必修3.3.2.1古典概型及其概率计算

必修3.3.2.1 古典概型及其概率计算教学目标1.通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.学习内容.基本事件一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上的事件，称作基本事件 ^基本事件的两个特点：(i)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.例如：投掷一枚硬币的事件“正面向上”与“反面向上”是这个实验的二个基本事件..古典概型(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)各基本事件的出现是等可能的，即它们发生的概率相同.我们把具有这两个特征的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.注意：在“等可能性”概念的基础上，很多实际问题符合或近似符合这两个条件，可以作为古典概型来看待..古典概型的概率计算公式A包含的基本事件个数P(A)=总的基本事件个数.例如：掷一骰子正面向上点数是 3的倍数的概率是1.3例题讲解题型一列举基本事件求概率例1一个口袋内装有大小相等的 1个白球和已编有不同号码的 3个黑球，从中摸出2个球.(1)求基本事件总数.(2)事件摸出2个黑球”包含多少个基本事件？(3)摸出2个黑球的概率是多少？解析：在古典概型下，每一个基本事件出现的概率均为 .因此，要求P(A)关键是求出事件A中所包含的基本事件的个数m,然后套用公式事件A包含的基本事件的个数mP(A)= 基本事件的总数n求得古典概型的概率.由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型.(1)从装有4个球的口袋内摸出2个球，基本事件总数为 6.(2)事件摸出2个黑球”={(黑1,黑2),(黑2,黑3),(黑1,黑3)},共3个基本事件.1(3)基本事件总数n=6,事件摸出两个黑球”包含的基本事件数m=3,故P=2.点评：1.求基本事件的基本方法是列举法.基本事件具有：(1)不能或不必分解为更小的随机事件； (2)不同的基本事件不可能同时发生.因此，求基本事件时，一定要从可能性入手，对照基本事件的含义及特征进行思考，并将所有可能的基本事件一一列举出来.2.对于较复杂问题中基本事件数的求解还可应用列表或树形图.巩卸在一个口袋中装有3个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同.从中摸出2个球，至少摸到1个黑球的概率是.答案：170题型二利用事件的运算关系求概率例2假如某人有5把钥匙，但忘了开门的是哪一把，只好逐把试开，现在我们来研究一下：(1)此人恰好在第三次打开房门的概率有多大？(2)此人三次内打开房门的概率是多少？解析：(1)记恰好第三次打开房门”为事件Ai,5把钥匙的排列是随机的，因此哪一次打开房门的概率均相等， 故P(Ai)_1一5.(2)记上次内打开房门”为事件A2,它可以分解成三个子事件B1,B2,B3,其中事件B1是第一次就把房门打开，其1概率P(B1)=-;51 1 事件B2是第二次把房门打开， 其概率P(B2)=£；事件B3是第三次把房门打开， 其概率P(B3)=、因为事件Bl,B2,5 5B3彼此互斥，由互斥事件概率的加法公式P(A2)=P(B1UB2UB3)=P(Bi)+P(B2)+P(B3)=3.5点评：1.本题关键是通过分析得出公式中的 m、n,即某事件所包含基本事件和事件总数，然后代入公式求解..含有至多“，至少”等类型的概率问题，从正面突破较困难，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质P(A)=1—P(A)进一步求解..互斥事件加法公式P(A〔UA2)=P(A1)+P(A2).1皿固】袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球.从中任取一球、得到红球的概率是T,得到黑球或黄球3的概率是卷，得到黄球或绿土^的概率也是 11,试求得到黑球，得到黄球、得到绿球的概率各是多少？解析：利用方程思想求解.从袋中任取一球，记事件取得红球”，取得黑球”，取得黄球”，取得绿球”为A,B,C,D,则有P(BUC)=P(B)+P(C)=^,P(CUD)=P(C)+P(D)=152,P(BUCUD)=1—P(A)=3,•.P(B)=4，P(C)=1P(D)=；12 12 3 4 6 4题型三用列表法表示基本事件求概率例3抛掷两颗骰子：一■共有多少种不同结果？(2)向上的点数之和是 5的结果有多少种？概率是多少？(3)求出现两个4点的概率.(4)求向上的点数都是奇数的概率解析：(1)我们列表如下，可以看出掷第一颗骰子的结果有 6种，第二颗骰子都有 6个不同结果.如第一颗掷得 2点时，与第二颗配对有(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),6个不同结果,因此两颗骰子配对共有 6X获36种不同

结果，每个结果都是等可能的第二颗A颗1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)(2)设向上的点数之和是 5"=A,由5=1+4=2+3=3+2=4+1,故共有4种(1,4),(2,3),(3,2)和(4,1),则P(A)_4__1=36=9.i(3)事件B=出现2个4点”只有一种情形(4,4),故P(B)=/36(4)事件C=向上的点数都是奇数”包括以下9种情形(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),一 9 1即P("=4.点评：单独看本题不简单，但通过形象、直观地表格将 16种结果列举出来后问题就简单了，列举时常用的还有坐标轴等，另外不借助图表直接列举时，必须按某一顺序做到不重复、不遗漏.巩固】任意说出星期一到星期日中的两天(不重复)，其中恰有一天是星期六的概率为( )1A.721A.72B.72D.49答案：B题型四 用树形图表示基本事件求概率1,2,3,4的四个球，现从甲、例41,2,3,4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等.(1)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；(2)求取出的两个球上标号之和能被 3整除的概率.解析：方法一利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出 1个球的所有可能结果:

可以看出，试验的所有可能结果数为 16种.(1)所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有故所求概率P=166=8.取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为(2)所取两个球上的数字和能被 3整除的结果有38.1—2,2—1,2—4,3—3,4—2,共5种.取出的两个小球上的标号之和能被 53整除的概率为156.方法二设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x,y,用(x,y)表示抽取结果，则所有可能有38.1—2,2—1,2—4,3—3,4—2,共5种.取出的两个小球上的标号之和能被 53整除的概率为156.方法二设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x,y,用(x,y)表示抽取结果，则所有可能有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16种.(1)所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),共6种.故所求概率P=166=8.取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为38.(2)所取两个球上的数字和能被 3整除的结果有(1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2),共5种.，一,,一、, 5故所求概率为哈布取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率为_516.颜色，求:巩固］用三种不同颜色给图中3颜色，求:巩固］用三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色.每个矩形只涂一种矩形1矩形2矩形3(1)3个矩形颜色都相同的概率;(2)3个矩形颜色都不同的概率.解析：如下图所示，本题白基本事件共有 27个.iEir-GSHe®—ToUs口(1)记iEir-GSHe®—ToUs口(1)记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A,由图知,事件OfSCo■C3A的基本事件有1X3=3个.「 3 1故P(A)=27=9.(2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B,由图可知,事件B的基本事件为2X3=6个.故6 2P⑻=27=9.练习题:.若书架上放有中文书五本，英文书三本，日文书两本，则抽出一本外文书的概率为B.WC2CB.WC2C.5A.5

答案：D.有100张卡片（从1号到100号），从中任取1张，取到的卡号是答案：D.有100张卡片（从1号到100号），从中任取1张，取到的卡号是7的倍数的概率为（ ）aL bZ cL dK50 100 48 100答案：A.下列概率模型中，有几个是古典概型 （ ）①从区间［1,10］内任意取出一个数，求取到1的概率；②从1〜10中任意取出一个整数，求取到1的概率；③向一个正方形ABCD内投一点P,求P刚好与点A重合的概率；④向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率.A.1个B.2个C.3个D.4个答案：A.一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册自左到右或自右到左恰好为第1,2,3册的概率为（ ）1A.761C.22D.3答案:1,2,3,4,5中任取2个数字构成一个两位数，则这个两位数大于 40的概率是1A.5B.5C.5D.4答案：B.从甲、乙、丙三人中，任选两名代表，甲被选中的概率为 （ ）A.2B.31C.4A.2B.31C.42D.3答案：D.从1,2,…，8中任取出两个不同的-数，若取出的两数之和等于 5的概率为答案:114.袋子中有大小相同的四个小球，分别涂以红、白、黑、黄颜色.(1)从中任取1球，取出白球的概率为(2)从中任取(1)从中任取1球，取出白球的概率为(2)从中任取2球，取:出的是红球和白球的概率为、i答案：⑴41(2)6.甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、布)，求:(1)平局的概率；(2)甲赢的概率；(3)乙赢的概率.解析：甲有3种不同的出拳方法，每一种出法是等可能的，乙同样有等可能的 3种不同出法.一次出拳游戏共有3X笈9种不同的结果，可以认为这9种结果是等可能的.所以一次游戏(试验)是古典概型.它的基本事件总数为9.平局的含义是两人出法相同，例如都出了锤.甲赢的含义是甲出锤且乙出剪，甲出剪且乙出布，甲出布且乙出锤这3种情况.乙赢的含义是乙出锤且甲出剪，乙出剪且甲出布，乙出布且甲出锤这 3种情况.设平局为事件A,甲赢为事件B,乙赢为事件C.容易得到:而一而一的加二甲(1)平局含3个基本事件(图中的△);(2.)甲赢含3个基本事件(图中的O);(3)乙赢含3个基本事件(图中的※).由古典概率的计算公式，可得：31

P(A)=g31

P(A)=g=3，P(B)=31 319=3,P(C)=9=3..某学校兴趣小组有2名男生和3名女生，现要从中任选3名学生代表学校参加比赛.求:(1)3名代表中恰好有1名男生的概率；(2)3名代表中至少有1名男生的概率；(3)3名代表中女生比男生多的概率.解析：记2名男生分别为a、b,3名女生分别为c、d、a则从5名学生中任选3名的可能选法是(a、b、c)、(a、b、d)、(a、b、e)、(a、c、d)、(a、c、e)、(a、d、e)、(b、c、d)、(b、c、e)、(b、d、e)、(c、d、e),共10种选法.(1)设“3名代表中恰好有1名男生”为事件A,则事件A共有6种情况，所以P(A)=2=3.105(2)设“3名代表中至少有1名男生”为事件B,则事件B包含了“2男1女”和“1男2女”的选法，共有9种情况，所9以P(B)=i？⑶设“3名「代表中女生比男生多”为事件C,则事件C包含了“治女生”和“改1男”的选法，共有7种情况，所以7p(c)，.某射手在一次射击中命中 9环的概率是0.28,命中8环的概率是0.19,不够8环的概率是0.29,计算这个射手在一次射击中命中 9环或10环的概率.解析：设命中9环或10环”为事件A,则由题意得P(A)=[1-(0.28+0.19+0.29)]+0.28=0.52..为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校 6名学生进行问卷调查.6人得分情况为：5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体.(1)求该总体的平均数；(2)用简单随机抽样方法从这 6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.1解析：(1)总体平均数为6><(讣6+7+8+9+10)=75(2)设A表示事件样本「平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5'：从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有: (5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,10),(8,⑼,(8,10),(9,10),共15个