综合法与分析法 (2) 教学设计

综合法与分析法教学目标：.知识与技能目标了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法.了解综合法和分析法的思维过程和特点..过程与方法目标(1)通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力.(2)通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力..情感、态度及价值观通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力.教学重难点：重点：综合法和分析法的思维过程及特点.难点：综合法和分析法的应用.教学过程：(一)创设情境，引入新课证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识.(二)新课讲授合情推理分为归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法一一直接证明与间接证明.思考：己知a,b>0,>RiiEa(b2+c2)+b(c~+a2)>4abc设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义.证明：因为升+d226cM>0,所以a(b2+c2)>2abc,因为c?+a2>2ac,b>0,^VXb(c2+a2)>2ahc.因此，a(b2+c?)+b(c2+a2)>4etbc.一.综合法L定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立..思维特点：由因导果，即由已知条件出发，利用己知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法.框图表示：(P表示已知条件、己有的定义、定理、公理等，Q表示要证明的结论)(PnQj-QnQJf("Qjf..…-(0n。)例1设a,b,c为不全等的三个正实数，求证：(a+b)(b+c)(c+a)>8abc.变式：已知a,b,c是不全相等的正数,求证:求证:求证:.a+b.b+c.c+a...tlg——+lg——+lg——>lg«+lg^+lgc求证:证明：:.竺^成，匕N瓜,山LnM,222lg4ab=；(lga+Igb),1g痴=g(lg〃+lgc),lg<-y-lg4ca=g(lgc+lga),以上三式相加，且注意到a,b,c不全相等，…a+b.h+c.c+a....lg——+lg——+lg——>lgt/4-lg/?+lgc乙乙乙总结：本题主要综合运用基本不等式以及对数的运算性质来证明.例2已知a,b,c为正数，求证:(1)>abc；a+b-k-C^r-r-(1)>vabc.3且当且仅当a二b二c时等号成立.变式在aABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列，a,b,c成等比数列，求证△ABC为等边三角形.证明：由A,B,C成等差数列，有2B=A+C.①因为A,B,C为AABC的内角，所以A+B+C=万.②由①②，得③由a,b,c成等比数列，有"=oc.④由余弦定理及③，可得b2=a2+c2-2c/ccosB=a2+c2-ac.再由④，得"+c?-4c=ac.(a-c)2=0,因此。=c.从而A=C.⑤由②③⑤，得A=B=C=—.3所以aABC为等边三角形.总结:解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号

语言，或把符号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来.二.分析法.定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(己知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法..思维特点：执果索因步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法..框图表示：(用Q表示要证明的结论，Pn表示充分条件)(QuE)-GuE).....一⑵一HRuP)要证：……只要证：……只需证：……要证：……只要证：……只需证：……显然成立上述各步均可逆所以，结论成立例3求证:百+77<2百证明：因为6+J7和2㈠都是正数,所以要证6+近<26只需证(当+4尸<(2石尸展开得10+2亚<20只需证V21<5,只需证21V25因为21V25显然成立，所以百+疗<2百例3.求证：V2+V7<V3+V6.练习：在锐角AA3C中，求证：tan4TanB>1证明:要证明tanA-tanB>1只需证sinAsinB

cosAcosB因为A、B为锐角，所以cosA>0,cos5>0只需证cos4cosA<sinAsinB只需证cos(4+B)<0