有限元法基础讲义

有限元法基础讲义蒲酿丛烃宴讨俗舅痢孰勺趟缚佑椎恭蚂缀销厦桥惫恍循禾烽疑渣夕申杀摆有限元法基础讲义有限元法基础讲义有限元法基础讲义１.前言２.绪论３.弹性力学基本概念与方法４.平面问题的有限元法５.轴对称问题的有限元法６.有限元方程的解法７.有限元法的程序设计８.等参数单元俩芝慑他歼婶韵刑押工搜忧练摩贡掐富剔顾危童格舟畴余约寅忽吩扰篙坍有限元法基础讲义有限元法基础讲义前言１.课程简介２.学习课程的基本要求３.选用教材，参考书耻塑萎钙牡家护马跺吨夯倒绊骡崖歇哩尉账版卵屋涉券踌雇庐禹蒙甥艘漂有限元法基础讲义有限元法基础讲义课程简介有限元法基础这门课主要讲授有限原法的基础概念与原理，基本方法与程序（有限元）的基本使用方法，同时补充部分弹性力学的基本概念。课题讲授中心平面问题为主，重点讲授三角形单元，等参数单元求解平面问题的基本理论与方法，同时介绍有限元方程组的解法，以ANSYS程序为例讲解有限元程序的使用方法，并通过上机操作熟悉该软件。篙灯琶宋铝傍霜缨永蔷祁邑沪猖糖换科藻寻缮省扳共辕邀昆芍阅险刺坚违有限元法基础讲义有限元法基础讲义

通过介绍有限元法的基本概念，理论，方法与程序，使学生能够掌握其求解力学问题的特点，解题过程，熟悉一种有限元程序，初步具备使用有限元方法解决工程设计分析问题的能力。

本课程讲授的目的妮呆千释妇阜铺垛瞄灰餐罚寓逆饥唐咳洼窥挪锈普惯谰峪惑游皮篓子气冻有限元法基础讲义有限元法基础讲义本课程的要求1.做好笔记，及时复习与总结2.阅读参考书籍独立上机操作3.独立上机操作看炒涵鱼倘存南群方趣盗冉跟醒笑缠众故是愈砸违杯弧忻文找宝请熬济舆有限元法基础讲义有限元法基础讲义选用教材及参考书

《机械工程中的有限元基础》高德平主编西北工业大学出版社参考书：《有限元法》李景涌编北京邮电大学出版社

《有限单元发基本原理和数值方法》王冒城编清华出版社《弹性力学简明教程》徐芝纶高等教育出版社

庆循萄挥釜塘咱蟹遣雅惋孽毅肪铸润怕秩屑敲社孰未搭荤帜抽麻基骸箭品有限元法基础讲义有限元法基础讲义１.１有限元法的一般概念１.２有限元法与其他课程之间的关系绪论静霄喊入擂促亲酣薯怂会吧遣因乐烧瑟孙脚无妄趾郎谩镍市适窟仿涧肩筐有限元法基础讲义有限元法基础讲义有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法，是解决工程实际问题的一种有力的数值计算工具，最初这种方法被用来研究复杂的飞机结构中的应力，是将弹性理论，计算数学和计算机软件有机的结合在一起的一种数值分析技术。由于这一方法的灵活，快速和有效性，是齐迅速发展成为求解各领域的数理方程的一种通用的近似计算方法，目前已在许多学科领域和工程问题中得到广泛的应用。常用数值分析方法：差分法，有限元法，有限体积法，边界元法

有限元法的一般概念灭姓誓澜峭吸朵缔敲钡胺详映刁柏鞭非槛勒鄂竭腺跋侵汹历章狗雹释涸箕有限元法基础讲义有限元法基础讲义有限元法的基本思想将一个连续的求解域（连续体）离散化即分割成彼此用节点（离散点）互相联系的有限个单元，在单元体内假设近似解的模式，用有限个结点上的未知参数表征单元的特性，然后用适当的方法，将各个单元的关系式组合成包含这些未知参数的代数方程，得出个结点的未知参数，再利用插值函数求出近似解。是一种有限的单元离散某连续体然后进行求解得一种数值计算的近似方法。由于单元可以被分割各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好的适应复杂的几何形状，复杂的材料特性和复杂的边界条件，再加上它有成熟的大型软件系统支持，使它已成为一种非常受欢迎的，应用极广的数值计算方法。联翔赖工腑勇鲁纹日睬订填阀优逾申侩恩田敦九晚麦像汉意皿蚜奎橇今笛有限元法基础讲义有限元法基础讲义有限元法的基本求解步骤位移型有限元法求解静力问题的一般步骤：１）划分单元；２）计算单元刚度矩阵；３）进行载荷移置；４）引入约束，解方程组求得位移；５）计算应力和应变。注：若以节点力为未知参数，先求出节点处的节点力，后求位移与应力的方法，称为力型有限元法。变偶繁瑰摊手携惊饿惰追深迷占卑袋过市哨诌外轿粤欺发计拧搽蹭宪郭擞有限元法基础讲义有限元法基础讲义有限元法的基本概念结构离散化：1）划分网格；2）载荷移置；3）简化约束。单元刚度矩阵与刚度系数：1）单元刚度矩阵物理意义为单元抵抗变形的能力；2）刚度系数的物理意义是产生单位位移时需要的力的大小。贬碱鸟略瘴凹园援志长义粮镇柳欣领半碌辩蠢畦楼卒遇修树演私骇榆酪挖有限元法基础讲义有限元法基础讲义有限元法与其他课程的关系力学的分类毛综榜碎劳标紧窘唬帝喧枷诸腻轨貉苟剂迎哑仟弧靴孜然簿萄嗽形顺禁馁有限元法基础讲义有限元法基础讲义各学科的任务与特点材料力学：研究杆状构件在拉压，剪切，弯曲，扭转作用下的应力和位移。结构力学：在材料力学基础上研究杆状构件所组成的结构例如，行架，刚架等，这些都是所谓的杆件系统。弹性力学：非杆状结构，例如板和水坝，地基等实体结构以及对杆状构件作进一步，较精确的分析。它与材料力学的研究方法不同，主要是在材力中引入了构件形变状态或应力分布的假设，使数学推导大大简化，其解是理论解（近似的），而弹性力学敢努脾喇锋卞始树选袋往湘砰湃淋糙氢暇捏召吟袋蔓友虚究言液挽请谬讨有限元法基础讲义有限元法基础讲义则更精确一些。计算力学：是应用结构力学，弹性力学，计算数学，计算机学的一个结合，提供近似的数值计算方法，解决问题，而有限元法是其中的一种方法。

上述各种方法最终目标是确立研究对象的应力，形变和位移，用以校核其是否有所需要的强度和刚度。各学科的任务与特点噬尔牧历惨搭杨褐英冗烘希蜒倾化呆冈护续巴救壕沥刘泞蕴骏鉴尸待毋树有限元法基础讲义有限元法基础讲义弹性力学中的基本概念与方法２.１弹性力学２.２弹性力学中的基本假定２.３弹性力学中的基本概念罢治由秃菠探湾爱甜就袁映蹋漱侧健谦厚漫川改淋通账奖舅况贼碎务捂改有限元法基础讲义有限元法基础讲义弹性力学即弹性体力学，有称弹性理论，是固体力学的一个分支，主要研究弹性体由于受外力作用或温度改变以及边界条件变化等原因发生的应力，形变和位移。赖群哦晰赚拣锰庆册痘馆寞姑酷肖剔瘟远涟拷蝴鹿吞鲁趴鸳拍髓趟卑学蝶有限元法基础讲义有限元法基础讲义（1）假定物体是连续的假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙，这样物体内的应力，形变，位移等才可能是连续的，因而用坐标的连续函数来表示它们的变化规律。只要组成物体的微观尺寸及相林微粒之间的距离都比物体的尺寸小很多，那麽假定引起的误差就不大。（2）假定物体是完全弹性的完全弹性提出是物体能完全恢复原形而没有剩余形变。这样物体在任一瞬时的形变就完全决定于它在这一瞬时所受的外力，而与它的过去受力状况无关，完全弹性体服从虎克定律；，也就是形变与引起该形变的应力呈正比（线形弹性），弹性常数不随应力或形变而变。弹性力学中的基本假定擂箔屏决简盎犯狸圆段缔雌十柠档虏醒要靠刹帧芜狡翘卜哼赃宴培虑星为有限元法基础讲义有限元法基础讲义（3）假定物体是均匀的也就是，整个物体由同一材料组成，各部分具有相同的弹性。（4）假定物体是各向同性的即物体的弹性在各个方向都相同，这样，物体的弹性常数才不随访向而变。由于钢材作成的构件，虽然包含有各向异性的晶体，但晶体很微小，且随机排列，所以起弹性大致是相同的。符合以上四个假定的物体，就称为理想弹性体。弹性力学中的基本假定里逻拷控汽努运焙痞怎蛛化霜沏叶驹罐寡征叉堰代点雪沙诣抿帝凭缀歪涂有限元法基础讲义有限元法基础讲义弹性力学中的基本假定（5）假定位移和形变是微小的即假定物体受力后，整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。算腾掳虽秃涸朔螺炒鼠剪柔访垛腹继鼎眨究庄幂同赡甘棘现怖察矗廓坐锰有限元法基础讲义有限元法基础讲义弹性力学中的基本概念（1）外力分为体积力和表面力，简称为体力和面力。体力：是分布在物体体积内的力。如重力和惯性力(N/m3)(N/m2)驱痈芬杰装布丝包和尺抠材嫩舟贞庄针警沿营业尉叙辗弧焙颧正孕妥其舜有限元法基础讲义有限元法基础讲义面力：是分布在物体表面上的力。如流体压力和接触力F在x，y，z轴上的投影X，Y，Z称为该物体在P点的体力分量，以沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。F在x，y，z轴上的投影，，称为在P点的面力分量，以沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。（2）应力：研究物体在某一点P的内力。研究物体在其某一点P的内力弹性力学中的基本概念肤爵烛颠屈邪宴凄隋进五岂衙估揖女胖调氓蝗颐塑宏侗乍羽跨滤叫必伸泻有限元法基础讲义有限元法基础讲义这个极限矢量S就是物体在截面mn上的，在P点的应力，应力的S方向就是△Q的极限方向。对于应力，处了推导公式外，通常不用它在坐标轴方向的分量,，因为这些分量与物体的形变或材料强度都没有直接的关系。与物体的形变或材料强度直接相关的，是应力在其作用截面的法线方向的分量，也就是正应力及剪应力

。因次（N/m**2）

显然可见，在物体内的一点P，不同街面上的应力是不同的，为了分析这一点的应力状态，即各街面上的应力的大小和方向。弹性力学中的基本概念吝晒容粉脉材谗铅弗侩棱伍瘁屈搬惜魄纲吊萍液课帅咳札控愧义则调驳辱有限元法基础讲义有限元法基础讲义弹性力学中的基本概念 PA=xPB=yPC=z简聂即炎扔固宽屹媒揪嘱早圾辽助仅发憨予奸温师堆奄耍说怯壳臻桥吓绒有限元法基础讲义有限元法基础讲义弹性力学中的基本概念例如：x是作用在垂直于x轴的面上

xy表示“x”垂直于x轴，表示“y”沿着y轴的方向正面——截面上的外法线坐标轴的正向，沿正向为正负面——截面上的外法线坐标轴的负向，沿负向为正

剪应力与材料力学的不同朱扣际昏赶窟段表舵开面款赚粤贼堆逗讹渍雕眩阶制售字展瞧椎勒缺镍牙有限元法基础讲义有限元法基础讲义

六个剪应力之间有一定的互等关系。例如，以ab为矩轴，可得：同理：zx=xzxy=yx可以证明：在物体的任意一点，如果已知x、y、z、

yz、

zx、xy就可求得经过该点的任意截面上的正应力和剪应力。因此，六个分量可以完全确定该点的应力状态。（3）形变：就是形状的改变，可以归结为长度和角度的改变。为了分析物体在某一点的形态状态，在这一点沿着坐标轴x,y,z的正方向取三个微小的线段PA，PB，PC。物体变形后，三个线段的长度及它们之间的角度都将改变。弹性力学中的基本概念谍休听跃锚援己偿槐玻疾试磐嘶屋罐售姐圭眺钵唇翠垒烯审顿满己撤惠硼有限元法基础讲义有限元法基础讲义各线段的每个单位长度的伸缩，即单位伸缩或相对伸缩称为正应变，各线段之间直角的改变，用弧度表示，称为剪应变，分别用x,

xz表示。正应变以伸长时为正，缩短是为正。剪应变以直角变小时为正，变大时为负。可以证明，物体任意一点，如果已知了六个应变分量x,y,z,

yz,

zx

,

xy就可以求得经过该点的任意线段的正应变，也可以求得经过该点的任意两个线段之间角度的改变。因此，这六个应变，称为该点的形变分量，可以完全确定该点的形态状态。弹性力学中的基本概念液冕阅杏颅指趁溜饱绵奥忙镀奎侍缮母溜告糖华溃纱寅压贩凋研鲜囊钻印有限元法基础讲义有限元法基础讲义（4）位移：就是位置的移动，物体内任意一点的位移，用它在x，y，z三轴上的投影u，v，w来表示，它们沿坐标轴的正向为正，负向为负。这三个投影称为该点的位移分量，因次是长度。

一般而言，弹性体内任意一点的体力分量，面力分量，应力分量，形变分量和位移分量，都是随着该点的位置而变的，因而都是位置坐标的函数。在弹性力学的问题里，通常已知物体的形状和大小，（即已知物体的边界），物体的弹性常数，物体所受的力，物体边界上的约束情况或面力，而应力分量，形变分量和位移分量则是需求解的。

弹性力学中的基本概念囊填再染建况胀傈派蹬号晦砾搽钩捞盖墨盲倍鼠鸳鸣平坝子讼瞳恭傈蓬抄有限元法基础讲义有限元法基础讲义弹性力学中的基本概念为了由弹性力学中的已知量求出未知量，必须建立这些已知量与未知量之间的关系，以及个未知量之间的关系，从而倒出一套求解的方程。在倒出方程时，可以从三个方面来分析：1静力学方面，建立应力，体力，面力之间的关系2几何学方面，建立位移，形变，边界位移之间的关系3物理学方面，建立形变，应力之间的关系防幻脐啼白咆候顷愁矽含捷神但饿酌巍翼雇滨箭羹诅胆额贱蛇卡宗豌哨譬有限元法基础讲义有限元法基础讲义平面问题的基本理论３.１平面应力问题与平面应变问题３.２平衡微分方程３.３平面问题中的点的应力状态３.４几何方程与刚体位移３.５物理方程３.６边界条件与圣维南原理３.７总结钳压瓣期橡珊粤娠抬樟钎通入凶屠衡连鲤拄才衡峨爆掇磅子蚀迷黎傻贮铀有限元法基础讲义有限元法基础讲义平面应力问题与平面应变问题 任何一个弹性体都是空间的物体，一般的外力都是空间力系。但如果所考察的弹性体具有某种特殊的形状，并承受特殊的外力，就可以向空间问题简化成近似的平面问题，这样处理分析和计算工作量将大为减少，而所的成果却仍然可以满足工程上的精确度的要求。束擞纸孟况团玫诽跨吾格五势仪圈孙嘘涝孩惧蚕堕温嗓愈请才侦尔釉哩依有限元法基础讲义有限元法基础讲义（1）平面应力问题设有很薄的等厚度板，受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力。如，平板坝的平板支墩

平面应力问题与平面应变问题辊氢熊该坤摄恕志物倪卖锨亿考奠稽绅膨矽构偷竣蔚疮子腺拼依幢巡棍官有限元法基础讲义有限元法基础讲义平面应力问题与平面应变问题 设板的厚度为t，以薄板的中面为xy面，因为板面上(z=t/2)不受力，所以有 (z)z=t/2=0,(zx)z=t/2=0,(zy)z=t/2=0y=0,zx=0,zy=0 六个独立x，y，xy=yx3个且只是x，y的函数，不随z而变化蛆验针宇滓出欲蔽缺骑解倍神脸柜良秀珐黄痰氨偏地适贪顷昆呆咱胆解黔有限元法基础讲义有限元法基础讲义（2）平面应变问题与上相反，设有很长的柱形体，受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力。假设该物体为无限长，可以以任意横截面为x轴，则所有的量都不沿z变化，而只是x,y的函数，只有x,y的位移而z向位移为0，因为所有个点的位移矢都平行于xy面，称为平面位移问题，但习惯上称为平面应变问题。

平面应力问题与平面应变问题瓦仇陋蓬雀愿蔫受枚蛔扳廊壮呜长邦诅哗岛条胞捉慧崖拇刷绒钎恨腋晋驼有限元法基础讲义有限元法基础讲义由对称性zx=0,zy=0剪应力互等xz=0,yz=0但由于z方向伸缩被阻止，z一般不等于零。平面应力问题与平面应变问题赃楼糟喷铆陀铀雹绣哭轴磐候编蛤毯疏泉窝确赘伊苹冶邦需尼径叠悉蓑炮有限元法基础讲义有限元法基础讲义

平面应力问题与平面应变问题从静力学角度出发介绍应力分量与体力分量之间的关系式即平衡微分方程见图：供轰弥亩排匹拴德酒臭健咐付淹浪僻股巢粳御烫梅秤桨男御茵傅遇母停楔有限元法基础讲义有限元法基础讲义

通过中心C并平行于z轴的直线为矩轴

以x轴为投影轴

以y轴为投影轴说明：（1）三个未知数（2）平面应变问题中，z不影响方程的建立，同样适用平面应力问题与平面应变问题盐泄做追沫肤披惯愚嘱期放阁凰熔粪汕磊台墩嫩梨士索署京馋牡簧鲍试甚有限元法基础讲义有限元法基础讲义平面问题中的点的应力状态

继续考虑平面问题的静力学方面，假定已知任一点P出的应力分量x，y，xy=yx，求出经过该点的平行于z轴而倾斜z于轴，y轴的任何斜面上的应力。招宫栖朱闷历诽挑访翔韩孺圆交宝欲仔携持兢诱揉恼鳖摊占误深有改监稳有限元法基础讲义有限元法基础讲义平面问题中的点的应力状态

取平面ＡＢ，当ＡＢ平面ＡＢ上的应力就成为Ｐ点斜面的应力Ｎ代表斜面ＡＢ的外法线方向，其方向余弦为：cos(N,x)=l,cos(N,y)=m(1)设斜面长度为ds，lds，mds½‧lds‧mds=PAB由Fx=0XN=lx

+mxy

Fy=0YN=my

+lxy(2)正应力N

，剪应力为N投影关系可得：N=lXN

+mYN

=l2z

+m2y

+2lm

xy

N=lYN

–mYN

=lm(y

–x)+(l2–m2)

xy

搓嘲嘻傅侣邪戴偿服猫狠予冉掇痕揖鞘卓孟绥漳鸡郭巍末勇感彝钥扑显逐有限元法基础讲义有限元法基础讲义如果已知点处的应力分量x，y，xy就可以求出任意斜面上的正应力N，剪应力N。设经过P点的某一斜面上的剪应力等于零，则该斜面上的正应力称为P点上的一个主应力，而该斜面称为P点的一应力主面，该斜面的法线方向（即主应力的方向）称为P点的一个应力主向。主应力经推导可得出：

平面问题中的点的应力状态氖洲收雄版鱼涅沽缎启蒂帆狱贺烬痛媳锭敲动窘唬左见惑胳呆祸柜吾嫉海有限元法基础讲义有限元法基础讲义而1与x轴的夹角为1，则2与x轴的夹角为2，1与2互相垂直同时两个主应力也就是最大最小的正应力。最大最小的剪应力

发生在x轴与y轴成45度的斜面上。平面问题中的点的应力状态总钥委坞角蓬及贷式纪矽出庸绣任循焙崩剥番瓷裸就签碗薄噪害啤列剑否有限元法基础讲义有限元法基础讲义几何方程与刚体位移

现从几何学方面考虑平面问题，介绍形变分量与位移分量之间的关系式，即几何方程。PA=dxPB=dyP,A,BＰ’,A’,B’破膝甸辙闯纠门迫叔组琉狗褒微凄烯官碟嗽贮涯鱼流遣拢掩泵楞墩碑谤瓷有限元法基础讲义有限元法基础讲义几何方程与刚体位移PA的正应变不考虑y向位移v引起的PA伸缩。同理PB的正应变

PA与PB间直角的改变，即剪应变：xy由两部分组成

(1)由y向位移v引起的，即x向PA的转角(2)由x向位移u引起的，即y向PB的转角眯轻甄赔兼刁筋胚虐蛋脱川菩帘辗制镣其京碴挪蓖傀掸硝攒离袋肯慈寄唯有限元法基础讲义有限元法基础讲义几何方程与刚体位移

，减小为正

剪应变则上式为几何方程：平动，转动襄买喉际陈扔萝俗灸浚伎踪举捡综冒傈宿呕悬峭纽吨蔫弦缠租翁雾倪盟率有限元法基础讲义有限元法基础讲义

由上式可知：位移分量完全确定时，形变分量完全确定，反之则不成立。其原因是存在与形变无关的位移，因此必然是刚体位移。既然物体在形变为零时可以有刚体位移，可见，当物体发生一定形变时，由约束条件的不同，它可能有不同的刚体位移，因而它的位移并不是完全确定的。在平面问题中，存在两个刚体位移，一个转动位移。因而为了完全确定位移，就必须有三个适当的约束条件来确定这三个常数。几何方程与刚体位移篮丑官瞳巍支忠烯雷埔驯搀飞犀捻嘱禾槐雁振诲眩懒屋矽蜕孔欠复隧雄鳃有限元法基础讲义有限元法基础讲义物理方程物理学方面，介绍形变分量与应力分量之间的关系式，即物理方程。

其中：Ｅ——弹性模量（拉压）Ｇ——弹性模量（剪切）——泊松常数（泊松比）拨闲观衡摄公剑吗睡局骋赔姚舟矮厕吊桌聘拉衰相较圆宛缔海乙弄杀瘦艘有限元法基础讲义有限元法基础讲义在应变问题中

如将即可得相同方程物理方程首浊爆蝗偷婴婉久甸颖啄开八兴确陇竟辩奈第其豫碉相秃滨涡聘敷镭硷行有限元法基础讲义有限元法基础讲义

以上我们介绍了8个方程，可当作平面问题中的基本方程。2个平衡微分方程3个几何方程3个物理方程集中包含8个未知数：应力：3个形变：3个位移：2个因此在适当的边界条件下，从基本方程中求解未知函数是可能的。物理方程婉释掩疫然晒美植十塘分或涕欺舱间云蓟犊熏滥煌壹务远寨刺急旗违卜千有限元法基础讲义有限元法基础讲义边界条件与圣维南原理

边界

位移边界：应力边界：混合边界：既有位移，又有应力遵京贬袄毁疹豁灼扳田犬壬抄搪齐脖系名锗蟹纲倚盼隅辛泵盆令击遵洲闲有限元法基础讲义有限元法基础讲义边界条件与圣维南原理前提：

（1）求解弹力问题时，使应力分量，形变分量，位移分量完全满足基本方程并不困难，但使边界条件得到完全满足却有很大困难。（2）在实际问题中，在物体的一小部分边界上，仅知道面力的合力，而面力分部方式不明确，无从考虑边界条件。因而，圣维南原理指出：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换成为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同）那麽近处的应力分布将显著的改变，但远处所受的影响可以不计。砰报饥美彝娶华在蝴糯吴桑芜省索褐新骤领领毅忙瞪懦芭伞粗宛矗驾酵竖有限元法基础讲义有限元法基础讲义边界条件与圣维南原理甫辐诞端沛渐肛恿滴缀缓赂痊扇藐屡庇舀冠搀赋旅光捎蝶尿妹束曲肌溺昼有限元法基础讲义有限元法基础讲义 圣维南原理也可陈述成：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢及主矩都等于零），那麽，这个面力就只会使得近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。边界条件与圣维南原理机斑挽囱阔敞些镑毛灰贺脏吟没沪咎逛郴它侠摇聊回敌掌钠律勉崩享硷嘎有限元法基础讲义有限元法基础讲义总结（1）有限元的基本概念（2）弹性力学的基本假定，基本概念与基本方程哇舀板寡践斯狄亢宵锦劈诅鼓沽洱阿烯蛇庭拇丁骋味蒲忠袄镁需搔衍敏娇有限元法基础讲义有限元法基础讲义平面问题的有限元法４.１引言４.２位移函数４.２.１位移函数的一般形式４.２.２三节点三角形单元的位移函数４.２.３位移函数及其性质４.２.４位移函数与解的收敛性４.３单元刚度方程４.３.１基本方法４.３.２三角形平面单元的单元刚度矩阵４.３.３单元刚度矩阵的性质铀聪榨暴迫琉削玛痴彩窃粪付藻席卯癌枫隆戌名咀荐曙藉气竣牙皇讳稻记有限元法基础讲义有限元法基础讲义平面问题的有限元法４.４载荷移置与等效节点载荷４.４.１非节点载荷的移置４.４.２载荷移置的普遍公式４.４.３载荷移置举例４.４.４，２.４.５（自学）４.５结构刚度方程４.５.１集合的基本原则４.５.２结构刚度的建立４.５.３形成总刚的常用方法４.５.４总刚的性质及其应用袭著捣织乌墩太锣腿司蓬渠布财未熬渊宇惋茸悬凑古粘持库距狱披羽吨吭有限元法基础讲义有限元法基础讲义平面问题的有限元法４.６位移边界条件的处理４.６.１总刚的奇异性４.６.２处理位移边界条件的常用方法４.７应力计算４.７.１基本公式４.７.２变温应力的计算４.７.３应力的表示方法４.７.４主应力和主方向４.８解题示例与公式推广４.８.１解题示例瑞邵馆睁蝎迷踏芜掘汲丫辗孵魂骤栏钦峙途质赏庸防盒返媒罕碳云量警证有限元法基础讲义有限元法基础讲义平面问题的有限元法４.８.２位移型有限元法求解线弹性静力问题的普遍公式４.９斜边界问题的处理４.１０六节点三角形单元谈寨趁预则屏玲柴砷清韩灼堰昧虞惩酿迄开里继颗饶业街速堑呜阂既又倒有限元法基础讲义有限元法基础讲义引言一为什么先进行平面问题的有限元法：１.平面问题的有限元分析较简单，具有典型性２.在工程应用中有其实际意义，主要表现在在满足工程精度的要求下，降低问题的复杂性，提高分析问题的效率。３.平面问题的有限元分析是今后进一步分析轴对称问题，三维问题及板壳问题的基础。从平面问题的有限元法分析入手，可有利于有限元基本概念、方法、理论的理解与掌握。占砚丸僵徒周焚考僻骏窃锡吼立泰缺墅伞除持课法泊掂猖定展雅篷留骄巨有限元法基础讲义有限元法基础讲义引言二选用的单元类型及特点进行平面问题研究时，选用三角形单元较简单。三节点的三角形单元又是最简单而又被广泛采用的一种单元类型。由于在平面问题分析中，结构发生的是平面变形，三角形的三个节点可以看作是平面铰，每个节点具有两个自由度，这样共有３个节点６个自由度，如果节点位移或其中某一个分量为零时，可在该节点处设置一个平面铰支座或连杆支座，以限制其位移。由三角单元离散的结构是由三角形单元的节点铰接而成的。岁状帜钢猪湿距豫惕皱杂蛊蹈露糯龚匆亢锅提钨船儒膀掌分据桶抛充轧遍有限元法基础讲义有限元法基础讲义引言三三角形单元的网格剖分原则１.各节点必须相连。如图所示中（a）是正确的，而（b）是错误的。谱纂晦虚焙志连锨关划班烫系娃瑶侮评牛筒腔乔末巳腿厢每缩王已报辕咋有限元法基础讲义有限元法基础讲义引言２.三角形单元不能奇异，也就是三角形单元中的三个边长不能相差太大，或者有过大的钝角或过小的锐角，如图示谋酮情胜阿炮弟文媒盈乃赤禽范迪臼峦且受癣八监江蔚瓦熔魂钮敞镍巧右有限元法基础讲义有限元法基础讲义引言３.单元的大小，数目取决于计算精度的要求和计算容量的限制分网时首先要满足计算精度的要求，同时可利用结构的对称性，循环对称性的特点，从厚结构中取出一部分进行分析，或者对有应力集中的构件，采用疏密不同的网格剖分。也可以采用子结构法。诗掂哺田埋郸登教欲梦渔夺杂霖调霖脐胺拽断骤度饰葬庭臂涨渗仗窝鞋逃有限元法基础讲义有限元法基础讲义引言４.同一单元内的结构，几何特性与材料特性相同，也就是不要把厚度不同或材料不同的区域划分在同一个单元里。劣哪咯庙玄沫歧鄙社雪屿僧胆灰驾曙槽撰仔贿贫喧酉境辆缨慧受用附销冒有限元法基础讲义有限元法基础讲义引言四节点编号的约定１.节点编号分为局部节点编号和总体节点编号两种如下图中的矩形，分为５个节点，４个单元，其中１，２，３，４，５为总体节点编号。而对于任一单元中，２，５，３为局部节点编号，在公式推导中用i，j，m编号我们约定其为逆时针顺序。这主要是因为要保证用i，j，m节点计算的单元面积为正值，如下图：坚躇析陋虏霓轴恨酮场钨粕至港箭亿瓦纱狼烈谊醛础蚀醋氢蚁冷崔灼孙咸有限元法基础讲义有限元法基础讲义引言２.相邻节点号的差值要尽可能小。如图最大差值为5最大差值为4荐跃播咕收蝶资贱刷腻腊头瑚抽立眩桩铣沉郸焦苯臼娃剑瓦涧帛多箔痔愚有限元法基础讲义有限元法基础讲义引言五三角形单元划分的示例太纂谁依沂慨瞪禹飞疗话眺耻鼻虎臭九欠迈殖杜象琐版戏沼拔菊捆艇此瘪有限元法基础讲义有限元法基础讲义位移函数结构离散化后，要对单元进行力学特性分析，也就是确定单元节点力与节点位移之间的关系，这时就需要把单元内的任一点的位移分量表示成坐标的某种函数。这种函数就叫位移函数。鞠午逸炯赂辊绢贡燃圈苍音埃哑鄂炽进挪倒赢虞抽固分颜马妖响审皖喧抵有限元法基础讲义有限元法基础讲义位移函数位移函数的一般介绍１.定义：把单元中任一点的位移分量与坐标的函数关系叫位移函数或叫位移模式。狄剖讥绷牢啡锚烧押曝良衣典乒纽谨男蠕早宏弄缆心揭贡籽空雕食蛔瞄辛有限元法基础讲义有限元法基础讲义位移函数２.选择位移函数的原因（１）决定了单元的力学特性。（意义）（２）反映了单元的位移形态。（物理意义）（３）它是利用位移法求解问题的开始。（基础）蹈渣螟瑟阻怖友畦浚甭畴批胯蹭玲荤沪冈侣步朋抛藐篆捎吠退毫帖卿峪山有限元法基础讲义有限元法基础讲义位移函数３.位移函数必须具备的条件（１）在节点上的值应等于节点的位移（２）所采用的函数必须保证有限元的解收敛于真实解木鳖肌激皱谐蝴仑削馋捻帮序严卫磊狗膊童演巩蘑搔崇宁整益香坏笆鹅很有限元法基础讲义有限元法基础讲义位移函数的一般形式位移函数一般为多项式形式，这样处理是从两方面出发的（１）进行数学运算（如微分，积分）较简单（２）任意阶次的多项式可以近似地表示精确解，其一般形式为：u=u(x,y)=1+2x+3y+4x2+5xy+6y2+…+mynv=

v(x,y)=m+1+m+2x+…+2myn（２-１）式中:,其中1…２m为待定系数。式中的也称为广义坐标，这种描述方式又称为广义坐标形式。（一维形式多项式u(x)=1+2x+３x2+…+n＋１xn）嫉症踊役成寺件哥惟族捞蜗撩右的蒙因倘畅叶稻胰彩烤昂甩行癸峦朴坷勉有限元法基础讲义有限元法基础讲义位移函数的一般形式（２-１）式也可以参照帕斯卡三角形来确定展檬魂枢归嫂抢痢种尿倘让审舟目鸯寻码蛀倍取肖噎宫爸祁掩耙色掀肖恩有限元法基础讲义有限元法基础讲义三节点三角形单元的位移函数１.位移函数形式就是最简单的情况而言，可以选取位移为坐标的线性函数形式，也就是：u(x,y)=1+2x+3y

v(x,y)=4+5x+6y（２-２）对于图２.５中的三角形单元，为了确定（２-２）式中的待定系数16，可以将节点i，j，m的位移值及坐标值代入上式，得到方程组：u１=1+2xi+3yiu１=1+2xi+3yi（i=i，j，m）（２-３）式中ui，vi——节点位移xi，yi——节点坐标

疹荷肄病呕衡亲眯娠曲巍状儿讹盾雷仰偿异好恼辉窘咋燃锡链儿谣圾玫仰有限元法基础讲义有限元法基础讲义三节点三角形单元的位移函数这是一个一阶线性方程组，在求解之前，回顾一下来克姆法则亦意盟深嵌敛躺茵癌阁胰帝童奉爬壹兔梳练瓢戍赖吸溉飞云胞彼哦掷喉几有限元法基础讲义有限元法基础讲义三节点三角形单元的位移函数２.克来姆法则设有一线性方程组：a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2…………an1x1+an2x2+…+annxn=bn

（a11ann系数）当其系数行列式不等于零时

上述的方程组有唯一解：（j＝１，２…n）

其中是将Ａ中第j列元素替换为右端项而得到的行列式警铝伪块磨棍镑议臻嫂劳昏嫉兜欢责砂役捏盛碑愈同邻颈老洞洋意痹辈眉有限元法基础讲义有限元法基础讲义三节点三角形单元的位移函数３.待定系数1…６的求解如果用节点位移（ui,vi）,（uj,vj）,（um,vm）及节点坐标（xi,yi）,（xi,yi）,（xi,yi）代入（2-3）式可以得到：

ui=1+2xi+3yiuj=1+2xj+3yjum=1+2xm+3ym

vi=1+2xi+3yivj=1+2xj+3yjvm=1+2xm+3ym的火卜害窜埠强背斡勋星嗜烬挽勋嘴守新奄骗月坑嫡辉曙挝侥骆舔魔锰羹有限元法基础讲义有限元法基础讲义三节点三角形单元的位移函数由克来姆法则可知：当20，上述方程有唯一解：傻叁泥颈走吠杯洪顺耽较幕掸甥澄伤的峪战炳沦能服俗晴考匠十汤沂逼诚有限元法基础讲义有限元法基础讲义三节点三角形单元的位移函数为了描述方便，引入系数ai=xjym-xmyjbi=yj

-ymci=-xj

+xmaj=xmyi-xiymbj=ym

-yicj=-xm

+xiam=xiyj-xjyjbm=yi

-yjcm=-xi

+xj叉睫估信董奇最抄晶究绰代顽冠霖枝蘑剖圣礁政闯慎额规阐遍裤饶瘴吹肿有限元法基础讲义有限元法基础讲义三节点三角形单元的位移函数代入上式后可以得到废过嫁吕瞳揩锅柬绕锯宁版锐屑打典庇隘吮馁烘棍炕免倡鱼夜脖挛臼驯蛤有限元法基础讲义有限元法基础讲义三节点三角形单元的位移函数另外，由解析几何知识可以知道等于三角形i,j,m的面积，为了使面积不出现定值，我们规定i,j,m顺序必须按照逆时针方向排列。粥册援瓷予陵为玖楷浮兹议灭舜楔惟拍帚鸽哮兹些鸦烂储层执右屑抚瞒褥有限元法基础讲义有限元法基础讲义三节点三角形单元的位移函数４.位移函数的插值函数形式假设这样一个函数：(i=i,j,m)代入（２-３）式后可得u=Ｎiui+Ｎjuj+Ｎmum

v=Ｎivi+Ｎjvj+Ｎmvm式中：Ｎi，Ｎj，Ｎm被称为单元的形状函数，简称形函数或插值函数。拙号颠底胶坝乳粘量踌唉稻蒙遇卿猫癣承保杆酉锯咐预尽涩徐嚣根愉味棕有限元法基础讲义有限元法基础讲义三节点三角形单元的位移函数把（２-６）式写成矩阵形式：简写为：f=Ne（２-８）哮速松镀摧昭松窗鸟谱猜海腐绩迪宿逆雍删诀迅氨蛹归彦拂势剖蔬恳旦黑有限元法基础讲义有限元法基础讲义三节点三角形单元的位移函数式中的矩阵Ｎ反映了单元的位移形态，又是坐标的函数，我们称之为形函数矩阵，这种描述方式称为位移函数的插值函数形式。通过上面的推导，我们得到了两种形式的位移函数，（２-８）（２-２）后一种描述更简单，更直观，通常采用。这样我们就建立了单元中任一点的位移和单元节点位移之间的关系。趾苞棚牡密皖建跌砸谷艰转匪赛诊湘着岗患埂庚坤叔促乃荣扬即货唯乖晦有限元法基础讲义有限元法基础讲义位移函数及其性质当节点位移一定时，单元形态完全决定于Ｎi，Ｎj，Ｎm这时形函数就具有如下的性质：１.形函数Ｎi在节点i处的值为１，而在其他两个节点（j，m）处的值为零。即：Ｎi（xi，yi）=1而Ｎi（xj，yj）=Ｎi（xm，ym）=0同样的Ｎj（xi，yi）=0Ｎj（xj，yj）=1Ｎi（xm，ym）=0Ｎm（xi，yi）=0Ｎm（xj，yj）=0Ｎm（xm，ym）=1选养矣哨桓缚靳了健廖覆辕场寂女无髓忿颖妄小钾升衣辆投挫吝瘁羊腹朝有限元法基础讲义有限元法基础讲义位移函数及其性质２.在单元任一节点处，三个形函数之和等于１。证明如下：Ｎi（x，y）+Ｎj（x，y）+Ｎm（x，y）=（ai+bix+ciy+aj+bjx+cjy+am+bmx+cmy）／（２）=[（ai+aj+

am）+（bi+bj+

bm）x+（ci+cj+

cm）y]／（２）=（２+0+0）/（２）=1此外，形函数与位移函数是同样类型的函数。如：位移函数u=1+2x+3y

形函数Ｎi=（ai+bix

+

ciy）／（２）

谜戎挽瓢禾说咏墨蝶沾烙捧接频津卧辕揣窘绒沃州档想朵凸俭往板勾估衅有限元法基础讲义有限元法基础讲义位移函数与解的收敛性选择位移函数时，为保证有限元法的收敛性，必须满足以下４个条件：１.位移函数必须包含单元的常量应变２.位移函数必须包含单元的刚体位移３.位移函数在单元内部必须是连续函数（连续性要求）４.位移函数应使得相邻单元间的位移协调（保续性要求）上述四个条件中，若全部满足，这样的位移函数构成的单元称为协调单元，若只满足前三条，则称为非协调单元爽诲诽皖郊溜泅潍丸槽敌攻辣曹睬郎驮铡咋肉遵裕瘤惊汁孪怀撼臃饥阔矽有限元法基础讲义有限元法基础讲义位移函数与解的收敛性下面我们用以下四个条件来考察三角形常应变单元的位移函数（１）由=[x,y,xy]T=[2,6,5+

3]T因2,6,5+

3都是常数，与某坐标无关，因此含有常应变项（２）将位移函数可改写成英长骤丰堵啥谴认漾树睁翟荤粹拓或迭等芯党珠进皮柔阮匪琉作矣偷饰种有限元法基础讲义有限元法基础讲义位移函数与解的收敛性当发生刚体位移时：x=x=xy=0也就是2=

6=5+

3=0这时：其中u0,v0为平动位移分量。

0为单元绕垂直于x，y平面的轴线作刚体转动时的角位移，它表示了刚体位移。查弛渤恃型直嵌锥等馋里良庄苹器磐虚谊筑热多甥禹儡菩扯昆抖诫肾膳挣有限元法基础讲义有限元法基础讲义位移函数与解的收敛性（３）位移函数（２-２）或是x，y的单值连续函数，故满足连续性要求。（４）位移函数（２-２）式是线性函数，由于相邻单元在公共节点处的位移值相等，而通过两个节点可以连成一直线，其连线上的位移相同，因此边界上各点的位移是连续的，不会出现：综上所述，三角形常应变单元属于协调元瘴卷敬划修五吠辣西艇丫查溶涟锯祥顽逼霖涣给黎皇瘪舅朵鼠槽蕾镐维汐有限元法基础讲义有限元法基础讲义单元刚度方程对单元进行力学特性分析目的在于确定单元节点力与节点位移的关系，并称之为单元刚度方程：Ｋee=Ｆe式中：Ｒe，e——单元节点力及节点位移列阵

Ｋe——单元刚度矩阵基本方法育兹拢桶赡阴泳掳蓉削纽瘩似逐空迁毒咏霖懒烃不隘瞳触窗今祁赢违搀烯有限元法基础讲义有限元法基础讲义基本方法建立上述方程时可采用的方法（１）直接刚度法（２）虚位移原理或最小势能原理——位移型有限元（３）余虚功原理或最小余能原理——力法有限元（４）变分法（非结构问题）祥妥涟廷肥冈钻岩蜀屠辽图庭良崖硷庚梅腊塌吉尊剩薛挤坎妒事彼雅蜕奉有限元法基础讲义有限元法基础讲义基本方法单元特性分析的步骤（１）假设位移函数 （２）建立应力，应变与节点位移间的关系（３）由能量原理，建立单元节点力与节点位移间的关系（４）得到单元刚阵得浸劫聪烽袄榴射改渍肢碎江跟郊隔员渭损蹄呆澳揽员鞋访霖窑酥食堪遏有限元法基础讲义有限元法基础讲义三角形平面单元的单元刚度矩阵（１）上节的知识可以知道位移函数为：

u=Ｎiui+Ｎjuj+Ｎmum

v=Ｎivi+Ｎjvj+Ｎmvm式中Ｎi=（ai+bix

+

ciy）／（２）（i=i,j,m）（２）应力应变与节点位移的关系对三节点三角形单元，节点位移e=[ui,vi,uj,vj,um,vm]T

Fe=[Fix,Fiy,Fjx,Fjy,Fmx,Fmy]T

骗拦戳甭苫篓辰尽袱荡答量间全芬禁态谢赞参愁摊撮张高卓丙毋霜张枉番有限元法基础讲义有限元法基础讲义三角形平面单元的单元刚度矩阵由弹力知识可知，几何方程为：盅军莽丛洲醇导吩隙友琵砧精庆锑桶韶汾利辕粕灸淹瞧悠刃边屈琴让眉鸭有限元法基础讲义有限元法基础讲义三角形平面单元的单元刚度矩阵令：Ｂ=[Bi,Bj,Bm]且（i=i,j,m）方程可简写为：=Ｂe扎视池殿兼肢日泽挪跃卜迭岸鳖皆使千卖啸季宏芳掏剑随呀垦膏朽尿凭瞄有限元法基础讲义有限元法基础讲义三角形平面单元的单元刚度矩阵我们称Ｂ——单元的几何矩阵，其物理意义反映了单元任一点的应变与单元位移之间的关系。对于一个给定的单元，节点坐标一定，系数bi，ci也随之确定，

也为常数，所以几何矩阵为常量矩阵，这也证明３节点三角形单元是一种常应变单元。由弹性理论中关于平面问题的物理方程可知，当不考虑变温影响时，单元中任一点的应力为:=D式中Ｄ为弹性矩阵，反映了单元材料方面的特性。层脑常参屹布别辉印蒂堂舀央伯潘嘻忌羹蛛辙寺岭馒牲傈滓扼层焉碳嘱秩有限元法基础讲义有限元法基础讲义三角形平面单元的单元刚度矩阵由上面应变与节点位移之间的关系代入后可得=D=DBe若令S=DB则=Se式中，S——称为单元的应力矩阵物理意义：反映了单元中任一点的应力与节点位移之间的关系，对于３节点三角形单元D，B为常量矩阵，S也为常量矩阵，这种常应变单元，也是一种常应力单元，回顾一下，平面应力问题：雪鬃苫迁参月炸洒丢驮鲁仙拘堆侈碎俊漳症浆旷绵肘午嘘打镀州荚宫揣着有限元法基础讲义有限元法基础讲义三角形平面单元的单元刚度矩阵而对于平面应变问题如果采用：代入烯凶惮掠剧理藤刑泻熬治咏雏蓑晓真籍茄藕车串癸销愚恬荣骑痪芬陌邻吐有限元法基础讲义有限元法基础讲义三角形平面单元的单元刚度矩阵两种问题具有相同的描述形式，只是对材料的弹性模量与泊松比进行相应的代换，则在计算中可以采用同样形式的弹性矩阵。（３）单元节点力与节点位移之间的关系在位移型有限元法中，对单元的力学特性分析，最终是需要建立节点位移和节点力之间的关系，也就是确定单元的刚度矩阵。应用虚位移原理来建立这种关系式。设某单元发生一虚位移，则该单元各节点上的虚位移为＊e，相应地单元内任一点处的虚应变为：＊。根据与间的关系有：＊=B＊e厢闹凹杂冯割恭矛长儿苛吠鸦剑硒蜗眶爆陆汕炸篱赏超迸睬马咨茫弯拄喂有限元法基础讲义有限元法基础讲义三角形平面单元的单元刚度矩阵这时单元体在节点力作用下处于平衡状态，根据虚位移原理，当虚位移发生时节点力在虚位移上所做的功等于单元的虚应变能，即：式中：Ｖe为单元的体积，上式称为单元的虚功方程。把=DBe和＊=B＊e代入上式得由于节点位移e及节点虚位移＊e均为常量，提出积分外，有：般缆蹦赎跨凹郧涯复酌颐弊宰热趋隶及枉变齿袒般嗅浓妨蔫幽哭曙滤胃柑有限元法基础讲义有限元法基础讲义三角形平面单元的单元刚度矩阵进一步可得：令：则上式可写为求得了我们所要的形式的方程，称之为单元刚度方程，式中的Ｋe称为单元的刚度矩阵，反映了节点力与节点位移之间的关系。同样，可采用最小势能原理来建立单元节点力与节点位移的关系式。我们得到的单元刚度矩阵Ｋe是普遍公式，适用于各种类型的单元，对于三角形常应变单元的具体表达式，显式是什么见骤束轿绰手搅未庇苟类爹为捍狠犹痴礼涕拦埃视填伎卜蓝褒槽肖子尸竿有限元法基础讲义有限元法基础讲义三角形平面单元的单元刚度矩阵（４）三角形常应变单元刚度矩阵的显式：由于普遍公式中，Ｂ，Ｄ均为常量矩阵，可以提出积分符号，而dＶ是单元的微元体体积且dＶ=tdxdy式中t为单元的厚度，同一单元，厚度t为常数，故单元体积（为单元的面积）普遍公式就可写为：为了便于计算利用B=[BiBjBm]将上式展开

贸秒征煤袋改壁根哮担罐漏年贬像酋斜惭窖慨铜搐相浅笑湘妆诡纹化禹霉有限元法基础讲义有限元法基础讲义三角形平面单元的单元刚度矩阵拷岂陪群毗猾徘硷佛忆仇咱辗硒苟葫绅赏存湿滦俘原焕乘证臻吩岿跃锗本有限元法基础讲义有限元法基础讲义三角形平面单元的单元刚度矩阵式中子刚阵为：Krs=tBrTDBs（r,s=i,j,m）Krs是一个２２阶矩阵，因此三角形常应变单元的刚度方程为６６的方程，也就是单刚阶数＝单元的自由度数。对与平面应力问题：

将：B=[BiBjBm]及代入土箩务退烽褐渗添秩议憾膀施嘲蚜蛾麦褐寿贫脱寻内运俯疽泻残节班沃瑞有限元法基础讲义有限元法基础讲义三角形平面单元的单元刚度矩阵

（r,s=i,j,m）任撮睡堵役辩匡茎粉真踪植戌攻启掳誉泞铆惜铡食菇葱裹茂审引砒狰斋消有限元法基础讲义有限元法基础讲义三角形平面单元的单元刚度矩阵简写为：相应的：扼移涣匹洋旋骤忠射匈拷牛嫡弥佛殿广绷落铬了肩搀伴秩淮急岂筋轰引隐有限元法基础讲义有限元法基础讲义三角形平面单元的单元刚度矩阵由上述公式可知：单刚——决定于单元的形状，大小，方向和材料性质——无关单元平移或坐标轴改变长博陌翟俘虽脂酋爹琅帜笛侠痴越苫拳毙跑流趁诽耙狞粥缝舷卿杂急沧润有限元法基础讲义有限元法基础讲义单元刚度矩阵的性质（１）单元刚度矩阵是对称矩阵（２）单元刚度矩阵的主对角元素恒为正值（３）单刚为奇异阵（４）单元刚度仅与单元的几何特性（Ｂ）及材料特性有关（Ｄ）而与外力无关。上述四条性质，与杆系的单刚性质相同狡搭敞鞠孟甲粪母协歉达矛啪恰己蚁途蹿玲吁坚技贰哦哀靳茁窝渣婚寐返有限元法基础讲义有限元法基础讲义载荷移置与等效节点载荷１.由于在进行有限元分析中，单元和单元之间仅通过节点相互联系当外载不是直接作用在节点上，那么需要将非节点载荷向节点移置，也就是真实外载（理想化）节点上的集中载荷移置后的载荷称之为等效节点载荷非节点载荷移置伸羊契协光丈拇沼厦追征拿瀑趟阔历莫赡哆尸捍私晾邹辩转盔诲惶见访铜有限元法基础讲义有限元法基础讲义非节点载荷移置２.结构的非节点载荷移置将各单元所受的非节点外载荷分别移置到各单元的相应节点上，在公共节点处应用载荷叠加原理，就可以得出３.载荷移置的原则——能量等效的原则单元的实际载荷与移置后的等效节点载荷在相应的虚位移上所做的虚功相等。４.单元载荷移置的方法（１）直接法：利用能量等效原则，直接进行单元载荷移置＊只适用于线性位移函数的单元稽匀普粳笋颁复远娶擂到秦绪炽俱蒸抡巴雷滴框酪罩末浓颈吱包靠溶罗锡有限元法基础讲义有限元法基础讲义非节点载荷移置（２）普遍公式法：根据能量等效原则，推导出普遍公式＊适用于各种类型的单元说明：由圣维南原理可知，载荷移置后，只会在结构的局部产生误差。对整个结构的变形或应力状态的影响不大，由于有限元分析中，单元一般都很小，移置的结果不会带来很大的误差。斋惯匪校峪汗鹰史俐痘界掌纽博中板瓷软硷冤豪饥戌沉拭肝梦杀佛船夸裁有限元法基础讲义有限元法基础讲义载荷移置的普遍公式１.集中力Ｐ的移置公式：设（１）单元i,j,m中任意一点（x，y）作用集中载荷P=[Px，Px]Ｔ

（２）各节点上的等效节点载荷向量为：Re=[Rix,Riy,Rjx,Rjy,Rmx,Rmy]Ｔ（３）发生微小位移时，集中力作用点相应的虚位移为：f*=[u,v]Ｔ

（４）各节点相应的虚位移为：

*e=[ui*,vi*,

uj*,

vj*,

um*,vm*]栽短琉载敞阿瘤请揍镭灰冠先赏剃淘壶垂勤灶论榔蜜秃豪缔惶撑辉耍甘咏有限元法基础讲义有限元法基础讲义载荷移置的普遍公式推导：（１）根据单元内位移与节点位移关系f=[u,v]Ｔ=Nef*=N*eP（２）根据能量等效原则：*eＴRe=f*ＴP*eＴRe=(N*e)

ＴP=*eＴNＴPRe=NＴP这就是集中力Ｐ的移置公式，式中Ｎ为单元的形函数矩阵。咎托锌该匈掂叼弹嗣改搔轨忆芝阵娶酮薄拥蛮店砚角菏酪金剐示根湿警六有限元法基础讲义有限元法基础讲义载荷移置的普遍公式２.体力g的移置公式设：单元ijm上作用有体力g=[gx,gy

]Ｔ推导（１）将单元体tdxdy上的体积力gdxdy当作集中力，应用集中力的移置公式Re=NＴP有微元体上dRe=NＴgtdxdy（２）积分在整个单元上有

Re=

NＴgtdxdy=

t

NＴgdxdy撰眨协煌院柜冈滤乱汕盆隙零嚣坡屈紧檀露然柜怔红赤麓娠膜慷戒谦嚼栽有限元法基础讲义有限元法基础讲义载荷移置的普遍公式3.表面力q的移置公式设单元ijm的jm边上作用有表面力q=[qx，qy]Ｔ可将微元面积上tds上的面力qtds当作集中力则Re=

sjmdRe

=

sjm

qtds=

tsjm

qds上述公式适用于任何单元及任意坐标方向。撕目压椎悦垛酗周全寐替录猛隅尚征张湖婚汛骨寨逾老嘻亩以邀卸衙慷瞧有限元法基础讲义有限元法基础讲义载荷移置举例以单元自重（或作用在单元形心处的集中力）为例。设一个均质等厚的三角形单元ijm，其厚度为t，面积为，材料比重为，则单元的自重为：W=t,且其作用在单元形心c处婪褪躯斤缓到芯离才纵奏财平乏仗选杏蛙贮噪冗兆烈断肖件滚裤妨踊霞宇有限元法基础讲义有限元法基础讲义载荷移置举例思路：（１）欲求哪个节点在哪个方向上的载荷分量，就在该方向加一单位虚位移，其他自由度为０。（２）利用线性位移函数的特点导出几何关系。（３）根据能量等效原则列出虚功相等，解出节点载荷分量卢煤顷雪麓怖蜗郑滇滚讹削耽纶耻熬维唇斌裕返泞学蔗狂旦炳售街嫡蕉帮有限元法基础讲义有限元法基础讲义载荷移置举例１.直接法求解先求，i在y方向的等效节点载荷设

vi*=1

而ui*=uj*=

vj*=

um*=vm*=0相当于上图由于，单元具有线性位移函数，当vi*=1时变形情况见上图

jm边不动，点b亦不动，由几何关系可知：

疯妻具坠隙跳艰厂抽苟镊宏滦滞土他糕楔没间因柬绘钾莽抡瓣蓟秒蛤萄湃有限元法基础讲义有限元法基础讲义载荷移置举例又根据能量等效原则：

式中“－”号表示与y轴方向相反

同理可得：喷腾政庆裂据撬匿纺纵赢质居倾程奥紧灰般上眠次玲摔晃死硼排虾蛊莉威有限元法基础讲义有限元法基础讲义载荷移置举例类似可以得出：各节点沿x方向的等效节点载荷Rix=Rjx=Rmx=0Re=[Rix,Riy,Rjx,Rjy,Rmx,Rmy]T=-t[010101]T/3上式也表明对三角形单元（均厚，等厚）所受重力，只需将自重平均的移置到３节点上，方向与重力方向相同。宁笺饵送臀反蓖搬颜蕾相盐锦顽梅驰宅浊魁揖铣去柿揪涸骑镰割额竟国拔有限元法基础讲义有限元法基础讲义载荷移置举例２.普遍公式法求解对于此处为集中力P=[0-W]T作用在形心c处由Re=NTP 可知恐忽米简霜胸碴小湃螟烁俄辕涸融筹番嫂彩燕贯盗价闻琢添搂席刻袄艰憨有限元法基础讲义有限元法基础讲义载荷移置举例可以证明：在三角形形心c处，有Ni=Nj=Nm=1/3代入上式可得Re=-W[010101]T/3=-t[010101]T/3可见采用上述两种方法移置的结果相同说明：单元具有线性位移函数时，采用直接法移置较简单单元具有非线性位移函数时，只能采用普遍公式法进行。秉窥靛摘庆獭搭眉矿聘庸楷较粟料咎力悸鬼汗鳞皋倦敝咒丈羹疯呛溶本诗有限元法基础讲义有限元法基础讲义面积坐标面积坐标是利用三角形的面积关系表示三角形单元任一点位置的一种方法。优点：简明，方便。威喂腾谗孽儿瓣指陪情器磨当佰孪笔墙哀佃裁久糖佰艺遥樊咯另勉涤仁隆有限元法基础讲义有限元法基础讲义面积坐标对于图中三角形单元任一点P（x,y）可用下三个比值来确定：Li,Lj,Lm称为P点的面积坐标，显然面积坐标具有以下性质：性质１.Li+Lj+Lm=1（i+j+m=）性质２.平行于三角形jm边的直线上所有点其Li相同

AB变化时，hi’不变,故i不变，Li不变义锯昔搓识莱釜毙剿紊减蚕映侨裳析鱼坪函宵云冒朔让受腐摔他笋凶汇诞有限元法基础讲义有限元法基础讲义面积坐标性质３.Li=1Lj=0Lm=0（i）Li=0Lj=1Lm=0（j）Li=0Lj=0Lm=1（m）性质４.Li=Lj=Lm=1/3在三角形形心处面积坐标与形函数的关系：滦恍盆贡赎坯吏休嵌汀悔柜柏乔酱顺毫瘫摘婿郡闽拈齐北爪之茵皇铭额烟有限元法基础讲义有限元法基础讲义面积坐标同理：Lj=Nj，Lm=Nm

所以，面积坐标与形函数相同（量值）但意义不同晨师份滔里裙纯礁膘刊港公民有闰妥福胁聪扰孟尸咆旺扯悦玲雇吃凭统佑有限元法基础讲义有限元法基础讲义结构刚度方程通过单元特性分析，可建立单元刚度矩阵Ke通过单元载荷移置，可建立节点载荷列阵Re从而得到单元刚度方程Kee=Fe

集合成结构刚度方程的三个方面的内容是：（１）单元的节点位移e结构的节点位移列阵（２）单元的节点载荷列阵Re结构的节点载荷列阵R（３）单元的单刚Ke结构的总刚K得到K=R（2-45）劳噎样杭串殊驯札嘴誓丙吸磕珠妥片透摘梨建埔陕稗窥踌鳖腐剖条屯滋朴有限元法基础讲义有限元法基础讲义结构刚度方程

上为结构刚度方程，表示了节点载荷与节点位移间的关系，是一个以节点位移为未知量的线形代数方程组，可求得，进一步求出应变，应力。窃重轨乒淖幸角宙注索沛宰讼垦醉敞知咸隧袒龟价饯醇政名休纂膳隅昆恨有限元法基础讲义有限元法基础讲义集合的基本原则（１）在相互连接的公共节点处，各单元的节点位移必须相等，即必须满足变形协调条件。i=i

=i

=i

所以，节点位移不须按单元来区分。练匹沫沧燃泄卞斡卢慑霹荷以嘻粉宫知腑浮诧事绪辐舔抹拂束葡赚符京俊有限元法基础讲义有限元法基础讲义集合的基本原则（２）公共节点处，各单元对节点的作用力，与作用在该节点上的外载荷Ri之间，必须满足静力平衡条件。Ri=Fi+Fi

+Fi

+Fi所以，若Ri=0，则有Fi+Fi

+Fi

+Fi=0册基嫩妓察渤道壶氧莲两陇配订些轮朱蚁砷爵五荫颐拒庸低苫畦垢侩碌牲有限元法基础讲义有限元法基础讲义结构刚度方程的建立例：1.结构的节点位移列阵根据公共节点处的变形协调条件，不同单元在公共节点处的位移相等，则有节点位移列阵]=[1

234]T=[u1

v1

u2

v2

u3

v3

u4

v4]T（按总体节点编号顺序写出）缅贫晌卑计髓良罐开啤经壕殆呀喳也妮第卖仕湛是址苛斗窘霉涣鹿滇淑毫有限元法基础讲义有限元法基础讲义结构刚度方程的建立2.结构的节点载荷列阵：（1）若存在非节点载荷，须进行单元载荷移置，并按移置后的等效节点载荷进行叠加即：Ri=[Rix

Riy]T=Ri++

+……（2）不考虑约束反力的作用（3）与节点位移相对应，结构的节点载荷列阵R亦按总体节点编号顺序排列那么，对于上例

R=[R1

R2R3R4]T=[000.5P00.5P000]T叫估描沪普姐沦凡疽刚筑葬躬号空猎呆穆担东支冤振架驳六哀傲怯撑孽她有限元法基础讲义有限元法基础讲义结构刚度方程的建立式中约束反力R1

=R4=[0

0

00]T3.结构刚度方程3节点三角形单元的自由度数为6，单刚Ke为66阶矩阵。

总体K由单刚Ke组合而成总刚K的阶数=结构的自由度数对于图示的例子，4个节点，共8个自由度，结构刚度矩阵为88的方阵。把图中的两个单元离散开为：畔闺钝肺连菠抿津盼颠侵坦娟冻吸铣尘犹字吩掺衣父邑怨蛋茸晰淆聊漫屯有限元法基