人教版八年级数学上册构造全等三角形的方法技巧

探究图中线段探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.88初中数学试卷金戈铁骑整理制作小专题（三）构造全等三角形的方法技巧方法一：利用补形构造全等三角形11•已知：如图，在AABC中，ZBCA=90°,AC=BC,AE平分ZBAC,BE丄AE,求证：BE=2AD.方法二：利用“截长补短”法构造全等三角形2•如图，在△ABC中,AD平分ZBAC,ZC=2ZB,试判断AB,AC,CD三者之间的数量关系，并说明理由.（想一想，你会几种方法）3•如图，在△ABC中,ZA=60°,BD,CE分别平分ZABC和ZACB,BD,CE交于点0,试判断BE,CD,BC的数量关系,并加以证明.4•如图,AD〃BC,DC丄AD,AE平分ZBAD,E是DC的中点.问：AD,BC,AB之间有何关系？并说明理由.5・（德州中考）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°.E,F分别是BC,CD上的点.且ZEAF=60°.⑴小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连接AG,先证明△ABE^^ADG,再证明△AEF^^AGF,可得出结论，他的结论应是；1(2)如图2,若在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°.E,F分别是BC,CD上的点，且ZEAF=3ZBAD,上述结论是否仍然成立，并说明理由.方法三：利用“倍长中线法”构造全等三角形6.已知,AABC中,AB=4cm,BC=6cm,BD是AC边上的中线，求BD的取值范围.17•已知：如图,AD,AE分别是△ABC和厶ABD的中线，且BA=BD.求证：AE=-AC.厶8.如图，AB=AE,AB丄AE,AD=AC,AD丄AC,点M为BC的中点，求证：DE=2AM.DD参考答案1•图略，延长AC、BE交于点F,TZACB=90°,BE丄AE,・・・ZCAD+ZCDA=90°,ZEDB+ZEBD=90°.VZCDA=ZEDB,・•・ZCAD=ZEBD，即ZCAD=ZCBF在△ADC和△BFC中,ZCAD=ZCBF,AC=BC,ZACD=ZBCF,A^ADC^^BFC.AAD=BF.在△AEF和厶AEB中，ZFAE=ZBAE,AE=AE,11ZAEF=ZAEB,/.△AEF^^AEB.BE=EF，即BE=〒BF.・BE=-AD.2・AB=AC+CD.理由如下：方法1：在AB上截取AE=AC，连接DE.易证△AED^^ACD(SAS),AED=CD,ZAED=ZC.VZAED=ZB+ZEDB,AZC=ZAED=ZB+ZEDB.又丁/。=2/8,・・・/8=/£。8.・・・8£=。£.・・・人8=人£+8£=人。+。£=人。+。。.方法2：延长AC至I」点F,使CF=CD，连接DF.TCF=CD,・・・ZCDF=ZF.TZACB=ZCDF+ZF,・\ZACB=2ZF又VZACB=2ZB,^ZB=ZF.・•・△ABD^^AFD(AAS).・•・AB=AF.・AB=AF=AC+CF=AC+CD.3•证明：在BC上截取BF=BE，连接OF.TBD平分ZABC,EBO=ZFBO.・AEBO^AFBO.・ZEOB=ZFOB.VZ111A=60°,BD,CE分别平分ZABC和ZACB,・ZBOC=180°-ZOBC-ZOCB=180°--ZABC--ZACB=180°--(180°-Z厶厶厶A)=120°..•・ZEOB=ZDOC=60°..•.ZBOF=60°,ZFOC=ZDOC=60°.VCE平分ZDCB,.•・ZDCO=ZFCO.・ADCO9AFCO.・•・CD=CF.・BC=BF+CF=BE+CD.AB=AD+BC.理由:作EF丄AB于F,连接BE.VAE平分ZBAD,DC丄AD,EF丄AB,EF=DE.VDE=CE,EC=EF.・RtABFE^Rt△BCE(HL).・BF=BC.同理可证：AF=AD.・AD+BC=AF+BF=AB,即AB=AD+BC.(1)EF=BE+DF(2)EF=BE+DF仍然成立.证明：图略，延长FD到G,使DG=BE,连接AG,VZB+ZADC=180°,ZADC+ZADG=180°,..ZBuZADG.在厶ABE和△ADG中,DG=BE,ZB=ZADG,1AB=AD,.△ABEADG(SAS)..AE=AG,ZBAE=ZDAG.VZEAF=-ZBAD,.•.ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=ZEAF・・ZEAF=ZGAF.在AAEF和△GAF中,AE=AG,ZEAF=ZGAF,AF=AF,.△AEF^^GAF(SAS)..EF=FG.VFG=DG+DF=BE+DF,EF=BE+DF.6•图略，延长BD至E,使DE=BD.连接CE.VBD是AC边上的中线线,.AD=CD.VZBDA=ZCDE,.^BDA^^EDC(SAS)..CE=AB.在厶CBE中,BC-CE<BE<BC+CE,2cm<2BD<10cm.・1cm<BD<5cm.证明：延长AE至F使EF=AE，连接DF.VAE>△ABD的中线,.・・BE=DE.VZAEB=ZFED,・・・AABE9AFDE.・・・ZB=ZBDF,AB=DF.VBA=BD,・ZBAD=ZBDA,BD=DF.VZADF=ZBDA+ZBDF,ZADC=ZBAD+ZB,・\ZADF=ZADC.VAD>△1ABC的中线,・•・BD=CD.・•・DF=CD./.△ADF^^ADC(SAS)...AC=AF=2AE,即AE=-AC