理性生产者管理知识

{生产管理知识}理性生产者管理知识简单、复杂劳动等等。任何生产都离不开劳动，而且劳动的质量对生产起着关键性的作用。平，让劳动者掌握先进的科学技术知识，对于企业来讲是十分重要的。慧资本不同于物质资本、货币资本和技术资本，它是无价之宝，具有特殊重要性。产结束后不再存在，已转化成了产品。投入的生产要素中就只剩下可变要素部分了。如果作长期考虑，一切生产要素都是可变的。成为可变资产，一切生产要素都可变，甚至技术水平也要变化。二、生产函数产品。这样，在产品产量与各种生产要素数量组合之间就产生了一种对应关系，称之为(简单)生产函数，它由企业的生产技术水平所确定，是企业技术的反映。(一)生产函数的性质大产量与投入方案之间的对应关系就是企业的生产函数，它由企业的生产技术水平所确定，随生产技术的改变而改变。设。假设PF(关于生产函数的假设).生产函数满足下面四个条件:(1)真实性：，即不能无中生有，没有投入就没有产出；(2)非负性：对任何投入向量，都有；(3)连续性：在投入集合中连续；(4)光滑性：在投入集合内部连续可微，且在各点处的各个一阶偏导数不会同时都为零。(二)生产要素的贡献出为。要素对生产的贡献可用下式来表达:这个式子有以下两方面的意义。产出占全部要素的产出的比例。产量的大幅度增加；当时，产量与要素的投入量以同样的幅度增加或减少。加总起来，便得到全部生产要素的总贡献：时，各种要素的投入量增加一倍时产量也将增加一倍，因而产量与生产规模同比例扩大。献，因而是一种边际贡献。即缺少其中任何一种要素是不成的。贡献系数正反映了这一事实。(三)有效投入减少的情况下所投入使用的各种生产要素数量达到最小。对此，我们可以给出严格的定义：用表示有效投入的全体，称为生产者的有效投入区。有效投入区的边界称为脊线或脊面。以证明：命题1.生产函数在有效投入区中是单调增加的,即对任何，只要，就有。事实上，当且时，由于是有效投入方案，就不可能成立，可见只有。有了命题1所述的关于生产函数单调性的事实，我们立即可知：命题2.在假设PF下，生产函数在有效投入区内各点处的各个一阶偏导数均非负。事实上，对于任何,,,,，我们有,从而(因为是有效投入)于是，命题2得到证明。命题2(随要素投入量的增加而)递增至少不下降的变化趋势。有效投入也可用等产量曲线来刻画(如图6-1所示)(面)产出相同的各种不同投入向量所组成的集合。产量为的等产量曲线(面)，用表示，是集合。论：命题3.有能够满足。实际上，若是有效投入，则显然没有满足。没有一种方案能够满足，因此这个方案不在中，故。既然，所以。现在，从的连续性可知，存在实数使得。显然，且。这与前提条件“中没有一种方案能够满足相矛盾。可见，必然是有效投入方案。命题3得证。脊线(面)与等产量曲线(面)6-1所示，两条脊线分别是由脊点和随产量移动形成的轨迹，有效投入区就是两条脊线所夹的范围。第二节等产脊线量曲线分析脊线要素空间实质上是一张等产量曲线图，有效投入区每种投入方案都在一条(张)等产量曲线(面)等产量曲线互不相交。产量曲线生产要素的图6-1等产量曲线，脊线，有效投入区投入使用情况进产量曲线(面)。一、替代与互补(一)要素之间的替代性与互补性一定的比例配合投入使用，因而要素之间具有比例特点。说出了两种要素之间的配合比例变化范围。替代的，因而也就无特殊的投入比例要求。当两条脊线重合时，要素之间完全无可替代性，重合时，这两种要素之间就不但具有一定程度的替代性，也具有一定范围的比例变化要求。(二)边际替代率当两种投入要素可以相互替代时，我们把一种要素的投入量减少(增加)(减少)的另一种要素的投入量，称为这两种要素之间的边际替代率。准确他要素投入都不变的情况下，要素的投入量减少(增加)一单位时，为了保持产量水平不变，所需增加(减少)全微分等式成立：际替代率。于是，我们得到：根据上一节中的命题2，在投入有效区内的各点处任何两种要素之间的边际替代率都是非负的。另外，(即边际替代率)表达了一单位要素所等同的要素的贡献，即从贡献上讲，一单位要素所等同的要素的数量。(三)技术系数互替代时，技术系数就是可变的。当生产要素不能相互替代时，技术系数就不可变。因此，技术系数可以是固定的、部分可变的、或者完全可变的。(如图6-2(a)所示)。合，要素之间可以完全相互替代(如图6-2(b)所示)。脊线脊线有效脊线脊线投入区有效投入区有效投入区脊线(a)固定技术系数(b)完全可变技术系数(c)部分可变技术系数图6-2技术系数与等产量曲线要素之间可以相互替代(如图6-2(c)所示)。况下要素投入一个单位时所要求的要素的投入量，即可以看出，边际替代率、技术系数与贡献系数三者之间的关系如下:二、替代弹性及其对偶之间具有一定的对偶性，即可以相互确定。(一)替代弹性性等于比值：量曲线凸向元点，因而替代弹性非负(即技术系数与边际替代率同向变动)。1.无替代弹性：标轴的射线所构成。即等产量曲线强性弯曲，折成90℃夹角(如图6-3(a)所示)。2.弱替代弹性：的反应不很敏感，等产量曲线的弯曲程度较大(如图6-3(b)所示)。3.强替代弹性：反应很敏感，等产量曲线的弯曲程度较小(如图6-3(b)所示)。4.单一替代弹性：度居中，等产量曲线的弯曲程度居中(如图6-3(b)所示)。5.完全替代弹性：的无限变动。因此，边际替代率为常数，等产量曲线为直线(如图6-3(c)所示)。(弱)(单一)(强)(a)无替代弹性(b)弱、单一、强替代弹性(c)完全替代弹性图6-3替代弹性与等产量曲线(二)贡献弹性的敏感程度。严格地讲，在投入方案处，要素对要素的贡献弹性是比值：贡献弹性与替代弹性可以相互确定，即具有对偶性，其对偶公式为：事实上，从可知，于是，为了方便记忆，贡献弹性与替代弹性之间的对偶偶公式也可写成：第三节齐次生产函数的这个数叫做齐次函数的阶数。欧拉定理(Euler).如果生产函数是阶齐次函数并且可微，则对于任何投入向量，都有。证明:设任意给出。既然对一切实数都成立，那么在此式两边对求导数就可得到:全部要素的总贡献恒为常数。例1.Lèontief生产函数Lèontief这就是Lèontief生产函数的形式，显然这种形式的生产函数具有下面一些性质：(1)是严格单调的，即对一切，若，则；(2)是一阶齐次函数，即对任何及任何实数，都有；(3)生产要素之间不能相互替代；(4)等产量曲线是如图6-2(a)所示的夹角为的折线(两种要素情形)。例2.Cobb—Douglas生产函数Cobb—Douglas生产函数的形式是：其中都是正的常数，称为技术进步系数。记。可以看出：(1)是阶齐次函数；(2)是要素的贡献，即，是全部要素的总贡献；(3)是单调的，即对一切，若，则；(4)是内部强单调的，即对一切，若，则；(5)投入要素之间可以完全相互替代，因而技术系数完全可变；(6)边际替代率，贡献系数为常数，技术系数；(7)再根据替代弹性与贡献弹性之间的对偶关系可知，替代弹性单一。例3.CES生产函数CES(ConstantElasticityofSubstitution)生产函数(即不变替代弹性生产函数)的定义为：其中都为正的常数。(1)是阶齐次函数。(2)生产要素的贡献情况要素的贡献为：全部要素的总贡献为：(3)技术系数、边际替代率及贡献系数技术系数为：边际替代率为：贡献系数为：(4)贡献弹性与替代弹性贡献弹性为：替代弹性为：由此可知，CES生产函数具有不变的替代弹性和不变的贡献弹性，这正是CES生产函数名称的由来。第四节收益分析(产品产量)随投入要素数量变化而变化的规律。我们将按照两种情况分属于生产收益的长期分析。一、收益的短期变化规律短期内生产要素可分为两类，一类是投入数量可变的生产要素，称为可变要素，比如劳动、规律。(一)短期收益的形态三种。1．总产量(TotalProduct)向量有一个分量为零，那么就有。2．平均产量(AverageProduct)产量同其他生产要素的当前投入量有关。假设当前投入向量为，那么要素的总投入量就为，要素的平均产量便为：3．边际产量(MarginalProduct)素的边际产量就是生产函数在处关于的偏导数,记作,即追加要素投入量过程中每追加一单位要素所得到的产品(即边际产量)之总和。(二)要素的贡献利用平均产量(平均报酬)和边际产量(边际报酬)大小由指标来衡量。其中，是要素当前的边际产量，是当前的总产量。(产品计量单位)乘积可看成是要素在本次生产中的“总产出，是全部要素的总产出，二者相除便消除了量纲因素的影响。容易看出，要素的贡献可通过边际产量和平均产量加以表示：即要素的边际产量与平均产量之比，就是要素在本次生产中的贡献。(三)短期收益的变化规律1．各种收益之间的关系(1)总产量与平均产量的关系总产量是要素投入量与平均产量的乘积(如图6-4(a)所示)，即(2)总产量与边际产量的关系用牛顿—莱布尼茨公式加以证明(如图6-4(b)所示):(3)边际产量与平均产量的关系产量下降。这样，在平均产量曲线的最高点处，平均产量与边际产量就要相等(如图6-4(c)所示)。(a)总产量与平均产量(b)总产量与边际产量(c)边际产量与平均产量图6-4各种收益曲线之间的关系知，从而可得到：注意，。于是，上式告诉我们：当时，处于上升阶段；当时，处于下降阶段；当达到最大出现负的边际产出，使生产进入边际产出为负的无效生产阶段(第三阶段)2.边际收益递减规律少，即生产函数的二阶偏导数。素(如肥料)加不断减少。谁能想象不增加劳动，不改良品种，不改进生产条件，不扩大土地使用面积，时间的不断延长，学习效率越来越低，因而学习的边际收益递减。行经济决策时必须加以重点考虑的方面。二、规模报酬要素数量变化对生产的影响之后，还需要分析所有生产要素的数量变化对生产收益的影响。产规模来使自己受益，我们就说该企业具有规模经济(效益)。(一)规模经济企业扩大生产规模能否使企业受益，这需要从企业的内部和外部加以分析。1.内部经济收益大幅提高。我们称这种情况为企业内部经济。把这种情况称为企业内部不经济。2.外部经济蜜产量大幅度提高，这就是蜂厂外部经济的表现。们称之为外部不经济。于规模经济的状态。否则，就是规模不经济，或者说，不存在规模经济。(二)规模经济效益素数量按同一比例同时扩大。设企业的生产函数满足假设PF。1.规模报酬(ReturntoScale)模报酬，记作。倍所产生的报酬增加量为。为了精确计算，令，取极限即得到：称为要素的规模报酬。便是所有要素的规模报酬之总和，因而是全部要素的规模报酬。一般来讲，企业的规模报酬变化要经历如下三个阶段。(1)规模报酬递增阶段：到充分发挥，因而扩大规模是有效益的，即规模报酬递增。(2)规模报酬不变阶段：规模报酬不变。(3)规模报酬递减阶段：一般来讲，当企业在长期发展中把生产规模扩大到一定程度(相当大的程度)规模扩大一倍，由于已没有更大的潜力可以挖掘，就要引起内部管理混乱，管理效率低下，扩大规模。2．适度规模长期内，当企业把生产规模扩大到规模报酬不变阶段时，企业的生产潜力得到了充分挖掘。模上进行。3.规模效益从规模报酬变化的三个阶段可以看出，在投入方案处，规模报酬与总报酬的比值很有意义。我们把这个比值叫做处的规模效益。回忆本章第一节所述的全部要素总贡献，显然规模效益就等于，即规模报酬不变；当时，规模报酬递减。规模效益。4．规模弹性规模效益还是产出对规模的弹性，即这是因为。从Euler定理可知规模效益(常数)。第五节利润最大化符合理性的做法。一、收入、成本与利润格为，要素的价格体系为，生产函数满足假设PF,并假定产品价格和要素价格体系为既定。当投入向量为时，生产者的生产性支出(即支付给生产要素的报酬)为，称为生产者的成本。是实物报酬的货币形态。今后，将用“收入一词来指毛收入或总收入，而不再带“毛或“总”字。从总收入中扣除成本之后，剩余部分就是生产者的净收入，即利润，记作，即是的最大值点时，就称是利润最大化投入(方案或向量)。命题1(利润最大化投入的有效性).利润最大的投入方案必然是有效投入方案。案使得且,从而且，结果这与是利润最大化投入方案相矛盾。可见，必然是有效投入。命题1得证。二、利润最大化的边际分析样，利润最大化投入方案必在投入集合的内部，即。根据最大值的一阶条件，利润函数在处的各个一阶偏导数都为零：即此式称为利润最大化边际等式或边际方程，它告诉我们：。这就说明：(1)在利润最大化投入方案处，把一单位货币不论用于增加哪种要素的投入量，所获得的产品增加量都是一样的，它就是生产者的单位货币收入所售出的产品量。(2)这就是竞争性厂商的产品定价原则。最后还是从边际等式可知:这说明：(3)在利润最大的投入方案处，任何两种投入要素之间的边际替代率都等于它们相应的价格比。三、利润最大化的规模效益与盈亏情况在利润最大的投入方案$处，既然，我们有要素的规模效益规模效益规模效益是企业生产的成本与总收入之比。从实现利润最大化时企业的规模效益同成本与产值的关系，可得如下的盈亏分析结论：命题2(利润最大化的盈亏).在利润最大化的情况下，(1)如果企业的规模报酬递增(即规模效益大于1)，那么企业生产处于亏损状态；(2)如果企业的规模报酬不变(即规模效益等于1)，那么企业生产处于不盈不亏损状态；(3)如果企业的规模报酬递减(即规模效益小于1)，那么企业生产处于盈利状态。行为(比如采取股份制或私有化等各种手段)，使企业以实现利润最大化为行为目标。然后，获得扩大生产规模所能得到的全部好处，才能摆脱亏损的困境而进入盈利状态。第六节成本理论讨论成本的概念、成本的确定、产出与成本的对偶以及生产扩展等问题。一、成本的一般概念见性，故又称为显性成本或可见成本，也就是会计学中的会计成本。机器设备等，它们的报酬不计入会计账目，因而是看不见的，称为隐性成本。建工厂，还可用建筑住房。假如用于生产粮食，可得到1000元利润；用于扩建工厂，可得到5000元利润；用于建造住房，可得到10000元利润。那么，当生产者用这一亩土地来进1000010000元利润入使用问题，可促使要素用于最佳途径，促使资源达到最优配置。定用种生产要素生产某种产品，生产函数为。企业的成本主要由显性成本和隐性成本构成，我们更关心显性成本的变化。变成本(VariableCost)材料、燃料、电力、劳动等费用支出。因此，可变成本是一切可变要素的报酬。固定成本(FixedCost)是所考虑时期内不随产量变化而变化的那部分生产要素的报酬，比如厂房、大仅存在于短期之内。可变成本与固定成本之和称为总成本(TotalCost)用表示总成本，表示可变成本，表示固定成本，则。从统计角度分析总成本的构成，则有平均成本和边际成本概念。平均成本(AverageCost)变之分，一切成本都是可变的，因此(即平均成本只有平均可变成本)。边际成本(MarginalCost)水平上又增加了个单位的产品，引起总成本TC增加，那么产量水平上的边际成本就是：。不论短期还是长期，边际成本都等于边际可变成本：单位产量所增加的成本将越来越大。二、成本函数而变化的情况之上：。由于固定不变，因此我们关心的是VC的变化情况。(一)成本函数的确定PF价格向量为。按照这个价格体系，投入方案的费用支出为，它就是投入的成本。(面)且不区分可变成本和固定成本，或者说也可以视所考虑的种生产要素全都为可变要素。做法如下。1.产量既定时的成本对于既定的产量,从等产量曲线可知，生产个单位的产品可以有许多种不同的投入方案，生的成本，称为生产者的(总)成本，记作，即(1)成本最小化投入当一个产量为的投入向量满足时，称这个向量为既定产量下的成本最小化投入向量(方案)最小化投入向量是等产量曲线与等成本线的切点(如图6-5所图6-5既定产量下的成本示)数则类似于消费理论中的消费支出函数。命题1.成本最小化投入方案必然是有效投入方案。3，要证明是有效投入，(即是等产量曲线上成本最小的投入方案)有效投入方案。(2)成本最小化拉格朗日乘数的各个一阶偏导数全为零：即显然，成本最小化投入向量和相应的拉格朗日乘数都由要素价格体系和产量水平所决定：。

称这个拉格朗日乘数为成本最小化拉格朗日乘数。由本章第一节的命题2可知，生产函数在有效投入方案处的各个一阶偏导数皆非负，因此。结合假设PF可知，从而成本最小化拉格朗日乘数。既然,且，我们得到：,即。命题2.成本最小化投入方案处任何两种要素之间的边际替代率都等于相应的价格比。了最经济的程度。2.成本既定时的产量就是既定成本下的产量最大化问题。图6-6图6-6既定成本下的产量最小化时也实现了产量最大化。产量下的最小成本。(二)生产扩展上面关于确定成本函数的讨论说明，要素空间中等产量曲线与等成本线的切点相当重要，它既是既定产量下的成本最小化投入方案，又是既定成本下的产量最大化投入方案。企业在这些切点上组织安排生产活动才是最优的选择，企业的生产应该沿着这些切点运动的轨迹进行扩展。鉴于此，我们把等产量曲线与等成本线的切点所构成的集合，称为企业在要素价格体系下图6-7生产扩展线的生产扩展线，并用表示(如图6-7所示)。明显地，可由下述方程组确定：此方程组称为生产扩展方程。点随变化而移动生成的轨迹，即容易证明：对一切成立。1.成本最小化拉格朗日乘数的意义设,。于是，存在实数使得。显然，这个实数就是产量下的成本最小化拉格朗日乘数。利用生产扩展线，我们可以给出成本最小化拉格朗日乘数的一个经济解释。进行，因此可取的一个微小变动使得且。这样，我们有：这说明。注意，所以，成本最小化拉格朗日乘数就是边际成本。3.成本最小化投入方案的确定投入方案生产的产量也是，因此。令则对一切成立，并且。这说明是函数的最大值点，从而在点处的一阶偏导数必为零：即小化点上(不论是否改变要素投入组合)生产原产量的成本(都必然)的利润。(三)成本函数的性质现在，我们对成本函数的特点作一些分析。性质1.成本函数是产量的递增函数，即。递增函数。性质2.成本函数是要素价格体系的一阶齐次函数，即对任何实数，都成立：。性质3.都有。实际上，若记，并设是价格和产量下的成本最小化投入方案，则有且。注意，且。性质4.如果生产函数是凹函数(即边际报酬递减)，那么成本函数是产量的凸函数(即边际成本递增)。既然，根据性质1性质5.数是和的连续可微函数。果生产函数强拟凹，那么还可以类似地证明是连续可微的映射，从而是和的连续可微函数。用下，成本函数的可微性及成本函数关于产量的凸性都是必然。三、成本函数与规模报酬假定要素价格不变。这样，可把成本函数简单地写成，而省去价格向量。(即规模弹性)应该是生产扩展线上的规我们有：因此，按照生产扩展线安排生产，企业的规模效益等于相应的平均成本与边际成本之比。命题3.成本上升；规模报酬不变当且仅当平均成本最低。命题4.与边际成本总是相等，又当且仅当成本函数具有形式：。本的导数。规模报酬总是不变的。由此可知，生产扩展线上的规模报酬不变之假设同成本函数具有形式是相互等价的。命题5.如果生产函数是阶齐次函数，那么成本函数具有形式。而仅仅是的函数。命题5得证。第七节要素需求与产品供给产要素和供给产品的原则。一、条件要素需求素需求函数。之所以称谓“条件，是因为这里的要素需求同产量水平有关，是产量既定条件下的要素需求。根据上一节的讨论可知，条件要素需求可用生产扩展线来确定。对于任何的要素价格体系，相应的生产扩展线上产量为的点，就是在和下的条件要素需求向量，其确定方程是：边际成本：。(一)条件要素需求的性质性质1,这是因为，是函数在约束条件下的最小值点，当且仅当是函数在约束条件下的最小值点。性质2．条件要素交叉价格效应是对称的，即。要证明性质2，需要注意条件要素需求向量是成本最小化投入方案，而成本最小化投入方案阵。的对称性说明，条件要素交叉价格效应是对称的，性质2明，条件要素自身价格效应是非正的，即下面的性质3。性质3．条件要素自身价格效应是非正的，即。产者对这种要素的需求量不会增加(更可能会减少)是下面性质4所述的规律。性质4．条件要素需求向量的变动与要素价格向量的变动是反向的，即对任何要素价格体系和，以及任何产量水平，都成立。(二)条件要素价格效应的确定过生产技术来确定的条件要素价格效应的办法。我们仍然用表示生产函数，表示条件要素需求映射，表示相应的成本最小化拉格朗日乘数。将它们代入条件要素需求方程后即可得下面的恒等式组：在每个恒等式的左右两边对求导数可得：用矩阵表示，即记，则。这就得到了条件要素价格效应的确定公式：这个矩阵是可逆的。二阶必要条件可知，拉格朗日函数在点处的海森矩阵是半正定的(对于极大值，二阶条件是说拉格朗日函数的海森矩阵半负定)，而的加边海森矩阵正是，因此的加边海森矩阵是半负定的。对称性则来自于。由于半负定对称矩阵的逆矩阵仍然是半负定的对称矩阵，因此矩阵也是对称的半负定矩阵，即是对称半负定矩阵，这就又一次说明了条件要素需求的性质2和3。二、要素需求与产品供给之上才能实现利润最大化的问题。现在，我们就来讨论这个问题。(一)利润最大化的意义这个概念，关键在于如何理解。活动的水平。厂商的行为，表现为选择一种投入产出行动，使得利润达到最大。(实润分析不会产生什么问题)。于是，总收入是通过生产函数由厂商的投入所决定的，是要素投入的函数：。在要素价格既定的情况下，总成本就由投入的全部生产要素来决定，是要素投入的函数：。然满足下面条件：(要素的)边际收益等于(要素的)边际成本。其经济

含义是：如果某项活动(生产要素)的边际收益大于边际成本，那么提高该项活动的水平(增

加该要素的投入量)是有益的；如果某项活动(生产要素)的边际收益小于边际成本，那么降

低该项活动的水平(减少该要素的投入量)是有益的。第三，还可以从产出的角度来理解利润最大化的意义。厂商的总收入直接依赖于产量(即销

售量)。因而总收入是产量的函数：。另一方面，厂商组织一个产量的生产，当然要以最小

产量的函数：。这样，利润也就由产量水平决定，是产量的函数：。(产品的)边际

收益等于(产品的)的收入小于增加的成本，那么增加产量将使厂商的利润水平下降，因而应该减少产量。

量，那么这个产量下的成本最小化投入方案就是利润最大化的投入。因为，如果这个不是产量下得逞最小化投入方案，那么必有产量相同的另外一种投入方案，

最大化投入方案必是成本最小化投入方案。解的最大化是一致的。产量水平的问题，从而解决要素需求和产品供给的决定问题。润函数。利润最大化的这一特点虽然条件看上去简单，但涵义却常常出奇地有力。(二)利润最大化与要素需求则，要素的最有雇用量得以确定。于是，利润最大化问题变成为厂商希望雇用多少要素进行生产，以获得最大的利润。1．要素需求为竞争性厂商。现在这个方面。比如，购买厂商产品的消费者可能只愿意按某一价格支付某一数量的产品，

诸多次要因素的存在而掩盖事物的本质，不利于我们揭示厂商追求利润最大化行为的规律。

最大化问题简化成为厂商如何组织投入以使利润达到最大。需求向量，也称为均衡投入向量(方案)个分量函数称为厂商的要素需求函数。2.要素需求的决定条件从本章第五节的讨论知，利润最大化的一阶条件是：。这个方程就是利润最大化边际方程，(valueofmarginalproduct)本，记作。一阶条件告诉我们，厂商使用生产要素的原则是：要求要素的边际产品价值(即要素的边际收益)等于要素的边际成本。当一种要素的边际产品价值大于这种要素的边际成本时，增加边际成本的原则来确定的。即就是要素的需求决定条件。于二阶连续可微的多元函数来说，如果它在一点处取得极大(极小)阶导数矩阵半负定(半正定)阶导数矩阵负定(正定)，那么它必然在该点处取得极大(极小)二阶必要条件和充分条件可分别表述如下：海森矩阵半负定。即。(半)负定当且仅当(半)负定。这样，在利润最大化二阶条件中阶充分条件。切线由于矩阵负定(正定)的充分必要条件是该矩阵是半负定(正定)阶和二阶必要条件的基础上再加上海森矩阵的非奇异要求。图6-8海森矩阵的半负定性从几何上看，利润最大化投入方案处生产函数的海森军阵的半负定性是说生产函数曲线(曲面)在该点附近局部凹，即位于切线(切平面)的下方(如图6-8所示)。3.直接利润函数利润函数的概念还可以扩大。实际上，是通过投入方案和产量来确定的，只不过由来确定。量限制在集合(的图像)做直接利润函数，空间叫做投入产出空间，其中的每一个向量都代表着一个投入产出过程。直接利润函数正是投入产出过程的利润函数。(没有达到应有的产量)(曲面)代表着技术有效性，是技术有效投入产出过程的全体。等利润线图6-9利润最大化的几何意义利润最大化投入方案处生产函数曲线的切线就是等利润6-9所示。这条等利润曲线的方程是：。既然利润最大化投入方案处生产函数曲线的切线的方程是，因而在轴方向上的切线斜率为，即为要素的价格与产品价格之比。4.间接利润函数和产品价格所确定的：同市场价格体系之间的一种对应关系。我们把这种对应关系称为厂商的间接利润函数。厂商利润水平情况。它类似于消费者理论中的间接效用函数，在经济分析中相当重要。(三)利润最大化与产品供给现在，我们从产出角度来看利润最大化，从而引出产品供给。1．产品供给的原则从产出角度看利润最大化，那么利润最大化一阶条件还可写成：益等于产品的边际成本。加这一单位产品所需的增加的成本。2．产品供给函数在既定的价格体系下，厂商按照“边际收益等于边际成本原则确定的产量水平，称为厂商

系，称这种对应关系为厂商的产品供给函数。显然，产品供给同要素需求之间的关系为：间接利润函数同产品供给和要素需求之间的关系为：在既定的价格体系下，点正是等利润线和生产函数曲线的切点(如图6-9所示)厂商在价格体系下的均衡。3．从成本最小化角度看利润最大化利用上一节中讨论的成本函数，也能给出确定产品供给(利润最大化)的一阶和二阶条件。实际上，在既定的价格体系下，最大利润可写成：润最大化的一阶条件是：品产量是有益的；如果产品的边际收益小于产品的边际成本，那么减少产品产量是有益的。

利润。这便是决定产品供给的一阶条件。再来分析二阶条件。根据极大值的二阶必要条件知，厂商实现利润最大化的二阶必要条件

要条件。件。从几何上看，二阶条件说明在利润最大化产量处，成本函数是“局部凸的，即在附近成本曲线位于该点处的切线上方(如图6-10所示)。下面，我们来解释利润最大化产量处成本曲线的切线的意义。图6-10等利润线与等成本线上方的点所代表的产出成本方案。为(产品价格)，这正是成本曲线在利润最大化产出成本点处切线的斜率(因为按照一阶条)(这里)相切的地方实现的(如图6-10所示)。(四)利润最大化的长期条件厂商的行为，向这个厂商学习，于是最终各个厂商获得相同的长期利润。此同行业内所有厂商的长期利润都相等。业的产品供给分别等于单个厂商的要素需求和产品供给乘以行业内厂商的总个数。竞争市场上厂商的长期经济利润为零。(五)要素需求与产品供给的性质和函数必然具有某些特殊性质。性质1.要素需求函数与产品供给函数都是价格的零阶齐次函数。这是因为，对于任何实数，在要素空间中的最大值点与在要素空间中的最大值点相同(尽管最大值不同)，因而要素需求映射是零阶齐次的。又由于，因此要素供给函数也是零阶齐次的。和对产品的供给量发生了变化，那么我们不得不说该厂商没有实现最大利润。性质1知道价格的一般变化(尤其是相对变化)射和产品供给函数代入到一阶条件中，得到下面的恒等式组：在这些恒等式的等号两边求微分可得：写成矩阵形式：，即。其中从利润最大化二阶条件知，是对称的半负定矩阵。假定非奇异(作出这个假定，主要是为了求逆矩阵)。于是，是负定矩阵。用表示的逆矩阵，即。我们可得到：。由此可知，从而即，其中。称为要素对要素$的价格效应。替代矩阵也是对称的负定矩阵。这一事实蕴含着好几个重要的结论，现叙述如下。

性质2.要素对要素的价格效应等于要素对要素的价格效应，即

这是从替代矩阵的对称性得到的。性质3.动关系，要素需求曲线向右下方倾斜，即。同全部要素价格之间的反向变动关系，即下面的性质4．性质4.这里“”表示向量的内积。相反，性质4得证。也可以这样证明：要素价格从变到，要素需求便从变到。既然保持了利润最大化，于是且。前一式减去后一式便得到，即。这说明要素需求同要素价格之间呈反向变动关系。性质5.线向右上方倾斜，产品供给曲线的斜率。产品供应量同产品价格反向变动，性质5得证。这说明产品供给量与产品价格之间呈同向变动关系。性质6.即。证明：要素需求同产品供给之间具有关系：。由此可得：三、间接利润函数的性质的特性，对于进一步认识利润最大化行为是很有用的。我们回忆一下间接利润函数的定义：。性质1.性质1得证。性质2.间接利润函数是价格的一阶齐次函数。商的资本积累。性质3.间接利润函数是凸函数，即对任何价格体系和以及任何实数，都有。,。于是这就证明了性质3。期的利润确定了整个时期内厂商的平均利润水平。要素需求量之做法要好，利润将会来得不少。生产要素质支付报酬，同时可以按照加权平均价格来出售产品。因此，这个赌博是公平的。润最大化，厂商很可能要参加赌博。性质4.间接利润函数是连续函数。(即利润函数)是连续的。由于是任意给定的，因此间接利润函数在定义域中的任何点处都是连续的。性质5.,记,。则，并且对于任何价格体系都成立。令，则对一切价格体系成立，且。所以，是函数的最小值点。按照极值一阶条件，我们有：且，这就证明了性质5。还可以直接从和出发，应用前面已经得到的性质和事实(特别是关于替代矩阵)证明性质5。具体如下。，计算间接利润函数的偏导数，我们有：因此，性质5再次得证。这条性质的一个含义是，要素需求函数和产品供给函数都可以通过间接利润函数得以确定，只需要对间接利润函数求一阶导数。由于要素需求函数对要素价格的导数矩阵是替代矩阵，

第八节多种产品的生产面，厂商会不断开发新产品；另一方面，厂商会进行多种产品的生产经营。即使同一产品，生产活动的一般理论。一、技术约束任何企业的生产活动，都表现为投入一定数量的若干种生产要素，由厂商进行具体的生产，得到一定数量的若干产品，然后将产品通过市场销售出去，以宣告本次生产的终结。为了不给讨论增添更多的困难，我们假定厂投产品的产商是竞争性厂商，是价格的接受者，产品销售问题无需考虑，销入具体生产出路畅通。这样对生产活动的分析，就可将市场销售分析这一块暂或加工时去掉。况且，销售分析是市场营销学这一经济管理专门学问所6-11来图6-11生产过程与技术刻画。图中的“大盒子”代表着生产技术，决定着生产的具体技术环节。然而对这个具体的技术环节的研究，属于技术范畴，不在经济学的研究范围之内。经济学把这个“大盒子”视为既定前提，看作是技术给生产者带来的约束和限制。(一)生产过程的表示否组织得很“经济，是否很有经济效率。略去具体生产环节的考虑，把注意力集中在投入生产过程＝(投入，产出)。过程可表示成：。于这类商品，投入使用于生产之中时是生产要素，而在生产结束时又应当把它们产出看待。中间产品。要素与产品有所重叠，计算时便会出现重复计算问题。素看待的投入量大于或等于作为产品看待的产出量(如果折旧，那么投入量就大于产出量)。对于中间产品，作为要素看待时的投入量等于作为产品看待时的产出量。假设生产涉及到的商品总共有种(这个可能会小于，因为种要素和种产品可能会有重叠)示，并且这样的表示避免了重复计算。及到的商品总共有种。着净产量；当时，表明商品为这个生产过程的投入品，代表着生产过程对要素的净消耗量，即净投入量(当要素为非消耗性要素时，就表示折旧量)。当时，表明商品要么为中间产品，要么既不是生产过程的产品，又不是生产过程的投入品。(二)生产集合生产者的技术水平则由生产集合来反映。生产集合划定了技术允许的所有生产过程。1．技术可行性行生产过程的净产出向量所构成的集合，称为厂商的生产集合，用表示之。是不同的。例1（单一产品情形的生产集合）假定厂商用种生产要素生产单一的一种产品，生产函数为。把种生产要素从1到进行编号，并给产品编号,记。生产过程才是技术可行的。因此，该厂商的生产集合可写成(如图6-12所示)：例2（两种产品情形的生产集合）合可写成(如图6-13所示)：在这个例子中，原来的生产函数概念已经上升为生产集映——的最大产出是一个集合：如果按照如下方式定义向量与集合之间的顺序关系“”：那么如上的生产集合便可更加直观地表示成为：从而的表达方式与单产品情形生产集合的表达方式相似。图6-12单一产品的生产集合图6-13两种产品的生产集合2．生产集合的性质及技术有效性按照常规，生产集合应该具有如下一些性质。(1)是商品空间的子集。(2)生产技术是单调的，即对任何及，若，则。(3)产品不能无中生有，即(这里，表示零向量)。(4)生产过程不可逆，即(这里)。而且，那么从技术上看，代表的生产比代表的生产要好，更有效，因为的投入少、产出多，技术有效生产过程的净产出方案的全体，称为生产可能性前沿(ProductionFrontier)称为生产可能性曲面(曲线)把生产安排在生产可能性前沿之上，否则就存在着浪费。能性前沿就是有效投入区。即不成立。例3（的事例）于是，该厂商的生产集合为：对于这个厂商来说，当要素投入量达到20个单位时，总产量达到最大。如果再增加投入，上给出的生产集合应作修改，使其成为：修改前，的边界修改后，的边界如上对生产集合的修改，并不影响生产者的生产可修改后的能性前沿。修改前后，的生产可能性前沿都是集20(如修改前的图6-14所示)。-20(三)生产函数概念的扩大图6-14生产可能性前沿理性生产者总是要把生产安排在生产可能性前沿之在技术有效方案之上。是一条曲线或一张曲面。当然，人们期望能够写出该曲面(曲线)要，用可完全确定技术有效的净产出向量。这种能够满足条件的函数，就叫做厂商的(一般)生产函数。方案技术有效当且仅当，这里。的一般定义是合适的。定义(生产函数)．设厂商的生产集合为，是定义在空间上的一个实值函数。如果满足下面两个条件：(1)对于任何的净产出向量，技术有效当且仅当；(2)对于任何的净产出向量，技术可行当且仅当。则称是厂商的(一般)生产函数。数有什么优越性。所以，人们常常对生产函数提出如下要求：假设DPF(光滑性)．生产函数二阶连续可微，并且在任何技术有效点处的各个一阶偏导数不会同时全为零。3告诉我们，生产集合边界上允许非技(1)和(2)中增加一些对净产出向量的限制条件，比如按照实际经假设DPF技术有效点及任何，若，则必然有；若，则又有。由此可知。使用假设DPF合是闭集。一起来，用边际转换率加以表达。所谓商品与商品之间的边际转换率

(MarginalRateofTransformation)(减少)(增加)的商品

的数量。用表示技术有效点处商品对商品的边际转换率。(减少)了个单位。为了保证技术有效性不变所需减少(增加)的商品的数量为，其余商品的数量均保持未变。于是，商品对商品的边际转换率，并且。从而即商品对商品的边际转换率等于生产函数的相应的偏导数之比。二、技术的有关特点现在，我们来分析生产技术上存在的一些比较普遍的特点。(一)技术的规模特点规模报酬递增、规模报酬不变和规模报酬递减。下面来分别讨论。1.规模报酬递增即也是技术可行的。可见，规模报酬递增这一技术特点可以表达成为：。2.规模报酬递减加。规模，只可缩小规模。这样的一种规模报酬变化情况在生产技术$Y$上表现为：对任何的及(即所有投入)可以表述成为：。3.规模报酬不变说明了规模缩小的倍数等于产出缩小的倍数。于是，规模报酬不变可以用生产集合表达成

为：。齐次性等价于的齐次性。(二)凸技术与可加技术1.凸技术如果厂商的生产集合是商品空间的凸子集，即那么就说该厂商的技术是凸技术。因而厂商不愿意按照去生产。怎么办呢？最好的办法就是采取加权平均法，选择一个权数，小了，让厂商能够在前期为后期生产早作准备，因而压力负担也变得相对较小。从几何上看，由于生产集合和其生产可能性前沿之间具有关系：因此，为凸集等价于说生产可能性前沿是一张凸曲面(凸向原点)技术等价于生产函数的海森矩阵在各个技术有效点处都是半正定的(对任何及任何，都有)。数。凸技术意味着规模报酬递减。这是因为，对任何及，既然，因此。这说明规模报酬递减。大规模的正常生产阶段，因而已从再扩大规模中得不任何好处了。所以，凸技术将企业的“启动成本和规模报酬递增阶段给排除了。对于全面研究企业生产活动来说，采用凸技术理的，并受到许多其他观点的支持。2.可加技术加技术，是指。月的总净产出为。考虑的时期内两种生产过程无法同时进行时(这里的“同时”不需要严格同时同刻，可以在所考虑时期内分个先后次序，比如分为前半期和后半期)，这两种生产过程就不能加起来，因而可加性不能成立。比如若两种生产方案都需要使用2020公顷土地可供使用时，把两种生产过程加起来就需要40公顷土地，从而超出了技术上的可行性范围。所以，使用可加性要特别小心。(三)线性技术Lèontief式：(维)投入列向量，表示(维)产出列向量，表示系数矩阵，则该生产技术可表示为：，即线性技术是凸技术。这是因为，对任何投入列向量和，产出列向量和，及任何实数，若且，则。任何实数，若，则。有十分广泛的用途。三、利润最大化与净供给地处于利润最大化(即均衡)润最大化，如何确定它的净供给()，以及净供给如何随价格的变化而变化(即比较静态分析)的问题。(一)利润最大化生产集合中的向量都是净产出向量，于是在价格体系下，生产过程的利润(即净收入)商的最大利润是。如果是使厂商获得最大利润的生产方案，即，就称是厂商在价格体系下的均衡(向量)求量，又表达了对各种产品的供给量。为了讨论上的方便，假定净供给向量存在且唯一。的净供给函数。在生产技术下，最大利润同价格体系之间的关系，称为厂商的利润函数(单一产品情形，就是厂商的间接利润函数)。商品空间中利润相同的净产出向量构成的集合，称为厂商的等利润面(线)(线)相切的地方实现的。1.实现利润最大化的条件厂商的利润最大化生产过程(即均衡)术有效的。利润最大化生产过程(即均衡)问题，因而可用拉格朗日乘数法求解。一