正弦电流电路的稳态分析

11.1电阻、电感和电容元件上电压和电流的相量关系一.电阻时域形式：相量形式：相量模型uR(t)i(t)R+-有效值关系：UR=RI相位关系u=i(u,i同相)R+-URu相量关系：UR=RIu=i瞬时功率：波形图及相量图：

itOuRpRu=iURI瞬时功率以2交变。但始终大于零，表明电阻始终是吸取（消耗）功率。二.电感时域形式：i(t)uL(t)L+-相量形式：相量模型jL+-i相量关系：有效值关系：U=wLI相位关系：u=i+90°

(u超前i90°)1.相量关系：感抗的物理意义：(1)表示限制电流的实力；U=XLI=LI=2fLI(2)感抗和频率成正比；wXL相量表达式:XL=L=2fL，称为感抗，单位为(欧姆)BL=-1/L=-1/2fL，感纳，单位为S(同电导)2.感抗和感纳:功率：波形图：t

iOuLpL2瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好相互抵消。三、电容时域形式：相量形式：相量模型有效值关系：IC=wCU相位关系：i=u+90°

(i超前u90°)uiC(t)u(t)C+-+-相量关系：令XC=-1/wC，称为容抗，单位为W(欧姆)

BC=wC，称为容纳，单位为S频率和容抗成反比,w0，|XC|直流开路(隔直)w，|XC|0高频短路(旁路作用)w|XC|功率：波形图：t

iCOupC容抗与容纳：2瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好相互抵消。相量表达式:11.2复阻抗、复导纳及其等效变换1.复阻抗与复导纳正弦激励下Z+-无源线性+-|Z|RXj阻抗三角形单位：阻抗模阻抗角复导纳Y|Y|GBj导纳三角形对同一二端网络:2.R、L、C元件的阻抗和导纳（1）R：（2）L：（3）C：单位：S3.RLC串联电路用相量法分析R、L、C串联电路的阻抗。由KVL：其相量关系也成立LCRuuLuCi+-+-+-+-uRjLR+-+-+-+Z—复阻抗；R—电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)；|Z|—复阻抗的模；—阻抗角。关系：或R=|Z|cosX=|Z|sin|Z|RXj阻抗三角形具体分析一下R、L、C串联电路：Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|∠jwL>1/wC，X>0，j>0，电路为感性，电压领先电流；wL<1/wC，X<0，j<0，电路为容性，电压落后电流；wL=1/wC，X=0，j=0，电路为电阻性，电压与电流同相。画相量图：选电流为参考向量(wL>1/wC)三角形UR、UX、U称为电压三角形，它和阻抗三角形相像。即UX例.LCRuuLuCi+-+-+-已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求i,uR,uL,uC.解：其相量模型为jLR+-+-+-则UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。-3.4°相量图4.RLC并联电路由KCL：iLCRuiLiC+-iLjLR+-Y—复导纳；G—电导(导纳的实部)；B—电纳(导纳的虚部)；|Y|—复导纳的模；'—导纳角。关系：或G=|Y|cos'B=|Y|sin'|Y|GBj导纳三角形Y=G+j(wC-1/wL)=|Y|∠jwC>1/wL，B>0，j'>0，电路为容性，i领先u；wC<1/wL，B<0，j'<0，电路为感性，i落后u；wC=1/wL，B=0，j=0，电路为电阻性，i与u同相。画相量图：选电压为参考向量(wC<1/wL，<0)'RLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象jLR+-5.复阻抗和复导纳的等效互换一般状况G1/RB1/X。若Z为感性，X>0，则B<0，即仍为感性。ººZRjXººGjBY同样，若由Y变为Z，则有：ººZRjXººGjBY11.3基尔霍夫定律的相量形式和电路的相量模型1.基尔霍夫定律的相量形式同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：上式表明：流入某一节点的全部正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路全部支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。2.电路的相量模型(phasormodel)时域列写微分方程相量形式代数方程LCRuSiLiCiR+-jwL1/jwCR+-时域电路相量模型相量模型：电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。3.相量图1.同频率的正弦量才能表示在同一个向量图中2.反时针旋转角速度3.选定一个参考相量(设初相位为零。)例：上例中选ÙR为参考相量=用途：②利用比例尺定量计算①定性分析小结：1.求正弦稳态解是求微分方程的特解，应用相量法将该问题转化为求解复数代数方程问题。2.引入电路的相量模型，不必列写时域微分方程，而干脆列写相量形式的代数方程。3.引入阻抗以后，可将全部网络定理和方法都应用于沟通，直流（f=0)是一个特例。11.4用相量法分析电路的正弦稳态响应电阻电路与正弦电流电路相量法分析比较：可见，二者依据的电路定律是相像的。只要作出正弦电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广应用于正弦稳态的相量分析中。例1：已知Z1=10+j6.28,Z2=20-j31.9,Z3=15+j15.7。Z1Z2Z3ab求Zab。同直流电路相像：ZZ1Z2+++---Y+-Y1Y2阻抗串并联的计算例2:已知:求:各支路电流。Z1Z2R2+_Li1i2i3R1CuR2+_R1解：画出电路的相量模型Z1Z2R2+_R1瞬时值表达式为：解毕！列写电路的回路电流方程和节点电压方程例3.解：+_LR1R2R3R4C+_R1R2R3R4回路法:+_R1R2R3R4节点法:法一：电源变换解：例4.Z2Z1ZZ3Z2Z1Z3Z+-法二：戴维南等效变换Z0Z+-例5.用叠加定理计算电流Z2Z1Z3+-Z2Z1Z3求开路电压：求等效电阻：解：Z2Z1Z3Z2Z1Z3+-已知平衡电桥Z1=R1,Z2=R2,Z3=R3+jwL3。

求：Zx=Rx+jwLx。由平衡条件：Z1Z3=

Z2Zx得R1(R3+jwL3)=R2(Rx+jwLx)∴Rx=R1R3/R2,Lx=L3R1/R2例6.解：Z1Z2ZxZ3*|Z1|1

•|Z3|3

=|Z2|2

•|Zx|x

|Z1|

|Z3|

=|Z2|

|Zx|

1

+3

=2

+x

已知：Z=10+j50W,Z1=400+j1000W。例7.解：ZZ1+_已知：U=115V,U1=55.4V,U2=80V,R1=32W,f=50Hz求：线圈的电阻R2和电感L2。画相量图进行定性分析。例8.解：R1R2L2+_+_+_q2q用相量图分析例9.移相桥电路。当R2由0时，解：当R2=0，q=-180；当R2

，q=0。ººabR2R1R1+_+-+-+-11.5正弦电流电路中的功率无源一端口网络吸取的功率(u,i关联)1.瞬时功率(instantaneouspower)无源+ui_第一种分解方法；其次种分解方法。第一种分解方法：tOUIcos(1-cos2t)-UIsinsin2t其次种分解方法：p有时为正,有时为负；p>0,电路吸取功率：p<0，电路发出功率；UIcos(1-cos2t)为不行逆重量。UIsinsin2t为可逆重量。t

iOupUIcos-UIcos(2t)瞬时功率好用意义不大，一般探讨所说的功率指一个周期平均值。2.平均功率(averagepower)P：=u-i：功率因数角。对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。cos：功率因数。P的单位：W（瓦）一般地,有0cosj1X>0,j>0,感性，滞后功率因数X<0,j<0,容性，超前功率因数例：cosj=0.5(滞后)，则j=60o(电压领先电流60o)。cosj1,纯电阻0，纯电抗平均功率事实上是电阻消耗的功率，亦称为有功功率。表示电路实际消耗的功率，它不仅与电压电流有效值有关，而且与cosj有关，这是沟通和直流的很大区分,主要由于电压、电流存在相位差。4.视在功率(表观功率)S反映电气设备的容量。3.无功功率(reactivepower)Q表示交换功率的最大值，单位：var(乏)。Q>0，表示网络吸取无功功率；Q<0，表示网络发出无功功率。Q的大小反映网络与外电路交换功率的大小。是由储能元件L、C的性质确定的5.R、L、C元件的有功功率和无功功率uiR+-PR=UIcos=UIcos0=UI=I2R=U2/RQR=UIsin=UIsin0=0对电阻，u,i同相，故Q=0，即电阻只吸取(消耗)功率，不发出功率。iuL+-PL=UIcos=UIcos90=0QL=UIsin=UIsin90=UI对电感，u领先i90°,故PL=0，即电感不消耗功率。由于QL>0，故电感吸取无功功率。iuC+-PC=UIcos=Uicos(-90)=0QC=UIsin=UIsin(-90)=-UI对电容，i领先u90°,故PC=0，即电容不消耗功率。由于QC<0，故电容发出无功功率。6.电感、电容的无功补偿作用LCRuuLuCi+-+-+-t

iOuLuCpLpC当L发出功率时，C刚好吸取功率，则与外电路交换功率为pL+pC。因此，L、C的无功具有相互补偿的作用。7.沟通电路功率的测量uiZ+-W**i1i2R电流线圈电压线圈单相功率表原理：电流线圈中通电流i1=i；电压线圈串一大电阻R(R>>L)后，加上电压u，则电压线圈中的电流近似为i2u/R2。指针偏转角度(由M确定)与P成正比，由偏转角(校准后)即可测量平均功率P。运用功率表应留意：(1)同名端：在负载u,i关联方向下，电流i从电流线圈“*”号端流入，电压u正端接电压线圈“*”号端，此时P表示负载吸取的功率。(2)量程：P的量程=U的量程I的量程cos(表的)测量时，P、U、I均不能超量程。已知：电动机PD=1000W，U=220V，f=50Hz，C=30F。求负载电路的功率因数。+_DC例.解：例.三表法测线圈参数。已知f=50Hz，且测得U=50V，I=1A，P=3W。解：RL+_ZVAW**11.6复功率1.复功率负载+_有功，无功，视在功率的关系：有功功率:P=UIcosj单位：W无功功率:P=UIsinj单位：var视在功率:S=UI

单位：VAjSPQjZRXjUURUXRX+_+_ºº+_功率三角形阻抗三角形电压三角形电压、电流的有功重量和无功重量：(以感性负载为例)RX+_+_+_GB+_依据定义(发出无功)电抗元件吸取无功，在平均意义上不做功。反映了电源和负载之间交换能量的速率。无功的物理意义:复功率守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的全部支路吸取的复功率之和为零。即此结论可用特勒根定理证明。一般状况下：+_+_+_已知如图，求各支路的复功率。例.+_10∠0oA10Wj25W5W-j15W解一：+_10∠0oA10Wj25W5W-j15W解二：2、功率因数提高设备容量S(额定)向负载送多少有功要由负载的阻抗角确定。P=ScosjS75kVA负载cosj=1,P=S=75kWcosj=0.7,P=0.7S=52.5kW一般用户：异步电机空载cosj

=0.2~0.3满载cosj=0.7~0.85日光灯cosj=0.45~0.6(1)设备不能充分利用，电流到了额定值，但功率容量还有；(2)当输出相同的有功功率时，线路上电流大I=P/(Ucosj

)，线路压降损耗大。功率因数低带来的问题：解决方法：并联电容，提高功率因数(改进自身设备)。分析:j1j2LRC+_补偿容量的确定：j1j2补偿容量不同全——不要求(电容设备投资增加,经济效果不明显)欠过——使功率因数又由高变低(性质不同)综合考虑，提高到适当值为宜(0.9左右)。功率因数提高后，线路上电流削减，就可以带更多的负载，充分利用设备的实力。再从功率这个角度来看:并联C后，电源向负载输送的有功UILcosj1=UIcosj2不变，但是电源向负载输送的无功UIsinj2<UILsinj1削减了，削减的这部分无功就由电容“产生”来补偿，使感性负载吸取的无功不变，而功率因数得到改善。已知：f=50Hz,U=380V,P=20kW,cosj1=0.6(滞后)。要使功率因数提高到0.9,求并联电容C。例.P=20kWcosj1=0.6+_CLRC+_解：j1j2补偿容量也可以用功率三角形确定：j1j2PQCQLQ单纯从提高cosj看是可以，但是负载上电压变更了。在电网与电网连接上有用这种方法的，一般用户接受并联电容。思索：能否用串联电容提高cosj?11.7最大功率传输探讨正弦电流电路中负载获得最大功率Pmax的条件。ZLZi+-Z