知识点4材料拉伸和压缩时的力学性能材料的力学性能是指材料在外力作用下，表现出来的强度和变形的特征。材料的力学性能是通过试验测定的。

材料的拉伸和压缩试验是测定材料力学性能的基本试验，验中的试件按国家标准（GB/T228-198）加工成图示的标准试件。试验前，先在试件中间的等截面直杆部分取长为l的一段作为工作段，长度l称为标距。对圆截面试件，规定标距l与横截面直径d的比例关系分别为：l=10d和l=5d。一、低碳钢拉伸时的力学性能在常温静载下，把试件安装在万能试验机上，使它受到缓慢增加的拉力F的作用，直到试件被拉断为止。低碳钢是在工程中使用较广泛的一种塑性材料，在抗拉试验中表现出来的力学性能也最为典型。

对应每一个拉力F试件l有一个伸长量△l。表示F和L的关系的曲线称为拉伸图或F-l线，如图所示。

为了消除试件尺寸的影响，将拉伸图的纵坐标F与横坐标△l分别除以试件原截面面积A和原来的长度l，绘制出表示σ与ε的关系曲线称为应力应变图，如图所示。1、弹性阶段（ob段）

如图所示，其中oa段为斜直线，变形为弹性变形，是胡克定律仅适用的一段。E=σ/ε正是oa段的斜率。a点所对应的应力用σp表示，称为比例极限。a到b之间不再是直线关系，但解除拉力后变形可以完全消失，还是弹性变形。b点所对应的应力σe表示材料只出现弹性变形的极限值，σe称为弹性极限。因为a点与b点的距离很近，工程上对弹性极限与比例极限并不严格区分。σeσP2、屈服阶段（bc段）

当应力超过b点时，材料产生塑性变形。应变有非常明显的增加，而应力有微小的波动。在σ-ε曲线上出现接近水平线的小锯齿形线段，如图所示，这种应力基本保持不变，而应变显著增加的现象，称为材料的屈服。在屈服阶段内的最低应力值σs，称为屈服点。由于材料在屈服阶段产生塑性变形，在机械工程中的大多数构件，发生塑性变形时，就丧失了正常工作的能力。所以屈服点σs是衡量材料强度的重要指标。对于低碳钢σs=240MPa。εσs3、强化阶段（cd

段）过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力，要继续变形必须增加拉力，这种现象称为材料的强化。强化阶段中最高点d所对应的应力σb称为强度极限，如图所示。它是材料所能承受的最高应力，是衡量材料强度的另一重要指标。C4、局部变形阶段（de段）

当应力达到σb后，在试件的某一局部范围内，横向尺寸突然急剧缩小，形成缩颈现象，如图所示。由于缩颈部分横截面积迅速减小，拉力也随之减小，引起试件迅速伸长，到e点最后被拉断。

延伸率δ

5、延伸率和断面收缩率(两个塑性描述指标)

试件拉断后，弹性变形消失，保留了塑性变形。材料的塑性就可用试件断裂后遗留下来的塑性变形来表示。工程上常用试件的延伸率δ和断面收缩率ψ作为衡量材料塑性的指标。式中，l为试件标距长度；

l1为试件拉断后的标距长度。

δ>5%的材料称为塑性材料，如钢、铜、铝等；

δ<5%的材料称为脆性材料，如铸铁、石料等。低碳钢的延伸率平均值约为20~30%，说明低碳钢的塑性很好。6、冷作硬化

将试件预加载到强化阶段内的k点，然后缓慢卸载，σ－ε曲线将沿着与Oa′近似平行的直线回到O1点，如图所示。O1k1是消失了的弹性应变，而OO1是残留下来的塑性应变。若卸载后重新加载，应力应变曲线将沿着O1kde变化。比较O1kde和Oa′bcde可知，重新加载时，材料的比例极限和屈服点得到提高，但塑性变形和延伸率有所下降，这种现象称为冷作硬化，经退火后又可以恢复。二、铸铁拉伸时的力学性能铸铁是工程上广泛应用的脆性材料，它在拉伸时的σ-ε曲线是一段微弯曲线，如图所示，没有明显的直线段。

它在较小的拉应力下就被突然拉断，没有屈服和颈缩现象，拉断前应变很小，延伸率也很小。在工程上铸铁的拉应力不能很高，而在较低的拉应力下，则可近似地认为服从胡克定律。拉断时的强度极限σb是衡量强度的唯一指标。一般说，脆性材料的抗拉强度都比较低。三、材料压缩时的力学性能

低碳钢作为塑性材料，其压缩时的σ-ε图如图的实线所示。图中虚线表示低碳钢在拉伸时的σ-ε图。

比较可知，在屈服以前，比例极限σp、屈服点σs和弹性模量E等参数在拉伸和压缩时是相同的。但在屈服后，试件越压越扁，试件抵抗能力也继续增大，并不断裂。因此，在压缩时的σ-ε图中，无强度极限。

以铸铁作为脆性材料的代表，其压缩时的σ-ε图如图中的实线所示，它与拉伸时的σ-ε图（虚线）相似。值得注意的是，压缩时强度极限比拉伸时的强度极限高3~4倍，最后试件是沿与轴线成45°~50°角的斜面破坏的。

一、极限应力、许用应力与安全系数

1.构件失效

塑性材料的屈服点σs与脆性材料的抗拉强度σb是材料强度失效时的极限应力。塑性材料：脆性材料：强度失效的形式：脆性断裂和塑性屈服

极限应力除以大于1的安全系数系数n作为工作应力的最大允许值称为许用应力，用[σ]表示。即

2.许用应力

极限应力：使材料丧失正常工作能力时的应力。能力知识点3

杆件拉伸（压缩）时的强度计算拉（压）杆的强度条件为

为了保证拉（压）杆具有足够的强度，能够安全耐久地工作，必须使杆件最大工作应力不超过材料的许用应力。FN

和A分别为危险截面的轴力和横截面积。[σ]材料的许用应力，是构件在安全正常工作时所允许承受的最大应力。二、拉(压)杆的强度条件

变截面杆的危险截面须综合考虑FN

、A对工作应力的影响来确定。危险截面的确定

等截面直杆的危险截面位于轴力最大处。三、强度条件的应用强度足够强度不够

1、强度校该

已知构件所承担的F、构件的横截面积A和材料许用应力[σ]，计算最大工作应力，检验是否满足强度准则，从而判断构件强度是否满足。2、截面设计

已知构件所承担的F、材料的许用应力[σ]，由强度准则计算出截面面积A，即A≥FN/[σ]，根据截面形状，设计出杆件的截面尺寸。3、确定许可载荷

已知构件的截面面积A、许用应力[σ]，由强度准则计算出构件所能承受的最大内力FN，即FN≤A·[σ],再根据内力与外力的关系，确定出杆件允许的最大荷载值[F]。[例]已知一圆杆受拉力P=25kN，直径d=14mm，许用应力

[]=170MPa，试校核此杆的强度。解：①轴力：FN

=P

=25kN②应力：③强度校核：④结论：此杆满足强度要求，强度足够。PP例：图示三角架由AB与BC两根材料相同的圆形截面杆铰链连接成，材料的许用应

[σ]=100MPa，作用于节点B的载荷F=40KN，

AB杆的直径为d

AB=40mm，BC杆的直径为

dBC=20mm，试校核AB、BC杆的强度。解：1）确定AB、BC杆的轴力。AB杆和BC杆分别为轴向受拉和轴向受压的二力杆，如图所示。30°F2）取B点，用截面法截开AB杆及BC杆，受力分析如图。3）校核强度AB杆强度：BC杆强度：

BC杆强度不够，需重新设计。故AB杆强度足够。4）重新设计BC杆的直径。由强度条件可知BC杆的直径d=30mm例：三角吊环由斜杆AB、AC与横杆BC组成如图5-9所示，=30，斜钢杆的[σ]=120MPa，吊环最大吊重G=150KN。试按强度准则设计斜杆AB、AC的截面直径d。

解：1.画受力图求轴力2.截面设计，由强度条件得

所以，AB、AC杆的截面直径取d=35mm。

∑Fx=0：-FN1sin

+FN2sin

=0∑Fy=0：FT-FN1cos

-FN2cos

=0

FN1=FN2=G例：图示支架，在B点处受荷载F作用，杆AB、BC分别是木杆和钢杆，木杆AB的横截面面积A1=100×102mm2，许用应力[σ1]=7MPa;钢杆BC的横截面积A2=600mm2，许用应力[σ2]=160MPa。求支架的许可荷载[F]。解：1.画受力图求轴力2.确定许可载荷由强度条件∑Fy=0：FN2sin30°-F=0

∑Fx=0：FN1-FN2cos30°

=0对木杆：

所以，该支架的许可荷载[F]=40.4kN。对钢杆：综合知识模块三剪切（挤压）变形的分析能力知识点1剪切与挤压的概念

工程实际中常用的一些连接件，例如螺栓、螺钉、铆钉、销钉、键、剪板机中的板材、木榫接头、焊接接头等，在外力作用下将主要产生剪切变形和挤压变形。螺栓销钉

用铆钉连接两块钢板如图所示，铆钉受到钢板传递来的两个横向力F（垂直于零件轴线方向作用的力）的作用如图所示。实例一用键连接轴和轴上的传动件（如齿轮、皮带轮等）如图所示，使轴和传动件不发生相对转动，以传递扭矩。键的受力如图实例二如果外力F不断增大，将使铆钉或键沿截面m—m剪断这种现象称为剪切破坏。mmmm剪切变形的受力特点：作用于构件两侧面的外力（或外力的合力）大小相等、方向相反、作用线与轴线垂直且相距很近。剪切变形的变形特点：两力之间的横截面发生相对错动。发生相对错动的截面（被剪断的截面）称为剪切面，剪切面面积用Aj表示。切于剪切面的内力称为剪力，用FQ表示，其大小和方向可用截面法确定。FQFQ

铆钉的侧表面与钢板上的铆钉孔之间相互传递压力，所以铆钉在产生剪切变形的同时，在与铆钉孔接触的表面上还相互压紧，这种局部表面上受压的情况称为挤压，如图所示。

连接件与被连接件之间的接触面称为挤压面，挤压面面积用Ajy表示。作用于挤压面的压力称为挤压力，用Fjy表示。

如果相互挤压的力过大，就会使连接件接触处的局部区域发生塑性变形，这种变形称为挤压变形。产生挤压变形会使连接松动，导致构件的失效而不能正常工作，这种现象称为挤压破坏。能力知识点2典型零件剪切与挤压的实用计算一、剪切强度计算图示的键连接，取键为研究对象，应用截面法得剪切面上的剪力FQ切于截面且与外力F平行、大小相等、方向相反。（c）

剪力FQ在剪切面上的实际分布规律比较复杂，工程中通常采用“实用计算法”，即假定剪力FQ在剪切面上是均匀分布的，其应力称为切应力。

为了保证剪切变形构件安全可靠的工作，必须使剪切面上的应力不超过连接件材料的许用应力[τ]。即剪切强度条件为

二、挤压强度计算由于挤压力Fjy与挤压面相互垂直，挤压应力也与挤压面相互垂直。挤压应力在挤压面上的分布也比较复杂，同样采用“实用计算法”，即假定挤压力Fjy在挤压面上是均匀分布的。（c）挤压应力为

为了保证受剪构件有足够的挤压强度，挤压强度条件为图示的普通平键，挤压面面积

Ajy=hl/2

剪切面面积A=bl三、剪切面面积及挤压面面积的计算d剪切面挤压面侧面受挤压的圆柱形联接，剪切面面积A=πd2/4受挤压的面为半圆柱形，其挤压面面积为半圆柱面的正投影面面积Ajy=dt。其中d为直径，t为圆柱形联接件与孔的接触长度。

焊接也是目前工程中钢结构最主要的连接方法，它与其它连接相比有不削弱构件截面，节省钢材，构造简单，加工制造简便等优点。焊缝处的剪切变形强度问题在工程中也很重要。

如图所示，焊缝的横截面一般视为等腰三角形，焊缝的最小厚度为三角形斜边的AB=tcos45°=0.707t。则剪切面（焊缝的最小截面）的面积为A=AB·l’=0.707tl’。式中，l’为焊缝的计算长度。由于焊缝两端焊接质量不够好，通常将焊缝实际长度l减10mm后作为计算长度l’。在设计时，假设这种焊缝沿焊缝的最小纵截面处，即与板面成45°的斜面发生剪切破坏，并假设切应力在剪切面上均匀分布。

剪切强度条件和挤压强度条件也可以解决强度计算的三类问题。当连接件与被连接件的材料不同时，应对许用挤压应力[σjy]值较小的构件进行强度计算。说明例4-6如图所示，带轮用普通平键与轴联接，已知轴的直径d=70mm，键的尺寸为b×h×L=20mm×12mm×100mm，传递的转矩T=2KN·m，键的材料许用切应力[τ]=60MPa，许用挤压应力[σjy]=150MPa，带轮的许用挤压应力[σjy]=100Mpa，试校核键联接的强度。解：（1）计算作用于键上的外力F剪切面上的剪力（2）校核键的剪切强度故剪切强度足够。键的剪切面面积

校核键的剪切强度（3）校核键的挤压强度挤压面上的挤压力挤压面面积

校核键的挤压强度故挤压强度足够。因此整个联接强度足够。综合知识模块四

圆轴扭转变形的分析能力知识点1圆轴扭转的概念汽车操纵杆机器中的转轴工程中发生扭转变形的实例拧螺钉的螺丝刀杆受力特点：在杆件两端作用的力偶，大小相等、转向相反、作用面平行。力偶作用，力偶的作用面与轴线垂直。变形特点：相邻两截面绕轴线相对转动，产生了相对扭转角φ。工程中发生扭转的构件大多数是园截面或环形截面杆，称为轴。一、外力偶矩的计算

工程实际中，轴上作用的外力偶矩根据轴所传递的功率和轴的转速计算：

式中：Me为作用于轴上的外力偶矩（N·m），P为轴所传递的功率（Kw），

n为轴的转速（r/min）能力知识点2圆轴扭转时横截面上的内力扭矩扭矩图①切②取③代④平ΣM=0T－Me=0T=Me二、圆轴扭转时横截面上的内力（扭矩）截面法：

因为外力为力偶，所以内力也为内力偶称为“扭矩”，用T

表示，单位Nm。1、扭矩的定义2、扭矩的符号右手螺旋法则规定扭矩的符号：以右手四指握向表示扭矩的转向，则拇指的指向离开截面时扭矩为正，反之为负。xTMe3、扭矩图表明各横截面上扭矩沿轴线的变化情况的图线。

例4-9如图所示为一传动轴，轴的转速

n=500r/min，主动轮B输入功PB=60kW，从动轮A、C、D输出功率分别为PA=28kW，PC=20kW，PD=12kW。试绘制轴的扭矩图，并指出Tmax的值。解：（1）计算外力偶矩（2）计算各截面扭矩AB段：

T1=-MA=-534.8

N·m

BC段：

T2=MB-MA

=1146N·m-534.8N·m=611.2N·m

CD段：

T3=MD=229.2N·m（3）画扭矩图最大扭矩在BC段内的各横截面上

Tmax=611.2N·m

。（4）A、B两轮位置对调AB段：

T1=MB=1146N·m

BC段：

T2=MB－MA

=1146N·m-534.8N·m

=611.2N·m

CD段：

T3=MD=229.2N·m

扭矩图最大扭矩在BA段内的各横截面上，其值为

Tmax=1146N·m说明：前者的布置更为合理，有利于提高轴的强度。结论（1）扭矩图与轴力图类似，也是矩形框图；（2）在外力偶作用的截面，扭矩发生突变，且该截面扭矩出现极值；（3）当轴上作用三个或三个以上的外力偶矩而平衡时，轴上各段横截面的扭矩一般是不同的，任一截面上的扭矩等于该截面左段（或右段）外力偶矩的代数和，即T=ΣM左（或ΣM右）（简便方法）（4）扭矩的最大值与输入、输出轮的布置有关。能力知识点3圆轴扭转时横截面上的应力①应力的类型②应力的分布③应力大小的计算一、圆轴扭转时的变形及假设

为了研究应力，先来观察扭转实验的现象。在圆轴的两端分别施加两个外力偶，使其发生扭转变形，如图所示。在小变形的情况下，可以看到：1、各圆周线的形状、大小及间距均无变化，只是各自绕轴线转过一个微小角度。2、各纵向线仍近似为直线，只是倾斜了同一个微小角度γ圆周线与纵向线围成的矩形变为平行四边形。γ

各横截面上没有正应力，只有垂直于半径的切应力。二、圆轴扭转时的应力横截面上任一点切应力的计算公式为：

由上式可知，各点切应力的大小与该点到圆心的距离成正比，其分布规律如图所示。圆轴扭转时，最大切应力τmax发生在圆轴表面。当ρ=R时，其值为

令则轴的最大切应力为

三、圆轴横截面的极惯性矩和抗扭截面系数

2、空心圆轴。设外径为D，孔径为d，α=d/D为横截面内外径之比，则1、实心圆轴。设直径为D，则例4-10如图所示一齿轮传动轴为实心圆轴，传递力偶矩Me=10kN·m,轴的直径d=80mm。试求轴的最大切应力。

解：1、扭矩：T=Me=10KN2、最大切应力在圆轴表面直径最大处能力知识点4圆轴扭转时的强度计算圆轴的扭转强度条件为：圆轴的扭转强度条件的应用：

1、强度校该2、截面设计3、确定许可载荷例4-11机床二级齿轮减速箱中的中间轴如图所示。轴径D=50mm，轮C输入功率PC=40kW，轮A、轮B输出功率分别为PA=23kW，PB=17kW，轴的转速n=200r/min，许用切应力[]=50MPa，试校核该轴的强度。

解：（1）计算外力偶矩（2）计算扭矩。最大转矩Tmax=T1=1098.25Nm，发生在AC段。

T1=MA=1098.25Nm

T2=-MB=-811.75Nm（3）校核强度该轴强度足够。一、圆轴扭转时的变形

圆轴扭转变形用一个横截面相对另一个横截面转过的角度来度量，称为“扭转角”单位rad。

式中，称为圆轴的抗扭刚度。越大，则越小，抗扭刚度反映了截面抵抗扭转变形的能力。G为材料的切变模量。能力知识点5圆轴扭转时的刚度计算工程中常用单位长度扭转角来度量扭转变形的程度，即

弧度换算为度，即用1rad=180°/π代入运算得二、圆轴扭转时的刚度计算圆轴扭转时的刚度条件为例4-13一为实心、一为空心的两根圆轴，材料、长度和所受外力偶均一样，实心圆轴直径d1

，空心圆轴外径D2、内径d2，内外径之比α=d2/D2=0.8。若两轴重量一样，试求两轴最大扭转角之比。

解：1、两轴材料、重量和长度一样，则截面积也一样A1=A2

，即2、因承受的外力偶矩相同，两轴截面上扭矩也应相等，即T1=T2

，实心圆轴和空心圆轴最大扭转角分别是

因两轴的材料、长度l都相同，故两轴最大扭转角之比将代入，则再将α＝0.8代入上式，得空心圆轴的扭转角远小于实心圆轴的扭转角。例：

图示轴AC、BC段的扭矩

T1=1098.25Nm，T2=-811.75Nm，材料的切变模量G=80GPa，许用切应力[]=50MPa，单位长度许用扭转角=1°/m，试求实心圆轴的直径d。解：（1）画扭矩图，圆轴的最大扭矩为：Tmax=T1=1098.25Nm(2)计算圆轴的直径d，根据扭转强度条件

根据扭转刚度条件

为了同时满足圆轴扭转强度条件和刚度条件，圆轴的直径圆整为d=55mm。能力知识点6如何提高圆轴的强度及刚度根据圆轴的强度和刚度条件

降低最大扭矩Tmax和增大抗扭截面系数Wp。合理布置轮的位置，降低Tmax。合理采用阶梯轴和空心轴，增大Wp。综合知识模块五平面弯曲变形的分析能力知识点1

工程中梁弯曲的概念工程中弯曲变形的实例桥梁火车轮轴车刀

1、杆件的受力特点是：作用于杆件上的外力垂直于杆件轴线。

2、变形特点是：杆件的轴线由直线变为曲线。

3、以弯曲变形为主的杆件工程上称为梁。一、平面弯曲的概念

若梁上所有载荷都作用在该纵向对称面内，梁弯曲变形时轴线x，也在纵向对称平面内弯成一条曲线，这种弯曲称为平面弯曲。

二、梁的分类与简化按照支座对梁的约束情况可将梁简化为

（1）简支梁

（2）悬臂梁（3）外伸梁（1）集中力F

单位是N。（2）集中力偶矩M单位是Nm。（3）均布载荷是作用于杆件上一定长度力，称为载荷集度q，单位是N/m。作用梁上载荷的简化以简支梁为例已知F、l、a求梁横截面上的内力（1）计算约束力FA、FBFAFB能力知识点2平面弯曲时梁横截面上的内力

弯矩、弯矩图

（2）设约束力FA、FB均已知，求任意截面m-m上的内力。FA取左，由平衡条件得取右，由平衡条件得梁弯曲时，横截面上的内力由两部分组成:1、作用线通过截面形心，且平行于外力，使梁受剪切作用的内力，称为“剪力”用FQ

表示。单位N2、位于纵向对称面内，使梁受弯曲作用的内力偶矩，称为“弯矩”用M表示。单位Nm一、弯矩的正负号规定：若弯矩使微段梁的弯曲变形凹面向上时，截面上的弯矩M为正，反之为负。本教材只讨论弯矩上凹为正，下凹为负。二、梁的某截面上弯矩的大小等于截面一侧所有外力对该截面形心力矩的代数和。即M=ΣMC（F左）（或ΣMC（F右））FA外力偶矩左顺右逆，弯矩为正；反之为负。四、应用举例解：1.画梁的受力图求约束力。

2.

求指定临近截面的弯矩（用简便方法）用截面左段梁上的外力计算Cl/2FAB△l/2112233例8-1

图示简支梁AB，中点C作用集中力F，试求梁指定临近截面（△→0）的剪力和弯矩值。1-1截面(弯矩计算中△按0代入）2-2截面3-3截面

用截面右段梁上的外力计算1-1截面2-2截面3-3截面Ｍ(x)=x截面左(或右)段梁上外力矩的代数和，左顺右逆为正。

FAFB解：1.画梁的受力图求约束力。

例8-7

图示的外伸梁AB，在CB段作用均布荷载q，求指定截面的剪力和弯矩。

2.求指定截面的弯矩

=-qa/4

=5qa/4C2aqABa1423FAFB2-2截面3-3截面4-4截面1-1截面Ｍ(x)=x截面左(或右)段梁上外力矩的代数和，左顺右逆为正。

2a2a2a

2.

求截面的弯矩解：1.画受力图求约束力FAFB例：

外伸梁DB如图示，已知均布荷载q，集中力偶ＭC=2qa2。试求梁指定截面的剪力和弯矩。

弯矩在集中力偶作用处产生突变，突变的幅值等于集中力偶的大小。

=2qa=0二、弯矩方程和弯矩图以梁的轴线为x轴，则坐标x表示横截面在轴线上的位置。一般弯矩是随截面位置而变化的，可表示为x的函数。即称为弯矩方程，它表达了弯矩沿梁轴线的变化规律。为了直观清楚地表示弯矩的变化情况，可按弯矩方程绘制出图形，称为弯矩图。弯矩图画法：以平行于梁轴线的x坐标为横坐标表示横截面的位置，用垂直于x轴的纵坐标表示各截面上相应弯矩的大小，正弯矩画在x轴上方，负弯矩画在x轴下方。

2.列弯矩方程

3.

建立坐标描点画弯矩图例：

图示台钻手柄杆AB用螺纹固定在转盘上，已知l、F，试建立手柄杆AB的弯矩方程，并画其弯矩图。解:1.建AB杆悬臂梁模型。FBAlMxＭ（x）=-F（l-x）

(0<x<l)弯矩图为斜直线，|Ｍ|max=Fl

。

FlxＭ（l）=0Ｍ（0）=-Fl弯矩图绘制要求：1、载荷图、弯矩图两图要求上下正对齐。2、表示截面位置的x轴对应梁的轴线。标注对应坐标点的弯矩数值。例：

图示简支梁AB受集中力F作用，跨度为l，求最大弯矩，并画出梁的弯矩图。解：1、计算约束力2、列弯矩方程AC段：BC段：3、描两点画直线弯矩图BC段：AC段：5、当a=b，F作用在梁的中点时小结1、集中力处为弯矩图的分界点。2、在集中力附近弯矩图出现转折，各段弯矩图为直线，斜率不同。3、梁的端部截面弯矩值为零。4、最大弯矩在F附近截面处。例：图示跨度为

的简支梁AB，其自重为均布载荷，载荷集度为q，求最大弯矩，并画出梁的弯矩图。解：（1）计算支座反力。（2）列弯矩方程。（3）描三点画抛物线弯矩图小结1、分布载荷作用的梁，弯矩图为抛物线。2、分布载荷的方向向下，抛物线开口向下，反之开口向上。3、梁的端部截面弯矩值为零。4、最大弯矩在分布载荷长度的中点处，其值为：例：图示简支梁AB受集中力偶的作用，求最大弯矩并画出梁的弯矩图。解（1）计算约束力（2）列弯矩方程AC段CB段（3）描两点画直线弯矩图AC段CB段5、当a<b小结1、集中力偶处为弯矩图的分界点。2、在集中力偶附近弯矩图出现突变，各段弯矩图为直线，斜率不同。3、梁的端部截面弯矩值为零。4、最大弯矩在MC附近截面处。弯矩图的规律：1、在两集中力之间的梁段上，弯矩图为直线；在集中力作用处，弯矩图发生转折。2、在均布荷载作用的梁段上，弯矩图为二次抛物线。均布荷载向下，则抛物线开口向下。3、在集中力偶作用处，弯矩图发生突变，突变的绝对值等于该集中力偶的大小。4、梁的端部截面若无外力偶作用时弯矩值为零。掌握弯矩图的一般规律，即可不列弯矩方程直接作弯矩图。其方法是：先了解各种受力情况下弯矩图的形状，再利用简便方法计算控制截面（集中力作用处，集中力偶作用处两侧截面）的弯矩，将控股截面的弯矩连接起来即可。（2）作弯矩图

根据梁的弯矩图规律可知，AC、CD、DB三段均为斜直线，且在集中力作用的C、B处有转折。例：图示外伸梁AD受集中力的作用。求最大弯矩，并画出梁的弯矩图。解（1）计算A、B处约束力建立坐标、描点连线作弯矩图。梁的两端截面：梁的两控制截面：解:1.求出支反力

2.建立坐标，求控制截面弯矩

4.

最大弯矩

|Ｍ|max=2Fa/3

例：

图示简支梁AB，已知F

、a、M0=Fa，画梁剪力、弯矩图,并求梁的|Ｍ|max

。CaFABaaDM0FBFAFa/3Fa/32Fa/3

如图所示，简支梁的弯矩图，在CD段，横截面上只有弯矩而没有剪力，发生纯弯曲变形，而在AC和DB段，既有弯矩又有剪力，这种弯曲称横力弯曲（剪切弯曲）。一、纯弯曲的概念

纯弯曲是指横截面上只有弯矩，剪力为零的平面弯曲。能力知识点3梁弯曲时的强度计算二、纯弯曲时梁横截面上的正应力（一）变形现象及特点变形前变形后MeMe（1）两横向线仍然为直线且与轴线垂直，但倾斜了一定的角度。（2）纵向线变成了曲线，b’b’缩短了，a’a’伸长了。

梁的各纵向线受到轴向拉伸和轴向压缩，因此纯弯曲时横截面上只有正应力，并且既有拉应力，又有压应力。几个基本概念：

中性层：梁上既不伸长，也不缩短的纵向截面。中性轴：中性层与横截面的交线。中性轴一定是横面上的形心轴。（二）梁横截面上的正应力（1）正应力的分布以中性轴为界，凹边是压应力，使梁缩短，凸边是拉应力，使梁伸长，横截面上同一高度各点的正应力相等，距中性轴最远点有最大拉应力和最大压应力，中性轴上各点正应力为零。

ZYY（2）正应力的计算公式

在中性轴上当y=0时，弯曲正应力σ=0；当y=ymax时，σ达到最大值σmax。可见，最大正应力σmax产生在离中性轴最远的边缘处.

在弹性范围内，经推导可得梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力为式中WZ称为梁的抗弯截面系数，单位是mm3令ZYY梁横截面的惯性矩Iz和抗弯截面系数WZ表示横截面的几何性质，其大小与横截面的形状和尺寸及轴的位置有关，Z轴为中性轴。（三）梁横截面的惯性矩

和抗弯截面系数WZ简单截面的惯性矩和抗弯截面系数计算公式

三、梁弯曲时的强度计算

要使梁有足够的强度，必须使梁内危险截面的最大弯曲正应力σmax不超过材料的许用应力[σ]。即

利用梁弯曲时的强度条件也可以解决校核强度、设计截面尺和确定许可载荷三类问题。

1、强度校该2、截面设计3、确定许可载荷解（1）画弯矩图并确定Mmax（2）计算抗弯截面系数（3）最大正应力（4）校核强度梁的强度足够例:图示矩形截面的简支木梁。已知：梁跨度l=4m，矩形截面宽b=140mm,高h=210mm，均布荷载q=2kN/m，弯曲时木木材的许用正应力[σ]=10MPa，试校核该梁的强度。例：某车间欲安装简易吊车大梁选用32b工字钢，查型钢表截面抗弯截面WZ=7.26×105mm3，跨度l=10m，电葫芦自重F1=6.7KN，梁的自重不计，材料的许用应力[σ]=160MPa。试确定该梁许可吊重F2。解：（1）确定梁的计算简图，画弯矩图。（2）确定许可吊重F2。由强度条件

如图所示，若桥式吊车梁变形过大，会使吊车在行驶过程中发生较大的振动，还使得吊车出现下坡和爬坡现象，不能平稳的吊起重物，甚至脱轨。工程中的刚度问题能力知识点4梁弯曲时的刚度计算

如图所示，若齿轮轴弯曲变形过大，就要影响齿轮的正常啮合，加速齿轮的磨损，产生较大的噪音，还会影响工件的加工质量。

另一方面，例如车辆上的钢板弹簧又常常利用弯曲变形来缓和车辆所受到的冲击与振动。由以上例子可知，工程上，梁不但应有足够的强度，以保证安全，还应有足够的刚度，以保证正常工作。因此，需要掌握梁的弯曲变形的计算方法。一、梁的变形（一）挠曲线F挠曲线（二）挠度和转角

梁的任一横截面的形心在垂直于轴线方向上的位移，称为挠度，通常用y表示。一般规定上正下负。单位是mm。

梁的任一截面相对于原来位置所转过的角度，称为该截面的转角，用θ表示，单位是弧度(rad)。一般规定逆正顺负。梁弯曲变形时，它的轴线由直线变为连续而光滑的曲线，称为挠曲线。建立坐标系，挠曲线方程可表示为叠加法求梁的变形步骤：（1）查表求出载荷单独作用时梁的变形。（2）计算各力产生变形的代数和。梁的变形与梁材料的弹性系数E、横截面的惯性矩有关。E与的乘积称为“梁的刚度”。它反映梁抵抗弯曲变形的能力。说明（三）梁的变形计算当梁上有几个载荷共同作用时，可以分别计算梁在每个载荷单独作用时的变形，然后进行叠加，即可求得梁在几个载荷共同作用时的总变形，这就是求梁变形的叠加法。叠加法适用于材料服从胡克定律且变形很小的情况。梁在简单载荷作用下的变形例：图示起重机大梁的自重是集度为q的均布载荷，梁的跨度为l，吊重F为作用于跨度中间的集中力。试求大梁跨度中间的挠度。EI为常量。yc解：（1）分解载荷、查表均布载荷q单独作用下在均布载荷q和集中力F共同作用下在集中力F单独作用下二、梁弯曲时的刚度计算

满足刚度条件，就是指梁在外力的作用下，应保证最大挠度小于许用挠度，最大转角小于许用转角，

[y]为许用挠度，单位是mm；

[θ]为许用转角，单位是rad。它们的大小取决于实际的要求。例：

图示简支梁由18号工字钢制成，受均布荷载q的作用。已知材料的

E=210GPa，［σ］=150MPa，［y］

=L/400。试校核梁的强度和刚度。Z解：(1)由型钢表查得18号工字钢

Wz=185cm3=185×103mm3

Iz=1660cm4=1660×104mm4(2)强度校核(3)刚度校核查表得梁强度和刚度足够。能力知识点5提高梁的强度和刚度的措施

由梁的正应力强度条件

提高梁的强度就是减小最大正应力σmax，即降低最大弯矩Mmax。提高抗抗弯截面系数Wz，

一、提高梁的弯曲强度的措施（1）合理布置梁支座具体措施1、降低最大弯矩（2）合理布置载荷2、提高抗弯截面系数WZ（1）合理使用的截面ZbhbhZ矩形截面竖放比横放合理（2）合理选择的截面选择的比值较大的截面形状。（3）根据材料性能选择截面

对于低碳钢一类的塑性材料，由于其抗拉性能与抗压性能相同，因此适宜选用(上图)上、下对称于中性轴的截面形状。

对于铸铁一类脆性材料，由于其抗压性能显著大于抗拉性能，因此适宜选用上、下不对称于中性轴的组合截面形状。

ZZZZZ<<<三.采用等强度梁

等截面直梁的尺寸是由最大弯矩Ｍmax确定的，但是其它截面的弯矩值较小，截面上、下边缘点的应力也未达到许用应力，材料未得到充分利用。因而从整体来讲，等截面梁不能合理利用材料，故工程中出现了变截面梁。如摇臂钻的摇臂AB（图a）；汽车板簧（图b示）；阶梯轴（图c示）等。

等强度梁的截面尺寸随截面弯矩的大小而改变，使各截面最大应力同时近似地满足强度准则得：

FBAMmax3、采用变截面梁或等强度梁为了减轻梁的自重和节省材料，在工程实际中，经常根据弯矩的变化情况，将梁设计成不同的截面。在弯矩较大处，采用较大的截面；在弯矩较小处，采用较小的截面。这种截面沿轴线变化的梁，称为变截面梁。

理想的变截面梁其截面尺寸应随截面弯矩的大小而改变，使各截面最大应力同时近似地满足强度准则得：

FBAMmax等强度梁阶梯轴二、提高梁弯曲刚度的措施提高刚度就是要尽量减小弹性变形。梁的挠度和转角除与载荷成正比外，还与梁跨度l的n次方成比，与抗弯刚度EI成反比。1、增加或加固支座，减小梁的跨度。梁的跨度对弯曲变形的影响最为明显。应尽可能地增加支承、减小梁的跨度。

跨度和外伸长度都缩短，弯曲刚度有较大提高。Z145造型机横臂刚度支点在立柱的后面改进后支点在立柱的前面实例1在梁的跨度不能缩短的情况下，可以采用增加约束的办法来提高梁的刚度。实例2车削细长杆时加上顶尖支承简支梁AB的中点C处增加一个支座

皮带轮采用卸荷装置后，皮带轮所受的皮带拉力，经滚动轴承传给箱体，由于皮带轮与轴承端盖用螺钉联接在一起，皮带轮的转矩则通过轴承盖与轴端部的花键传递给轴。从而消除了皮带拉力对传动轴弯曲变形的影响，使轴只传递转矩而不承受弯矩。实例3改善结构形式提高梁刚度。

车床主轴上主动轮的排列，主动轮传给主轴的扭矩虽无改变，但径向啮合力FR的方向却改变了，从而使主轴外伸端的挠度减小，明显地提高了主轴的刚度。实例42、改变加载方式和支座位置简支梁中点的集中力改为的对称作用的两个集中力。合理安排支座梁的挠度或转角与其截面的惯性矩成反比，在梁的截面面积相等的前提下，可以由不同的截面形状，获得不同的惯性矩的数值。应尽可能的采用较大惯性矩的工字形、槽形、T字形、箱形或箱形加筋的截面形状来提高梁的抗弯刚度。3、合理设计截面，增大惯性矩。如起重机大梁一般采用工字形或箱形截面，机器的箱体采用加筋的办法提高箱壁的抗弯刚度。4、材料选择与刚度的关系弯曲变形与材料的弹性模量E有关，E值越大弯曲变形越小。但由于各种钢材的弹性模量E大致相同，因此，希望用提高弹性模量的办法来提高梁的刚度，是不会收到明显效果的。从提高弯曲刚度的观点看，没有必要选用价格昂贵的高强度钢。【实训一】低碳钢拉伸时的力学性能的测定一、概述拉伸试验是测定材料在常温、静载荷作用下力学性能的一个最基本最重要的试验。通过拉伸试验为机械制造、土木工程、冶金及其它各种工业部门提供可靠的材料的力学性能参数，便于合理地使用材料，保证机器（结构）及其零件（构件）的安全工作。本次试验将选用低碳钢作为塑性材料的代表，做拉伸试验。材料的力学性能试验必须按照国家标准进行。二、实验目的1、观察低碳钢、铸铁试件在拉伸过程中所出现的各种变形现象（包括屈服、强化和缩颈等），分析拉力与变形之间的关系，并绘制拉伸图。2、测定低碳钢的几个主要拉伸性能指标，比例极限、屈服点、抗拉强度、断后延伸率δ和断面收缩率ψ，以及铸铁的强度极限。3、学习、掌握万能试验机的使用方法及其工作原理。三、实验设备和仪器1、万能材料试验机一台，其结构如图4-103所示。

图4-1032、标准试件：低碳钢（塑性