人教版高数必修四第7讲：平面向量基本定理及坐标运算

xx平面向量基本定理与坐标运算脑体页)作业完成情况］教学目标〕1•掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2•会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.3•会用坐标表示平面向量共线的条件，进而解决一些相关问题.4•了解平面向量的基本定理及其意义.&趣味引入)忌知识梳理)一、平面向量基本定理：1•平面向量基本定理：如果e,e是同一平面内的两个不共线不共线向量，那么对于12这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数入，入使a二入e+入e121122特别提醒：我们把不共线向量e、e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；12基底不惟一，关键是不共线；>>由定理可将任一向量a在给出基底e、e的条件下进行分解；12基底给定时，分解形式惟一入，d是被a，7，7唯一确定的数量1212TOC\o"1-5"\h\z二、平面向量的坐标表示：.如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个—单位向量i、j作为基底+任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有a且只有一对实数丄、y，使得a=xi+yjQ，!我们把(x,y)叫做向量a我们把(x,y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a=(x,y)其中X叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，Q式叫做向量的坐标表示.与a相等的向量的坐标也为(x,y)•••••〜••••••—►特别地，i=(1,0)，j=(0,1)，0=(0,0)・特别提醒：设OA=xi士yj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示三、平面向量的坐标运算：若a=(x,y)，b=(x,y)，则a+b=(x+x,y+y)，11221212a-b二(x-x,y-y)__1212两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差―►―►若A(x,y)，B(x,y)，则AB=(x-x,y-y)11222121一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标若a=(x,y)和实数九，贝Ma=(九x,九y)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标向量平行的充要条件的坐标表示：设a=久，y)，b=(x2,y2)其中b丰aa〃b(b丰0)的充要条件是xy-xy=01221类型一平面向量基本定理的应用类型一平面向量基本定理的应用【例1】(2012・南京质检)如图所示，在AABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若Am=2AB+^AC，则久+〃=.［审题视点］由B,H,C三点共线可用向量Ab,AC来表示AH.解析由B,H,C三点共线，可令AH=xAB+(1-x)AC，又M是AH的中点，所以AM卜2(1—x)AC,又AM=2AB+〃AC.所以久+〃=2兀+2(1—x)=2«

答案1方法总结》应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用.当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的.【训练1】如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.若AD=xAB+yAC，则x=ABAB解析以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系如图,令AB=2,则AB=(2,0),AC=(0,2),过D作DF丄AB交AB的延长线于F,由已知得DF=BF=f3，则AD=(2+羽，羽).vAD=xAB+yAC,.•.(2+^3,vAD=xAB+yAC,.•.(2+^3,£)=(2x,2y).即有2+述3=2x,X1'3=2y,解得x=1+<另解：AD=AF+FD=fi+23AB+所以x=1+/,y=害.答案i+亨¥［例1］在AOAB中，OC=—OA,OD=—OB,AD与BC交于点M,设OA=a,OB=b,用a,b4^2表示om._/Tv［解题思路］:若e,巨2是一个平面内的两个不共线向量，则根据平面向量的基/\CM

本定理，平面内的任何向量都可用e,e线性表示.本例中向量a,b可作基底,故可设OM=ma+nb,12为求实数m,n,需利用向量AM与AD共线，向量CM与CB共线，■建立关于m,n的两个方程.解析：设OM二ma+nb,则AM=(m-l)a+nb,AD=-a+—b2^•・•点七M、D共线，上AM与AD共线,TOC\o"1-5"\h\zm—1n——，Am+2n=1.①—10.5而CM—OM—OC=(m——)a+nb，CB=——a+b44•・・I、B共线FCM与CB共细1m——4n—厂—1，•:4m+n=1.②_4\o"CurrentDocument"1313练习：i.若已知e联立①②解得:m二7，n=7，・•・OM—练习：i.若已知ee2是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是（）A.e与——e12答案：D2.在△ABCA.e与——e12答案：D2.在△ABC中,已知AM:AB=1:3,B.3ei与2"2C.e+e与e—e1_AN：ACD.e与2e1=1：4,BN与CM交于点P,且AB—a,AC—b，试用a,b表示AP.解：AM:AB=1:3,AN:AC=1：4,,111・・.AM——AB——a,334•・・M、P、C三点共线，故可设MP—tMC,t^R,于是，、、―A、、―AAP—A^M+.MP——a+tMC——a+1(b——a)—(——)a+tb①3T「3331s同理可设设NP—sNB，sFR,AP—AN+NP—(^—4)b七sa.…②.・「AM—1AB—17,AN二AC—1b,3344TOC\o"1-5"\h\z1t1s由①②得仔-7^+(t—^=)b—°，-334432由此解得s-—,t-—，•:AP—a+b-11111111类型二平面向量的坐标运算

【例2】(2011.合肥模拟)已知A(—2,4),B(3,—1),C(—3,—4)，且CM=3CA,CN=2CB.求M,N的坐标和MN.［审题视点］求CA,CB的坐标，根据已知条件列方程组求m,n.解VA(—2,4),B(3,—1),C(—3,—4),・・・CA=(1,8),CB=(6,3).・・・CM=3CA=3(1,8)=(3,24),CN=2CB=2(6,3)=(12,6).设M(x,y),则CM=(x+3,y+4).x+x+3=3,,y+4=24,得x=0,尸20.・・・M(0'20)・同理可得N(9,2),・・・MN=(9—0,2—20)=(9,—18).方法总结》利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标.【训练2】在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线，若AB=(2,4),AC=(1,3),则BD=().A.(—2,—4)B.(—3,—5)C.(3,5)D.(2,4)解析由题意得Bd=Ad-AB=Bc-AB=(Ac-AB)-AB=Ac-2AB=(1,3)-2(2,4)=(―3,—5).答案B若A(0,1),B(l,2),C(3,4)则AB—2BC=答案：(-3,-3)解：AB—2BC=(1,1)—2(2,2)=(-3,-3)—-1若M(3,-2)N(-5,-1)且MP=-MN,求P点的坐标;厶、11解：设P(x,y)则(x-3,y+2)=(-8,1)=(-4,㊁)x=—x=—13y=——23・・・p点坐标为(-1‘-)类型三平面向量共线的坐标运算【例3】已知a=(l,2),乃=(一3,2),是否存在实数k,使得ka+b与a_3b共线，且方向相反？［审题视点］根据共线条件求k,然后判断方向.解若存在实数k,贝Vka+b=k(1,2)+(—3,2)=(k—3,2k+2),a—3b=(1,2)—3(—3,2)=(10,-4).若这两个向量共线，则必有(k—3)X(—4)—(2k+2)X10=0.小/口1、、」(104、解得k=—3.这时ka+b=(—~3,3、，所以ka+b=—|(a—3b).即两个向量恰好方向相反，故题设的实数k存在.竝軽卫向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值.【训练3】(2011西安质检)已知向量a=(1,2),b=(2,—3)，若向量c满足(c+a)〃b.c丄(a+b)，则cc丄(a+b)，则c=().A.779，3B.3'C.773，9d(-9,解析设c=(m,n),则a则a+c=(1+m,2+n).a+b—(3,—1).°.°(c+a)〃b,.°.—3X(1+m)—2X(2+n)，又c丄(a+b).773m—n—0,解得m——9,n——3.答案D9.已知a二(1,2),b二(-3,2),当实数k取何值时，ka+2b与2a—4b平行?【解析】方法一：•・•2a—4b丰0,.•・存在唯一实数九使ka+2b=X(2a—4b)将a、b的坐标代入上式得(k—6,2k+4)=九(14,—4)

得k—6=14九且2k+4二一4九，解得k=—1方法二：同法一有ka+2b=九（2a—4b），即（k—2九）a+（2+4九）b=0--「k-2九二0•・•a与b不共线，・•・<1c:,k=—1I2+4入二0一、选择题一、选择题设勺、e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（）A.ei+e2和ei~e2B3ei~2e2和4e2_6eiC.ei+2e2和e2+2eiD.e2和ei+e2［答案］B［解析］T4e2—6纟］=—2（3纟］—2e2）,/.3ei—2e2与4e2—6ei共线，不能作为基底.下面给出了三个命题：非零向量a与b共线，则a与b所在的直线平行；向量a与b共线的条件是当且仅当存在实数人、久2，使得人a=3；平面内的任一向量都可用其它两个向量的线性组合表示.其中正确命题的个数是（）A.0B.IC.2D.3［答案］B［解析］命题①两共线向量a与b所在的直线有可能重合;命题③平面内的任一向量都可用其它两个不共线向量的线性组合表示•故①③都不正确.给出下列结论：①若aMb,贝yia+blvlal+lbl；②非零向量a、b共线，贝Jla+bl>0:③对任意TOC\o"1-5"\h\z向量a、b，la-bl^0；④若非零向量a、b共线且反向，贝Vla-bl>lal.其中正确的有（）个.（）A.iB.2C.3D.4［答案］B［解析］①中有一个为零向量时不成立；②中a,b若是相反向量则不成立；③、④正确，故选B.已知向量e1>e2不共线，实数x、y满足（x—y）e1+（2x+y）e2=6e1+3e2，则x—y的值等于（）D.—6A.3BD.—6C.6［答案］C

懈析］••勺、勺不共线，二由平面向量基本定理可得1懈析］••勺、勺不共线，二由平面向量基本定理可得1；匚二，解得］2x+y—3x=3设一直线上三点a,b,p满足AP=iPBaz±1),o为平面内任意一点，则OP用OA、OB表示为()a.OP=OA+久OBB.OP=kOA+(1+X)OB一OA+久OBC.OP=1^d.a.OP=OA+久OBB.OP=kOA+(1+X)OB一OA+久OBC.OP=1^d.OP#OA+1—5B［答案］C»>■>■>■>■>■>■>■>■>■［解析］•/OP=OA+XPB=OA+k(OB—OP)=OA+XOB-XOP,.•.(1+“op=oa+%ob,.・.op=oa=^0^6.(2014・广东文，3)已知向量a=(1,2)、b=(3,1),则b_a=()A.(—2,1)B.(2,—1)C.(2,0)［答案］B［解析］•.•a=(1,2)、〃=(3,1),.・.〃一a=(3—1,1—2)=(2,—1).D.(4,3)7.若向量BA=(2,3)、CA=(4,7),贝^BC=()A.(—2,—4)B.(2,4)C.(6,10)［答案］AD.(—6,—10)［解析］BC=BA+AC=BA—CA=(2,3)—(4,7)=(—2,—4).8.(2014・北京文，3)已知向量a=(2,4)、b=(—1,1),则2a—b=()A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)［答案］A［解析］2a—^=(4,8)—(—1,1)=(5,7)D.(3,9)9.已知AB=(5,—3)、C(—1,3)、CD=2AB,则点D的坐标是()A.(11,9)B.(4,0)C.(9,3)［答案］DD.(9,—3)［解析］•.•AB=(5,—3),.・.CD=2AB=(10,—6),设D(x,y),又C(—1,3),.•.CD=(x+1,y—3),TOC\o"1-5"\h\zx+1=10fx=9••<<••?••・Lx—3=—6［y=_34-_-B.10.已知△ABC中，点A(—2,3)、点B(—3，—5)，重心M(1，—2)，则点C的坐标为4-_-B.A.(—4,8)由重心坐标公式,—2由重心坐标公式,—2+(—3)+x3-2=吐严C.(8,—4)D.(7,—2)［答案］C懈析］设点C的坐标为(x,y),x=8解得［y=—411.已知i、j分别是方向与x轴正方向、y轴正方向相同的单位向量，O为原点，设OA=(x2+x+1)i—(x2—x+1j(其中x£R)，则点A位于()A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三象限D.第四象限［答案］D［解析］*/x2+x+1>0,—(x2—x+1)<0,.•.点A位于第四象限.二、填空题12.在ABCD中，AB=a,AD=b,AN=32vC,M为BC的中点，贝则丽=(用a、b表示).［答案］—4a+1b［解析］vAN=32vC,A4AN=3Ac=3(a+b),AM=a+|b,13.已知向量a与b不共线，实数x、满足等式3xa+(10—y)b=(4y+7)a+2xb,则x=y=“宀4716［合案］4!16懈析］Ta、b不共线,懈析］Ta、b不共线,3x=4y+710—y=2x<，解得47x=11165=11若点0(0,0)、A(1,2)、B(—1,3),且O孑/=2OA,OB'=3(OB，则点A，的坐标为.点B，的坐标为，向量A'BB'的坐标为.［答案］(2,4)(—3,9)(—5,5)［解析］VO(0,0),A(1,2),B(—1,3),・・・0A=(1,2),0B=(—1,3),OA'=2X(1,2)=(2,4),OB'=3X(—1,3)=(—3,9)・/.A'(2,4),B'(—3,9),A'A'=(—3—2,9—4)=(—5,5).在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB=(2,4),AC=(1,3),则BD=.［答案］(—3，—5)［解析］AD=BC=AC—AB=(—1,—1)./・BD=AD—AB=(—3,—5).三、解答题如图，已知A4BC中，M、N、P顺次是AB的四等分点，CB=e，CA=e2，试用e，ce2表TOC\o"1-5"\h\z—B—B—B示CM、CN、CP.［解析］利用中点的向量表达式得：A1,1—1,3CN=2e1+2e2；CM=4e1+4e2；A3,1CP=4e1+4e2・17.(1)设向量a、b的坐标分别是(一2,2)、(3，—5)，求a+b，a—b,2a+3b的坐标；(2)设向量a、b、c的坐标分别为(1，—3)、(一2,4)、(0,5)，求3a—b+c的坐标.［解析］(1)a+b=(—1,2)+(3,—5)=(—1+3,2—5)=(2,—3)；a—b=(—1,2)—(3,—5)=(—1—3,2+5)=(—4,7)；2a+3b=2(—1,2)+3(3,—5)=(—2,4)+(9,—15)=(—2+9,4—15)=(7,—11).(2)3a—b+c=3(1,—3)—(—2,4)+(0,5)=(3,—9)—(—2,4)+(0,5)=(3+2+0,—9—4+5)=(5,—8)・基础巩固一、选择题1.已知a=(—l,3)、〃=(x,—l)，且allb则x等于()3-3-1-31-3-3

BD［答案］C懈析］由allb,得(一1)X(—1)—3x=0,解得x=3>(2014.安徽宿州市朱仙庄煤矿中学高一月考)若A(3,—6)、B(—5,2)、C(6,y)三点共线，则y=()A.13B.—13C.9D.—9［答案］D［解析］TA、B、C共线，.・.AB与AC共线，VAB=(—8,8),AC=(3,y+6),/.—8(y+6)=24,.：y=—9.TOC\o"1-5"\h\z向量a=(3,1)、b=(1,3)、c=(k,7)，若(a—c)〃b,则k等于()A.3B.—3C.5D.—5［答案］C［解析］a—c=(3—k,—6),b=(1,3),由题意得，9—3k=—6,Ak=5.设e^e2是两个不共线的向量，向量a=e1+Ae2(A£R)与向量b=—(e2—2e1)共线，贝9()A.久=0B.A=—1C.A=——2D.A=——2［答案］D［解析］由共线向量定理，存在t^R，使a=tb,即e1+Ae2=t(—e2+2e1),TOC\o"1-5"\h\z⑵=11•e.,e2不共线，，解得A=—2.12A=—t25.已知向量a=(3,4)、b=(cosa,sina),且alb，贝Vtana=()44A.B-A.B-D.［答案］B懈析］•・懈析］•・•a〃b,/.3sina—4cos«=0,・・tana=3.6.(2014.山东济南商河弘德中学高一月考)若向量b与向量a=(2,l)平行，且01=2远，则b=()A.(4,2)B.(—4,2)C.(6,—3)D.(4,2)或(一4,—2)［答案］Dx2+y2=20TOC\o"1-5"\h\z［解析］设b=(x,y),由题意，得*,〔x=2yfx=4fx=—4解得｛小或｛c［y=2［y=_2二、填空题7•设i、j分别为x、y轴方向的单位向量，已知OA=2i,OB=4i+2j,AB=—2AC,则点C的坐标为.［答案］(1,一1)懈析］由已知OA=(2,0),OB=(4,2),・AB=(2,2),设C点坐标为(x,y),则AC=(x—2,y),VAB=—2VAB=—2AC,/.(2,2)=—2(x—2,y),一2(x—2)=2—2y=2x=1.•.点C的坐标为(1,—1).8.设向量a=(4sina,3)、b=(2,3sina)，且a〃b,则锐角a=［答案］n［解析］由已知，得12sin2a=6,・.sin・.sinan.•a为锐角，・・a=4・三、解答题9.设向量OA=(k,12)、OB=(4,5)、OC=(10,k),当k为何值时，A、B、C三点共线.［解析］•.•OA=(k,12)、OB=(4,5).OC=(10,k),/.AB=OB—(9A=(4,5)—(k,12)=(4—k,—7),BC=OC—OB=(10,k)—(4,5)=(6,k—5).•.•a、b、c三点共线与BC共线，/.(4—k)(k—5)—6X(—7)=0,解得k=11或k=—2.能力提升一、选择题已知向量纟］工0,久WR,a=e1+Ae2，b=2e{,若向量a与b共线，贝9()A.A=0B.e=02C.eJe2D.eJe2或久=0［答案］D［解析］Ta、b共线，二存在t^R,使a=tb,•.e］+加2=2/纟1，TOC\o"1-5"\h\z/.(1—2力1+加2=0①若e「e^共线，则一定存在t、久.使①式成立；C1—2t=0若e〔、e2不共线，贝.12［久=0已知平面向量a=(1,2)、b=(—2,m),且a〃b，贝V2a+3b=()A.(一2,一4)B.(一3,一6)C.(—4,—8)D.(—5,—10)［答案］C懈析］•.•a〃b,.・.1Xm—2X(—2)=0,/.m=—4.•2a+3b=(2,4)+(—6,—12)=(—4,—8).已知平面向量a=(x,1)、b=(—x,x2),则向量a+b()A.平行于x轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y轴D.平行于第二、四象限的角平分线［答案］C［解析］Ta=(x,1),b=(—x,x2),•a+b=(0,x2+1),•.•1+x2工0,•向量a+b平行于y轴.已知向量a=(1,0)、b=(0,1)、c=ka+b(kWR),d=a_b,如果c〃d,那么()A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=—1且c与d同向D.k=—1且c与d反向［答案］D［解析］Tc〃d,.・.c=Ad，即ka+b=A(a—b),

［k=X仏=—1又a、b不共线，.诂，.订.1=—久［k=—1.'.c=—d,••c与d反向.二、填空题已知a=(—2,3),b^a,b的起点为A(l,2),终点B在坐标轴上，则B点坐标为［答案］(o,D或g，0)［解析］由b〃a,可设b=A