所谓格点就是平面直角坐标系中横坐标和纵坐标都为整数的点又称整点

所谓格点就是平面直角坐标系中横坐标和纵坐标都为整数的点又称整点.格点问题是一个非常有趣的数学问题，同时也是背景深厚的数学问题•在2011年高考中有三道涉及到格点的考题，它们分别是北京理科第8题、四川理科第12题和安徽理科第15题•问题分别涉及四边形内的格点个数问题、格点三角形面积问题和直线上的格点个数问题.、考题解析与点评例1（北京理科第8题）设貝+ 记为平行四边形越'UD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数“⑴的值域为（）A.{9?10?11} £仅10,12}U.仅11,12} 0（10,11,12）点评这是一道一边固定且这边和这边的高均为4的动态平行四边形内部格点的个数问题，重点考查自主探索能力、动手操作能力、观察归纳猜想能力.只需动手画图，构造几个特殊图形即可获得答案，由三图便知答案为U.例2（四川理科第12题）在集合023,4,5}中任取一个偶数总和一个奇数心构成以原点为起点的向量云二他毋•从所得到的以原点为起点的向量中任取两个向

量为邻边作平行四边形•记所有作成的平行四边形的个数为川,其中面积不超过4m的平行四边形的个数为聊，则匸一()解析这6条向量如图所示，任取两个向量为邻边作平行四边形的个数为^=^=15.每一个平行四边形的面积等于这两个向量所构成三角形面积的两倍，于是面积不超过4的平行四边形的个数为燃就是面积不超过2的三角形的个数.下面对向量终点所在直线与坐标轴的位置关系进行分类讨论.(1)当两向量终点所在直线平行于/轴时，满足条件的三角形有2个：瓦吨=氓0恥-2.(2)当两向量终点所在直线平行于x轴时，满足条件的三角形有1个：瓦辺=1(3)当两向量终点所在直线的斜率大于零时，满足条件的三角形有2个：瓦吨=况0药=1。4）当两向量终点所在直线的斜率小于零时，没有满足条件的三角形.m1综上可知，满足条件的三角形个数为^=5，所以7_3，故选月.注这里KOAE和的面积计算是一个难点，下面对LOAE的面积给出两种算法.法1延长皿至，则川为之中点，所以敢QAS=二恥皿=二二14=1法2设moxmo），则^kOAS=氏迥讴~^iiQPA~BqFNUA~^kJlDS=m2=l同法2可算出占。刃7的面积.点评本小题考查集合、平面向量、排列组合、平面图形面积、概率等基础知及综合运用，考查运算能力和分析问题解决定问题的能力.其中三角形面积的计算也就是格点三角形面积的计算是本题的一个难点，需要用到分类讨论思想、数形结合思想和化归转化思想，若用下文的皮克定理则计算变得异常简单.例3（安徽理科第15题）在平面直角坐标系中，如果x与『都是整数，就称点（兀刃为整点，下列命题中正确的是 （写出所有正确命题的编号）.存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点.如果疋与占都是无理数，则直线不经过任何整点.直线/经过无穷多个整点，当且仅当/经过两个不同的整点.直线$=尬+“经过无穷多个整点的充分必要条件是:七与心都是有理数.存在恰经过一个整点的直线.解析①正确.比如直线$十忑不与坐标轴平行，当x取整数时，*始终为无理数;②错误.例如直线"屆-罷中疋与b都是无理数,但直线过整点(1,0);③正确•必要性显然•证明充分性:设直线经过两个不同整点越％旳』也必)，则直线上到点山的距离为山创的整数倍的点都是整点，而这样的点有无数个，故直线经过无穷多个整点;④错误•例如直线吨中沖都是有理数，但直线上无整点；⑤正确•例直线$=屆-忑只过一个整点⑴0).综上可知故答案为:①，③，⑤.点评本题是有关直线整点个数问题的多选题，主要考查量词、直线方程和数的性质，重点考查构造反例、推理论证、分析问题和解决问题的能力.二、格点问题链接1.格点与面积关于顶点都是格点的多边形即格点多边形，维也纳的皮克(Pick,1859—1943)于1899年提出了如下结论：皮克定理若格点多边形内部含有“个格点，边界上含有厶个格点，则这个多边形的面积 2.下面我们用皮克定理中格点多边形面积公式再解四川理科第12题，因为紀血内的格点数^=0,边界上格点数—4,所以上吨2，同理可求得AQ4E的面积为1，2.内含"个格点的圆对于任意给定的整数"，是否总存在这样的圆，其内部恰好有"个格点？结论是肯定的，但证法巧妙纯属构造耐人寻味叹为观止，先证明一个有趣的引理.引理以点(忑，的)为圆心，以任意正数『为半径的圆周上最多有一个格点.证明假设（、K心是此圆上的两个格点，则依-血尸+。-荷尸=八，2_廊+②-毎=八.两式相减可得，「+阱1一卅「忑仗-c）+2歪@-小.因为禺恥/为整数，所以等式左边为整数，贝u右边必为整数，所以必有*=心&，即a知z两点重合，故引理得证.该引理表明，平面上的格点到点忒甩屈的距离互不相等，据此我们可将格点到点曲后的距离由小到大进行排列.下面我们在此引理的基础上来构造恰好含有”个格点的圆.定理对于任意给定的整数挖，总存在这样的圆其内部恰好有挖个格点.证明因为与点a辰屈最近的格点是月心匸），令^=1^1，记以点川为圆心广1为半径的圆为口⑺心），则口⑺町）内的格点是0个，由引理知，其圆上的格点数为1个•又在口鈕/外与点川最近的格点是览门⑵，令巾T血'』，贝u口⑺心）内的格点是1个，就是口