函数、极限、连续重要概念公式定理

一、函数、极限、连续重要概念公式定理（一）数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义：给定数列xn,如果存在常数A,对任给0,存在正整数NnN时,恒有nnA,则称A是数列xn的当n趋于无穷时的极限,或称数列xn收敛于A,记为mnA.若nxn的极限不存在,则称数列xn发散.收敛数列的性质：n唯一性：若数列xnmnAnn有界性：若mnA则数列xn有界,即存在M0,使得对n均有nM.nn局部保号性：xnAA0A0NnNxn0或xn0.(4AAn名称当名称当xx0时,fxA为极限表达式任给存在当…时恒有limfxxxA000xx00fxA时,A为极限fx以limfxAx0X0xXfxA0时,A为右极限fxlimf0xA000xdeff0xx0fxA0时,A为左极限fxlimf0defxA000xxx00fxA当时,以A为极限fxlimfxdeffxA0X0xXfxA当x时,A为极限fx以limfxdeffxA0X0xXfxA（三）函数极限存在判别法 (忆)xx海涅定理：mfxAxn0n0,nxx0

,都有

nf x nn充要条件：(1limf(x)A0xx0 x0

fxlimxx

fxA;(2)limf(x)Alimf(x)limf(x)A.x x x柯西准则：f xA对任意给定的0,存在0xx0010,020时,有f1f2.4.夹逼准则：若存在00x0时,有（x)f(x)(x),且m(x)m(x),xx0 xx0则limf(x)A.xx0x5.单调有界准则：1,x2,1x2,有f1f2(或f1fx2M,使fxM(或fxM),则fx（四）无穷小量的比较 (重点记忆)(x)0,limx)0.若lim(x)0,则称(x)（x)高阶的无穷小量.(x)若m(x),则(x是比（x).(x)若m(x)c(c0),则称(x与（x)是同阶无穷小量.(x)若m(x),(xx,记为(x)(x).(x)若

(x)c(c0),k,则称(x是（x的k阶无穷小量k(x)常用的等价无穷小量 (命题重点,考)当x0时,sinx arcsinx112tanx ~x,1x~2xarctanxx (1x)1~x是实常数xln(1 )ex1 （五）重要定理 (必记内,理解掌握)xx定理1 f(x)Af(x0)f(x0)Axx02f(xAf(xAa(x其中a(x0.xx0 xx0定理3 (保号定理)：设f(x)AA个0,当xx0x(x0,x0),且xx0时，f(x)0(或f(x)0).定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限.定理5 夹逼定理：设在x0的领域内,恒有（x)f(x)(x)且lim(x)lim(x)A,则limf(x)A．xx0 xx0 xx0定理6 无穷小量的性质：(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量;(2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量;(3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量．定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量．定理8 极限的运算法则：设fxA,limgxB,则f(x)g(x))ABf(x)g(x)ABlimf(x)A(B0)g(x) B定理9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限．定理10 定义域的区间内连续．定理11 设fx连续,则fx也连续．（六）重要公式 (重点记忆内容,备)x1x0 x1x)x

1)ne.(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式：设x0

nsinfx 1limfx0,且fx0则有lim

fx

1,m1fxfxe)nmax aax axn0n11an1xanbx bxm0m11bm1xbm

0,nm．x b0, nm(4)函数fx在xx0处连续fx0fx0fx0.(5)当x时,以下各函数趋于的速度lnx,xa0,ax(axx速度由慢到快

lnn,na0,an(an!,nn速度由慢到快(6)几个常用极限

nnna0nn

1,limarctanxn

n x 2limarctanx

limarccotx0,limarccotxx

2x

xexex,xx1.x

x x0（七）连续函数的概念fxxx0处连续,需满足三个条件：①fx在点x0的某个领域内有定义②fx当xx0时的极限存在③mfxf0mymf0xfx00.xx0 x0 xx0xxfx在x0左连续：fx0,0mfxf0xx0xxfx在x0右连续：fx0,0mfxf0xx0fxab内连续：如果fx在ab内点点连续．fx在b内连续：如果fx在ab内连续,且左端点xaxb处左连续．（八）连续函数在闭区间上的性质 重点记忆内容)有界性定理：设函数fxb上连续,则fx在b上有界,即M0,对任意的xa,b,恒有fxM．最大最小值定理：设函数fx在b上连续,则在b上fx至少取得最大值与最小值各一次,即,使得：axb axbfa,b; faxb axb若函数fx在b是介于fa与fbMm)之间的任一实数,则在b上至少一个,使得f. b．零点定理：设函数fxb上连续,且fafb0,则在ab内至少一个,使得f0b.（九）连续函数有关定理连续函数的四则运算：连续函数的和、差、积、商(分母在连续点处的数值不为零)仍为连续函数．反函数的连续性：单值、单调增加(减少)的连续函数,其反函数在对应区间上也单值、单调增加(减少)且连续．uxx00u0yfuu0连续,则复合函数yfxx0连续．初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内是连续函数．（十）间断点的定义与分类0 0 0 1．定义：若在xx处,x不存在,或fx 无定义,或limfxfx ,则称f x在x0 0 0 可去条件第一型间断点fx0可去条件第一型间断点fx0fx0fx