三点抗弯强度

第18讲教学方案——弯曲切应力、弯曲强度条件基本内容梁横力弯曲时横截面上的切应力教学目的1、掌握各种形状截面梁（矩形、圆形、圆环形、工字形）横截面上切应力的分布和计算。2、熟练弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计算。3、了解什么情况下需要对梁的弯曲切应力进行强度校核。重点、难点本节重点：矩形截面梁的切应力、弯曲强度条件及计算。本节难点：掌握需要对梁弯曲切应力进行强度校核的各种情〉兄。§7-3弯曲切应力梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力.，又有剪应力j但一般情况下，剪应力对梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的剪应力，不再用变形、物理和静力关系进行推导，而是在承认正应力公式（6-2）仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。1.矩形截面梁对于图6-5所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力。。现分析距中性轴z为y的横线。匕上的剪应力分布情况。根据剪应力成对定理，横线口七两端的剪应力必与截面两侧边相切，即与剪力Q的方向一致。由于对称的关系，横线1气中点处的剪应力也必与Q的方向相同。根据这三点剪应力的方向，可以设想aa1线上各点剪应力的方向皆平行于剪力。。又因截面高度h大于宽度^剪应力的数值沿横线aa1不可能有太大变化，可以认为是均匀分布的。基于上述分析，可作如下假设：1）横截面上任一点处的剪应力方向均平行于剪力。。2）剪应力沿截面宽度均匀分布。基于上述假定得到的解，与精确解相比有足够的精确度。从图6-6a的横弯梁中截出dx微段，其左右截面上的内力如图6-6b所示。梁的横截面尺寸如图6-6c所示，现欲求距中性轴z为y的横线aa1处的剪应力T。过aa1用平行于中性层的纵截面aa1气自dx微段中截出一微块（图6-6d）。。根据剪应力成对定理，微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力t'。微块左右侧面上正应力的合力分别为N1和N2，其中―tdA———S*(a)N1=L[dA=A*A*乙乙

―tdA———S*(a)N」。办=j（M+竺）七办=（M+伽）S*（b）2A*匕匕'式中，A*为微块的侧面面积，气。J」为面积A*中距中性轴为y处的正应力，式中，A*为微块的侧面面积，气。J」为面积A*中距中性轴为y处的正应力，S*=jydA。1z1A*由微块沿x方向的平衡条件EX=0，得-N1+N2-x'bdx=0（c）将式（a）和式小）代入式（c），得dMS*

dxbl图6-7舞形截面翦成力的分布dM,

因=Q具=t，dx故求得横截面上距中性轴为y处横线上各点的剪应力t为QS*zb（6-3）式（6-3）也适用于其它截面形式的梁。式中，Q为截面上的剪力；I为整个截面对中性轴z的惯性矩；b为横截面在所求应力点处的宽度；S*为面积A*对中性轴的静矩。对于矩形截面梁（图6-7），可取dA=bdy1，于£这样，式（6-3）可写成上式表明，沿截面高度剪应力t按抛物线规律变化（图6-7b）。在截面上、下边缘处，y=±^,t=0；在中性轴上，z=0，剪应力值最大，其值为3Q、

t=（6-4）

max2A式中A=bh,即矩形截面梁的最大剪应力是其平均剪应力的3,2倍。2.圆形截面梁在圆形截面上（图6-8），任一平行于中性轴的横线aa两端处，剪应力的方向必切于圆周，并相交于y轴上的c点。因此1，横线上各点剪应力方向是变化的。但在中性轴上各点剪应力的方向皆平行于剪力Q，设为均匀分布，其值为最大。由式（6-3）求得T=4Q(6-5)max3A兀-一---式中A=丁d2，即圆截面的最大剪应力为其平均剪应力4的43倍。3.工字形截面梁工字形截面梁由腹板和翼缘组成。式(6-3)的计算结果表明，在翼缘上剪应力很小，在腹板上剪应力沿腹板高度按抛物线规律变化，如图6-9所示。最大剪应力在中性轴上，其值为式中(S*)为中性轴一侧截面面积对中性轴的静矩。对于轧制的工字钢，式中的V可以从型钢表中(s*)

zmax查得。计算结果表明，腹板承担的剪力约为(0.95~0.97)Q，因此也可用下式计算t的近max似值式中h［为腹板的高度，d为腹板的宽度。§7-4弯曲强度计算根据前节的分析，对细长梁进行强度计算时，主要考虑弯矩的影响，因截面上的最大正应力作用点处，弯曲剪应力为零，故该点为单向应力状态。为保证梁的安全，梁的最大正应力点应满足强度条件bmax=max―maxbmax=max―maxIz式中［b］为材料的许用应力。对于等截面直梁，若材料的拉、压强度相等，则最大弯矩的所在面称为危险面，危险面上距中性轴最远的点称为危险点。此时强度条件（6-6）可表达为bmaxbmax『＜”](6-7)z式中IWIW——

zymax（6-8）称为抗弯截面系数（或抗弯截面模量），其量纲为［长度］3。国际单位用m3或mm3。对于宽度为b、高度为h的矩形截面，抗弯截面系数为（6-9）直径为d的圆截面，抗弯截面系数为n——d4n——d4w=七nd332（6-10）内径为d，外径为D的空心圆截面，抗弯截面系数为翌(-a4)，aD（6-11）nD翌(-a4)，aD（6-11）轧制型钢（工字钢、槽钢等）的wz可从型钢表中查得。对于由脆性材料制成的梁，由于其抗拉强度和抗压强度相差甚大，所以要对最大拉应力点和最大压应力点分别进行校核。根据式（6-7），可以解决三类强度问题，即强度校核，截面设计和许用载荷计算。需要指出的是，对于某些特殊情形，如梁的跨度较小或载荷靠近支座时，焊接或铆接的壁薄截面梁，或梁沿某一方向的抗剪能力较差（木梁的顺纹方向，胶合梁的胶合层）等，还需进行弯曲剪应力强度校核。等截面直梁的tmax一般发生在|