2022年九年级上半年数学单元测试试卷带解析及答案

2022年九年级上半年数学单元测试试卷带解析及答案选择题关于抛物线y=﹣2（x﹣1）2说法正确的是（）A.顶点坐标为（﹣2，1）B.当x＜1时，y随x的增大而增大C.当x=0时，y有最大值D.抛物线的对称轴为直线x=﹣21【答案】B【解析】抛物线y=-2（x-1）2，开口方向由m的值为（）A.0B.2C.﹣2D.﹣1或﹣a的大小判定，a是关于x的二次函数，则常数2【答案】C【解析】据二次函数的最高指数是2，二次项系数不等于0列出方程求解即可.由题意得，=2且m-2≠0，解得m1=2，m2=-2，且x≠2，∴m=-2．1故选C．选择题已知抛物线y=x2﹣x﹣1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2017的值为（）A.2015B.2016C.2017D.2018【答案】D【解析】把（m，0）代入y=x2﹣x﹣1，可求得m2﹣m=1，然后把m2﹣m=1代入m2﹣m+2017计算即可∵抛物线y=x2﹣x﹣1，与x轴的一个交点为（.m，0），∴m2﹣m﹣1=0，∴m2﹣m=1，∴m2﹣m+2017=1+2017=2018，故选：D．选择题如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，C作CD∥x轴，与抛物线交于点D，若OA=1，CD=4，则线段AB过点的长为（）A.2B.1C.3D.1.52【答案】A【解析】由题意得出点D与点C是抛物线上的对称点，得出CD=2OA+AB，即可得出结果．∵对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于点A、B，CD∥x轴，D与点C是抛物线上的对称点，∴点∴CD=2OA+AB，∴AB=CD﹣2OA=4﹣2×1=2；故选：A．选择题顶点是（2，﹣1）的抛物线的表达式是（）A.y=﹣（x﹣2）2﹣1B.y=（x+2）2﹣1C.y=3（x﹣2）2+1D.y=2（x﹣1）2+1【答案】A【解析】根据顶点是（2，﹣1）逐项分析即可.A.y=﹣（x﹣2）2﹣1的顶点是（2，-1），故符合题意；B.y=（x+2）2﹣1的顶点是（-2，-1），故不符合题意；C.y=3（x﹣2）2+1的顶点是（2，1），故不符合题意；D.y=2（x﹣1）2+1的顶点是（1，1），故不符合题意；故选：A．选择题3

当m＜﹣1时，二次函数y=（m+1）x2﹣1的图象一定经过的象限是（）A.一、二B.三、四C.一、二、三D.一、二、三、四【答案】B【解析】由m＜﹣1可知抛物线开口向下，结合顶点坐标（0，-1）可判定抛物线经过的象限.∵m＜﹣1，∴m+1＜0，∴抛物线开口向下，∵﹣1＜0，∴抛物线与y轴相交于负半轴，∴二次函数y=（m+1）x2﹣1的图象一定经过第三、四象限．故选：B．选择题二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：①2a+b=0；1≤x≤3时，y＜0；②当﹣③若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2④9a+3b+c=0其中正确的是（）4

A.①②④B.①②③C.①④D.③④【答案】C【解析】①由抛物线与x轴的两交点坐标可求出抛物线的对称轴为x=1，进而即可得出2a+b=0，①符合题意；②结合图形即可得出当﹣1≤x≤3时，y≤0，②不符合题意；③根据二次函数的性质找出：当x≤1时，y值随x的增大而减小，进而即可得出③不符合题意；④由（3，0）在抛物线上，代入后即可得出9a+3b+c=0，④符合题意．综上即可得出结论．（只需分析①②利用排除法即可得出结论）解：①∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0），∴抛物线的对称轴为x=﹣＝=1，∴b=﹣2a，即2a+b=0，①符合题意；②∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0），且抛物线开口向上，∴当﹣1≤x≤3时，y≤0，②不符合题意；③∵抛物线的对称轴为x=1，且开口向上，x≤1时，y值随x的增大而减小，x1＜x2≤1时，y1＞y2，③不符合题意；④当x=3时，y=9a+3b+c=0，∴当∴当5∴9a+3b+c=0，④符合题意．C．故选选择题已知m＞2，点（m﹣2，y1），（m，y2）（m+2，y3）都在函数y=x2的图象上，则（）A.y1＜y2＜y3B.y1＜y3＜y2C.y3＜y2＜y1D.y2＜y1＜y3【答案】A【解析】由m＞2，可知m﹣2＞0，从而点（m﹣2，y1），（m，y2）（m+2，y3）都在对称轴的右侧，然后根据二次函数的性质解答即可.∵m＞2，∴m+2＞m＞m﹣2＞0，∴点（m﹣2，y1），（m，y2）（m+2，y3）都在对称轴的右侧，∵函数y=x2在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∴y1＜y2＜y3．故选：A．选择题y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，当△ABC为直角三角形时，则（）A.ac=﹣1B.ac=1C.ac=±1D.无法确定【答案】A【解析】6

设出A、B两点的坐标，根据根与系数的关系可得到AO•BO，且OC=|c|，利用相似三角形的判定与性质可得到AO、BO、CO之间的关ac的值．设A（x1，0），B（x2，0），由△ABC为直角三角形可知x1、x2系，可得到必异号，∴x1•x2=＜0，y轴相交于由于函数图象与C点，所以C点坐标为（0，c），∵∠ACO+∠BCO=90º,∠ACO+∠∠CAO=90º,∴∠BCO=∠CAO,∴△ACO∽△CBO,∴|OC|2=|AO|•|BO|，即c2=|x1|•|x2|=||，故|ac|=1，ac=±1，由于＜0，所以ac=﹣1．故选：A．选择题小明同学从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：①c＜0；②abc＞0；③2a﹣b=0；④a+b+c＞0；⑤当﹣3＜x＜1时，y＜0．你认为其中正确信息的个数有（）7A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】B【解析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．①由图示知，抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0．故①正确；②由图示知，抛物线的开口方向向上，则a＞0．对称轴在y轴的左侧，则a、b同号，则b＞0．所以abc＜0．故②错误；③由图示知，对称轴是：x=-=﹣1，则2a﹣b=0，故③正确；④由图示知，当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0．故④正确；⑤由都有，图示知，当﹣3＜x＜1时，y＞0、y=0、y＜0的情况故⑤错误．综上所述，正确的信息的个数是3个．故选：B．填空题抛物线y=﹣x2的开口方向是_____，对称轴是_____，顶点坐标8是_____．【答案】向下y轴（0，0）．【解析】根据二次函数y=ax2（a≠0）的性质解答即可.∵在y=﹣x2中，a=﹣＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），故答案为：向下；y轴；（0，0）．填空题商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，商场决定每件商品每降价1元，商场平均每件商品降价_____元时，商场采取适当的降价措施．经调查发现，每天可多售出2件，据日盈利最多．【答案】17.5．【解析】此规律计算，设每件商品降价x元，所获利润为y，分别表示出每件商品售价和每天销售量，再根据销售额为售价乘以销售量列出函数关系式，进而根据二次函数的性质求解即可.设每件商品降价x元，所获利润为y，则y=（50﹣x）（30+2x）=﹣2x2+70x+1500=﹣2（x﹣17.5）2+2112.5，∴当x=17.5时，W取得最大值，最大值为2112.5，9即每件商品降价17.5元时，商场日盈利达到最大，是2112.5元．故答案为：17.5．填空题如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n交于点A（﹣1.5，1），B（3，4），则关于x、y的方程组的解为_____．【答案】或．【解析】图像的交点坐标.∵抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n交于点A（﹣1.5，1），B（3，4），∴关于x、y的方程组的解为或，故答案为或．填空题对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是______．【答案】y＝-2(x-2)2+3【解析】根据题意,设y=a(x−2)²+3,抛物线经过点(3,1)，所以a+3=1，a=−2.10因此抛物线的解析式为：y=−2(x−2)²+3.故答案为：y=−2(x−2)²+3.填空题已知m是正实数，关于x的方程2x2﹣mx﹣30=0的两个根为x1、x2，且5x1+3x2=0，在直角坐标系中，抛物线y=mx2+（4+k）x+k与x轴有_____个交点．【答案】1或2．【解析】由一元二次方程方程根与系数的关系可知x1+x2=，由因为﹣=，求出m的值后，根据根的判别式解答即可.∵关于x的方程2x2﹣mx﹣30=0的两个根为x1、x2，∴x1+x2=，∵5x1+3x2=0，∴3x1+3x2+2x1=0，3×+2x1=0，x1=﹣，∵m＞0，=，x=，∴﹣﹣4m=﹣，解得：m=±4，∴m=4，11△=（4+k）2﹣4mk=16+8k+k2﹣16k=（k﹣4）2，当k=4时，△=0，抛物线y=mx2+（4+k）x+k与x轴有1个交点．当k≠4时，△＞0，抛物线y=mx2+（4+k）x+k与x轴有2个交点．故答案为：1或2．填空题二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，可知方程ax2+bx+c=0的一个根是x=3，那么方程的另一个根是_____．【答案】x=﹣1．【解析】解答本题首先需明确：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c=0的根；由图象可知，抛物线与x轴的一个交点是点（-1，0），且抛物线的对称轴为x=1，只要求出（-1，0）关于x=1对称的点的坐标即可完成解答∵对称轴x=1，一个交点是（3，0），∴另一个交点的横坐标为：x=1×2﹣3=﹣1，ax2+bx+c=0另一个根是x=﹣1，x=﹣1．.∴方程故答案为：12填空题请写一个二次函数，满足2个条件：（1）函数图象开口向下；（2）1，2），该函数是_____．y=﹣x2+3（本题答案不唯一）．经过点（﹣【答案】【解析】由图像开口向下可知a的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0，②a﹣b+c＜0，③2a=b，④4a+2b+c＞0，⑤若点（﹣2，）和（，）在该图象上，则．其中正确的结论是（填入正确结论的序号）．【答案】②④．【解析】试题∵二次函数开口向下，且与y轴的交点在x轴上方，∴a＜0，c＞0，∵对称轴为x=1，∴，∴b=﹣2a＞0，∴abc＜0，故①、③都不正确；∵当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故②正确；x轴的2和3之间，由抛物线的对称性可知抛物线与另一交点在13∴当x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，故④正确；∵抛物线开口向下，对称轴为x=1，∴当x＜1时，2＜，∴，故⑤不正确；y随x的增大而增大，∵﹣综上可知正确的为②④，故答案为：②④．解答题如图，二次函数y=x2﹣m2（m＞0且为常数）的图象与点A、B（A在B左侧），与y轴交于C．（1）求A，B，C三点的坐标（用含m的式子表示）；（2）若∠ACB=90°，求m的值．x轴交于【答案】(1)A（﹣1．【解析】（1）令y=0，解方程x2﹣m2=0，可求A和点B的坐标；令出点当x=0，解方程x2﹣m2=0，可求C的坐标；（2）由∠ACB=90°及二次函数的对称性可证明△BOC是等腰直从而可得m2=m，进而可求出m的值.（1）当y=0时，x2﹣m2=0，解得x1=﹣m，x2=m，则A（﹣m，0），B（m，0），C（0，﹣m2）；(2)m的值为出点角三角形，m，0），B（m，0），当x=0时，y=x2﹣m2=﹣m2，则C（0，﹣m2）；14（2）∵∠ACB=90°，OC⊥AB，OA=OB，∴∠CBO=45º,∴△BOC是等腰直角三角形，∴OC=OB，∴m2=m，解得m1=0（舍去），m2=1，∴m的值为1．解答题如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝c，AC＝b，BC＝a，抛物线y＝ax2+bx﹣c与x轴的一个交点为（m，0）．（1）若四边形ABCD是正方形，求抛物线y＝ax2+bx﹣c的对称轴；（2）若m＝c，ac﹣4b＜0，且a，b，c为整数，求四边形ABCD的面积．【答案】(1)x=；（2）.【解析】（1）由四边形ABCD是正方形，可求出a与b的关系，进而可根据对称轴方程求出对称轴；（2）把（c，0）代入y=ax2+bx﹣c，整理得ac=16﹣4b，结合ac﹣4b＜0，可求b＞2，由求根公式得x1=﹣，x2=，解＞0，得b＜4，从而2＜b＜4，而b为整数，所以b=3，然后可求出a和c的值，15从而可证明四边形ABCD是菱形，根据菱形的面积公式即可求出四边形ABCD的面积．（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，AC=AB，即b=a=c，∴抛物线y=ax2+bx﹣c的对称轴为直线x=﹣=﹣=﹣；（2）∵m=c，∴抛物线y=ax2+bx﹣c与x轴的一个交点为（c，0）．把（c，0）代入y=ax2+bx﹣c得a•c2+bc﹣c=0，∴ac+4b﹣16=0，∴ac=16﹣4b，∵ac﹣4b＜0，∴16﹣4b﹣4b＜0，解得b＞2，对于方程ax2+bx﹣c=0，∵△=b2+4ac=b2+4（16﹣4b）=（b﹣8）2，∴x=，解得x1=﹣，x2=，x轴的交点为（﹣，0），（，0），∴抛物线与而m=c＞0，∴＞0，解得b＜4∴2＜b＜4，而b为整数，∴b=3，16∴ac=16﹣4×3=4，而a、c为整数，∴a=1，c=4（舍去）或a=2，b=2，即平行四边形ABCD中，AB=2，BC=2，AC=3，∴四边形ABCD为菱形，连接BD交AC于O，则OA=OC=，BO=DO，在Rt△BOC中，BO=∴BD=2OB=，=，∴四边形ABCD的面积=×3×=．解答题有一种市场均衡模型是用一次函数和二次函数来刻化的：根据市场调查，某种商品的市场需求量y1（吨）与单价x（百元）之间的关系可看作是二次函数y1=4﹣x2，该商品的市场供应量y2（吨）与单价x（百元）之间的关系可看作是一次函数y2=4x﹣1．（1）当需求量等于供应量时，市场达到均衡．此时的单价x（百元）称为均衡价格，需求量（供应量）称为均衡数量．求所述市场均衡模型的均衡价格和均衡数量．（2）当该商品单价为50元时，此时市场供应量与需求量相差多少吨？（3）根据以上信息分析，当该商品①供不应求②供大于求时，该商品单价分别会在什么范围内？17【答案】（1）所述市场均衡模型的均衡1百元和均衡数量为3吨；3）①供不应求时，y1＜y2，观察图象可知1＜x＜2．【解析】（1）令y1=y2，解方程4﹣x2=4x﹣1，即可求出均衡家，进而求出均衡数量；（2）把分别代入y1=4﹣x2，y2=4x﹣1，求出y2﹣y1的值，然后y2﹣y1即可；（3）（3）①供不应求时，即y1＞y2，观察图象可的答案；②供大于求时，即y1＜y2，观察图象可得答案．（1）令y1=y2，得到4﹣x2=4x﹣1，解得x=1或﹣5（舍弃），y2=4×1﹣1=3（吨）．答：所述市场均衡模型的均衡1百元和均衡数量为3吨．y1=3.75，y2=1，y2﹣y1=﹣2.75，（2）当x=0.5时，答：此时市场供应量与需求量相差﹣2.75吨．18（3）①供不应求时，由题意：y1＞y2，观察图象可知＜x＜1，1＜x＜2．②供大于求时，y1＜y2，观察图象可知解答题已知抛物线y=ax2+bx+c．（Ⅰ）若抛物线的顶点为A（﹣2，﹣4），抛物线经过点B（﹣4，0）①求该抛物线的解析式；②连接AB，把AB所在直线沿y轴向上平移，l，点P是直线l上一动点．设以点A，B，O，P为顶点的四边形的面积为S，点P的横坐标使它经过原点O，得到直线为x，当4+6≤S≤6+8时，求x的取值范围；（Ⅱ）若a＞0，c＞1，当x=c时，y=0，当0＜x＜c时，y＞0，试比较ac与l的大y=x2+4x②当4+6≤S≤6+8时，x的取值范围≤x≤（Ⅱ）ac≤1小，并说明理由．为是≤x≤或【解析】（I）①由抛物线的顶点为A（-2,-4）,可设抛物线（x+2）2-4,代入点B的坐标即可求出a值,此问得解,②根据点A、B出直线AB的解析式,进而可求l的解析式,分点P在第二象限及点P在第四象限两种情况考虑：当点P,x＜0,通过分割图面积法结合4+6≤S≤6+8,即可求出x的取值范围,当点P在第四象,x＞0,通过分割图形求面积法结的解析式为y=a的坐标利用待定系数法可求出直线在第二象限时形求限时19合4+6≤S≤6+8,即可求出x的取值范围,综上即可得出结论,（2）由当x=c时y=0,可得出b=-ac-1,由当0＜x＜c时y＞0,可得出抛物线的对称轴x=≥c,进而可得出b≤-2ac,结合b=-ac-1即可得出ac≤1．（I）①设抛物线的解析式为y=a（x+2）2﹣4，∵抛物线经过点B（﹣4，0），∴0=a（﹣4+2）2﹣4，解得：a=1，∴该抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣4=x2+4x．②设直线AB的解析式为y=kx+m（k≠0），将A（﹣2，﹣4）、B（﹣4，0）代入y=kx+m，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y=﹣2x﹣8．∵直线l与AB平行，且过原点，l的解析式为y=﹣2x．P在第二象限时，x＜0，如图所示．∴直线当点S△POB=×4×（﹣2x）=﹣4x，S△AOB=×4×4=8，∴S=S△POB+S△AOB=﹣4x+8（x＜0）．∵4+6≤S≤6+8，∴，即，解得：≤x≤，是≤∴x的取值范围x≤．20当点P′在第四象限时，A作AE⊥x轴，垂足为点E，过点P′作P′F⊥x轴，垂足F，则x＞0，过点为点S四边形AEOP′=S梯形AEFP′﹣S△OFP′=（•x+2）﹣•（x•2x）=4x+4．∵S△ABE=×2×4=4，∴S=S四边形AEOP′+S△ABE=4x+8（x＞0）．∵4+6≤S≤6+8，∴，即，解得：≤x≤，∴x的取值范围为≤x≤．综上所述：当4+6≤S≤6+8时，x的取值范围为是≤x≤或≤x≤．（II）ac≤1，理由如下：∵当x=c时，y=0，∴ac2+bc+c=0，∵c＞1，∴ac+b+1=0，b=﹣ac﹣1．由x=c时，y=0，可知抛物线与x轴的一个交点为（c，0）．把x=0代入y=ax2+bx+c，得y=c，21∴抛物线与y轴的交点为（0，c）．∵a＞0，∴抛物线开口向上．∵当0＜x＜c时，y＞0，∴抛物线的对称轴x=﹣≥c，∴b≤﹣2ac．∵b=﹣ac﹣1，∴﹣ac﹣1≤﹣2ac，∴ac≤1．解答题如图，▱ABCD位于直角坐标系中，AB=2，点D（0，1），以点为顶点的抛物线y=ax2+bx+c经过x轴正半轴上的点A，B，CE⊥x轴E．（1）求点（2）将该抛物线向上平移x轴于点M，N．①求MN的长．P是新抛物线对称轴上一动点，将线段AP绕点C于点A，B，C的坐标．m个单位恰好经过点D，且这时新抛物线交②点A顺时针旋转60°得AQ，则OQ的最小值为（直接写出答案即可）221）A（1，0），B（3，0），C（2，1）；（2）①MN＝；②【解析】（1）由▱ABCD可知CD，进而求出E和C点坐标，由AB长从而求出AB点.（2）①由第一问解出抛物线方程，上移m更改抛物线方程，由其过D，进而求出上移后抛物线方程，再求MN.②根据三角函数，求出最小值.（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=2，∵CE⊥x轴，∴OE=2，∵点E是AB中点，∴AE=BE=1，∴OA=2﹣1=1．OB=OE+BE=3，∴A（1，0），B（3，0），∵D（0，1），∴C（2，1）；（2）由（1）知，抛物线C（2，1），的顶点的解析式为y=a（x﹣2）2+1，∴设抛物线∵A（1，0）在抛物线上，∴a（1﹣2）2+1=0，∴a=﹣1，23∴抛物线解析式为y=﹣（①该抛物线向上平移m个单位恰好经过点解析式为y=﹣（x﹣2）2+1+m，∵D（0，1），x﹣2）2+1，D，设平移后的抛物线∴﹣（﹣2）2+1+m=1，∴m=4，∴平移后的抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+5，令y=0，∴0=﹣（x﹣2）2+5，∴x=2±，∴M（2+，0），N（2﹣，0），∴MN=2；②如图，在第一象限的抛物线对称轴上取一点P1，使∠P1AB=60°，在Rt△AEP1中，AP1=2AE=2，P2E=∴点Q1和点B重合，∴Q1（3，0），P1（2，），在第一象限的抛物线对称轴上取一点P2，使∠P2AB=30°，在Rt△AEP2中，P2E=AEtan30°=，∴点Q2（2，﹣），∴直线Q1Q2的解析式y=x﹣在第二象限的抛物线对称轴上取一点P3，使∠P3AE=60°，24由旋转知，Q3和点P1关于点A对称，∴Q3（0，﹣），∴点Q3在直线Q1Q2上，Q的运动轨迹是直线Q1Q2，∴点∴当OQ⊥Q1Q2时，OD最短，∵Q1Q3=2∴OD最小==，故答案为．解答题如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过0），C（0，﹣5）三点，O为坐标原点．（1）求此抛物线的解析式；A（3，0），B（﹣5，（2）把抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向上平移个单位长度，再n（n＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M在△ABC内，求n的取值范围；（3）设点P在y轴上，且满足∠OPA+∠OCA=∠CBA，求CP的长．【答案】（1）y=x2+x﹣5；（2）0＜n＜3；（3）PC=7或17．25【解析】（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣3）（x+5），将点C（0，﹣5）的坐标代入抛物线解析式中，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）先求得平移后新抛物线的顶点坐标，再根据新抛物线的顶点M在△ABC内求得（3）分点P在y轴负半轴上和点行讨论，求出两种情况下CP的长度。（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（3，0），B（﹣∴设抛物线解析式为y=a（x﹣3）（x+5），C（0，﹣5），∴a×（﹣3）×5=﹣5，∴a=，n的取值范围；P在y轴正半轴上两种情况进5，0），∵抛物线过点∴抛物线解析式为y=（x﹣3）（x+5）=x2+x﹣5，（2）记原抛物线的顶点为M’，由（1）知，抛物线解析式为y=（x﹣3）（x+5）=（x2+2x﹣15）=（x+1）2﹣，∴M’（﹣1，﹣），由平移知，M（﹣∵B（﹣5，0），C（0，﹣∴直线BC的解析式为y=﹣x﹣5，当y=﹣1时，﹣x﹣5=﹣1，∴x=﹣4，1﹣n，﹣1），5），26∴﹣4＜﹣1﹣n＜﹣1，∴0＜n＜3；（3）存在，理由：①当P在y轴正半轴上时，如图，过点P作PD⊥AC于D，根据三角形的外角的性质得，∠OPA+∠OCA=∠PAD，又∵∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°，∴∠PAD=∠CBA=45°，∴AD=PD，∵AO=3，CO=5，∴AC=，设AD=PD=m，则CD=AC+AD=m+，又∵∠PDA=∠COA=90°，∠PCD=∠ACO，∴△COA～△CDP，∴==，∴==∴m=，∴PC=×=17，P在y轴负半轴上时，知，OP=PC﹣CO=17﹣5=12，取OP’=OP=12，如图，对称知：∠OP’A=∠OPA，P’O=PO=12，②当记作P’，由①则由27∴∠OP’A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA═45°，同理P’也满足题目条件，∴P’C=OP’﹣OC=12﹣5=7，综合以上得：PC=7或17．解答题综合与探究如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．D为坐标平面第四象限内一点，且使得△ABD与△ABC全等．（1）求抛物线的表达式．（2）请直接写出点D的坐标，并判断四边形ACBD的形状．（3）如图2，将△ABD沿y轴的正方形以每秒1个单位长度的速度平移，得到△A′B′D′，A′B′与BC交于点E，A′D′与AB交于点F．连接EF，AB′，EF与AB′交于点G．设运动的时间为t（0≤t≤2）秒．①当直线EF经过抛物线的顶点T时，请求出此时t的值；②请直接写出点G经过的路径的长．【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）D（3，﹣2）．四边形ACBD是28矩形，理由见解析；（3）①t的值为；②点G经过的路径的长为1．【解析】（1）将A点和B点坐标代入y=ax2+bx+2得a、b的方程组，解此方程组即可得答案，（2）先利