四点共圆四种情况及其证明

一、四点共圆的判定方法,判定方法1:判定方法2：一、四点共圆的判定方法,判定方法1:判定方法2：判定方法3:判定方法4：口点共圆的概念,口果同一平面内的四个支在同一个圆上，则称这四个出共明,一般简称为“四盘共腐T、四点到某一定点的距离都相等^四点共圆.从被证的四点中先选出二点作一圆，若另一点也在这个区上"—四点共圆.若凸四边形的对角互补一4四个顶点共圆若凸四边形的一个外角等于其邻补角的内对杯—四个顶点共圆一、四点共圆的性质，(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等;⑵圆内接四边形的对角互补；(3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角n判定方法5：共斜边的两个豆角三角形^四个顶点共圆，且斜边为豆心判定方法6：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧一^四个顶点共圆.判定方法I(相交弦定理的逆定理)凸四边形ABCD的对角线AC、HD交于巴若PD-BP=PC-AP一^四个顶.点共圆.判定方法81(割线定理的逆定理〕若凸四边形ABCD其边的延长线AB、CD交于P,APD-PC=PB-PA四个顶点共圆 /二、托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和.若四边形ABCD内接于圆-^BD-AC-BC-AD十CD-AB.托勒密定理的逆定理：如果凸网边形两组对边的积的和，等于两对角线的积比四边形必内接于国n若BDAC-BGAD+CD4B^^23边形ABCD内接于圆，四点共圆的判定与性质一、四点共圆的判定（-）判定方法L若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆口2,若一个四边形的一组时角互补（和为180°）,则这个四边形的四个点共圆。3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆.4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆.5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。6、若AB、CD两线段相交于P点，且取父PB=PCXPD,贝U&B,C、D四点共圆（相交弦定理的逆定理）。1、若AB、CD两线段延长后相交于P&且改乂PB二PCXPD,则A、B、C、D四点共圆（割线定理）口8＞若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆（托勒密定理的逆定理。£二厂证明若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆厘若可以判断出OA=OB=CiC=OD,则A*B、5D四点在以O为圆心OA为半径的应上召：2.若一个四边分的一组对角互补《和为180°）,则这个四边形的四十点共圆。若/A+/.C=18。'或/B+2D=18口”,则点A、B、C、D四点共圆。

3、若一个四边形的外角等于它的内对角,则这个四边形的四T点共圆。若5B=/CDE,则人1C、D四点共圆证法同上。4、若两个点在一条线段的同旁,并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点4、若两个点在一条线段的同旁,若/Pf/D或＜ABD=£/\CD,则B飞C、D四点共圆。5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。如图2,若/A=/C=90°,则A、B、C、D四点共圆。6、若AB、CD两线段相交于P点，且联XPB=PCXPD,则A、B、C、D四点共圆（相交弦定理的逆定理人Jit时院7、若AE-8两线段延长后相交于P3Jit时院7、若AE-8两线段延长后相交于P3且佻父用=口（：父阳，则R、B、dD四点共图[割线定理8.若四边形两组对读乘积的和等于对角线的乘程，则四边形的四个顶点其园（托勒密定理的逆定理）。已知四边形AEJ8,若ABXCDM□义AC小口,口口则直、口、CW0四点共圆.（三）例题西.已拓一人」。月中「姻=帅=工ACOD中，CD=腔=2,乙40=上口CO」连接如、K.息“，尸分别为Q七肛M的中点」 ：‘门:如图I若・3白三点行同一直统上，目二.四。=6犷.见“APMV的第驮是AD一切⑵如图2,若工5匚三点莅同一后练匕且上」?口=的，讦明△fjixsA即5并计算“的值〔用舍S的式子去示3L⑶在图2口.固定匕一一口/将△[»口快点门旋转I自犊与出且叮的最大值,■,22工如图一，在△X5C中，分别以.45JC为直径在色外作半扇Q和半隰］其中仇和Q分别为西个半提I的圆心.F是边3C的中点，点D和点三分别为两个半圆圆眼的申点一7（D隹结qHdRRF=证明：△力一S如图二，过点A分别作半园Q和半图5的切线，交ED的延长线和CE的延长续于点F和点Q，连结PQ，若/ACBT叱DB=5,CET，求线段PQ的长产（S）加图三过点上悟胭。二的切至交性的延长线于点。，过点0作直线六的垂缉交3D的延长线于点R连结以一证明.总!是半圆q的旬线*（i）求证：A上（：）求证:/；仁'（i）求证：A上（：）求证:/；仁'=4'飞十如图】，自/与？为等感直角三角形，/上，为直角，口为一叮中点，三为边止己上一动点,□汇LIE交$U于兀一"『平分乙?上「交王干」：文「平分工W3C•交工于凡+■（3）如图1当仃工》