专题18 恒成立问题

专题18恒成立问题-最值分析法【热点聚焦与扩展】不等式恒成立问题常见处理方法：①分离参数aZfG）恒成立（a>fG）可）或a<fG）恒成立max（a<f（x）min即可）；②数形结合（y=f（x）图象在y=g（x）上方即可）；③最值法：讨论最值f（x）min>0或f（工1宓<0恒成立；④讨论参数.最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题.此方法考查学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功.是函数与导数中的难点问题，下面通过典型例题总结此类问题的解v----最值分析法.1、最值法的特点：（1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参（2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响一一可能经历分类讨论2、理论基础：设f（x）的定义域为D（1）若VxeD，均有fG）<C（其中C为常数），则f（x）<C（2）若VxeD，均有f（%）zC（其中C为常数），则f（x）mm>C3、技巧与方法：（1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作：观察函数f（x）的零点是否便于猜出（注意边界点的值）缩小参数与自变量的范围：通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析）观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围（2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号.（3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点

的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内【经典例题】一1例1.(2020•安徽高三三模)已知函数f(x)=m(x-1)ex+x2(meR)，其导函数为fG)，若对任意的x<0，不等式x2+(m+1)x>fr(x)恒成立，则实数m的取值范围为()A.(0，1)B.(-8,0)C.(—8』］D.(1,+8)【答案】Cmxex+x【解析】由题意得f，(x)=mex+m(x-1)ex+x=所以x2+(m+1)x>f(x)对任意的x<0恒成立等价于mxex+x<x2+(m+1)x对任意的x<0恒成立，即mex一x一m>0对任意的x<mxex+x令g(令g(x)=mex一x一m(x<0)则gf(x)=mex-1当m<1时，g(x)=mex—1<ex-1<0，则g(x)在(-8,0)上单调递减，所以g(x)>g(0)=0符合题意；当m1时g(x)在(—8,—lnm)上单调递减，在(—lnm,0)上单调递增，>所以g(x).=g(—Inm)<g(0)=0，不合题意.所以实数m的取值范围为(-8，1］.故选：C例2.(2020・柳州高级中学高三三模)如果关于x的不等式^3-ax2+1>0在［-1，1］恒成立，则实数a的取值范围是()A.a<0B.a<lC.a<2D.a<啤【答案】A【解析】当x=0时，不等式成立，aeR当x。0时关于x的不等式x3-ax2+1>0在xe［—1,0)(。,1］恒成立，即白<x+—在xe[—1,0)(0,1]恒成立，x2令g(x)=x+—,grQ)=1-一=0mA.a<0B.a<lC.a<2D.a<啤所以gG)在［t,o)递增，在(°』］递减当e［-1,0)时，g.(x)=g(-1)=0mm当xg(0,1］时，g(i)=g(l)=2min所以gG)的最小值为o.所以。vo故选：A例3.(2020-M南平顶山•高三三模)已知函数/G)=x-ln(x+l)对工日0,+8)有fG)〈奴2成立，贝"的最小值为()TOC\o"1-5"\h\zeA.1B.—C.eD,—2【答案】B【解析】由题意，函数/G)=^-ln(x+l)对券[0,+8)有f(x)<te成立,当上<。时，取工=1时，可得f(1)=1—ln2>0,所以k<Q不符合题意，舍去;11-X'［2kx-(l-2k)］TOC\o"1-5"\h\z则gbJ=l——-2kx=—),X+1X+1令g'G)=。，可得X=0或X=1^>—1,1z2kl-2k(\(1)当12—时,则—<0,则grU；<0在［0,+8)上恒成立，2k因此gG)在［。,+8)单调减，从而对任意xe［0,+oo),总有g(x)<g(o)=o,即对任意e[0,+00),都有f(x)<kx2成立，所以k>^~符合题意；(2)当0<k<L时，上了>0,对于xe(0,y^),g'G)>0,因此gG)在(。，二|^)内单调递增,22k2k2k所以当工6(0,二|^)时，g(x)>g(0)=0，即存在f(x)<kx2不成立，2k000

所以0<k<1不符合题意，舍去，2综上可得，实数k的取值范围是k>1，即实数k的最小值为1故选：B.例4.(2020.定远县育才学校高三三模)已知函数f(x)=alnx—2x，若不等式f(x+1)>f(exx6(1,+8)上恒成立，则实数a的取值范围是()A.a<2b.a>2c.a<0d.0<a<2【答案】A［解析］设g(x)=ex—x—1,贝gg'(x)=ex—1，当x>0时gf(x)=ex—1>e0—1=0所以g(x)=ex—x—1在(0,中)上递增，得g(x)>g(0)=e0—0—1=0,所以当x>0时，1<x+1<ex恒成立.上恒成立，得函数f(x)在(1,+8)上递减若不等式f(x+1)>f(ex)在xG(1,+8)即当x>1时，f'(x)<0恒成立，所以f上恒成立，得函数f(x)在(1,+8)上递减xa即_<2，可得a<2x(x>1)恒成立，因为2x>2，所以a<2x故选A例5.(2020•全国高三三模)不等式ex—e-x>ax对于任意正实数x恒成立，则实数a的取值范围是【答案】(—8,2】【解析】由不等式ex-e-x>ax对于任意正实数x恒成立，令f(x)=ex—e—x—ax(x>0令f(x)=ex—e—x—ax(x>0)，求导得ff(x)=ex+e—x—a当a<2时，f，(x)>0，所以f(x)在区间(0,十8)上是增函数，又f(。)=0，所以f(x)>0当a>2时，因为f'(x)是增函数，所以f'(x)=0有唯一正数解，设为x0所以在区间(0,x0)上，f(x)<0，f(x)是减函数，所以在(0/。)上，f(x)</(。)=。，不合题意.综上所述，实数a的取值范围是(-8,2］例6.(2020•宁夏银川一中三模)对于任意实数x,x,当。<x<x<e时，有xlnx-xInx>ax—axTOC\o"1-5"\h\z1212122121恒成立，则实数a的取值范围为.【答案】a<0【解析】当0<x<x<e时，xlnx-xInx>ax-ax恒成立等价于皿%+a>ln气+a恒成立，12122121xx/、lnx+a等价于g(x)=在(0,e)上单调递增，x!•x—lnx-a一一一所以g'(x)=w=1-lnx-a〉0在(0,e)上恒成立，x2x2所以a<1-lnx在(0,e)上恒成立，因为当xg(0,e)时，1-lnx〉1-lne=0所以a<0.故答案为：a<0.例7.(2020•江苏南京•高三三模)若对任意aG［e，+8)(e为自然对数的底数)，不等式x<eax+人对任意xGR恒成立，则实数b的取值范围为【答案】［-2，+8)【解析】当x<0时，显然成立，bgR当x>0时，VaG[e,+8)，x<eax+bnlnx<ax+bnb〉lnx一ex1—ex令f(x)=lnx—ex，则f(x)=x„1易知：当0<x<时，f(x)>0，f(x)递增，e当x>-时，f‘(x)V0，f(x)递减，e1、-..・f(x)=f(一)=-2，故b〉-2maxe综上，实数b的取值范围为［-2，+8).故答案为：［-2，+8).例8.(2020・河南南阳中学高三三模)已知函数f(x)=lnx—a—x2，g(x)=2x-2，若对VxgR，总有x/W<。或g⑴<。成立，则实数Q的取值范围为.【答案】。〉一1【解析】由g(x)=2x-2<0,得工<1,故依题只须对任意尤1,JW<0恒成立，lnx-—<x2xlnx-a<:.a>xlnx-x^,其中xe[1,+oo),•,-只须a>(xlnx一X3).令h(x)=xlnx-X3,maxh\x)=1+Inx-3x2,h'(1)=—2,/2^(x)=--6x=1~6x2<0,h'(x)在(L+8)单调递减，h\x)<h'(1)<0,.-.h(x)在[1,+3)单调递减,h(x)<h(1)=一1,a>—1.故答案为：">—1【精选精练】(2020-重庆高三三模)已知函数f(x)=-31nx+ax2+bx(a>Q,bcR),若对任意工>。都有f(x)>f(3)成立，则()A.ln«>-b-lB.Ina>-b-lC.lna<-b-ld.]na<-b-l【答案】D【解析】若对任意工〉。都有fG)2f(3)成立，则说明函数在x=3时取得最小值.对函数f(x)求导得ff(x)=--+2ax+b,则应满足广(3)=。，即b=-6a^l,构造函数g(.a)=lna-(-b-l)=lna-(^a-2),则g,(x)=--6=^—^,当ag(0,-)时，g'(。)〉。，函数TOC\o"1-5"\h\zaa6g(。)递增，当勇(!，1)时，g'(Q)<。，函数g(。)递减，所以当时，函数g(。)取得最大值为66g(-)=lni+l=l-ln6<0,所以g(Q)<。恒成立，即1hq<6q—2,111。<一/?一1恒成立，故选D.66(2020-M北邢台•高三三模)若函数f{x)=e^+mx-m在【0,1]上为减函数，则刀的取值范围为()A.(-8,-1_|B.(-8,-2」C.(-8,-g2D.(S,-2e2【答案】D【解析】f(x)=e^x+mx-m,f'{x)=2e2x+m.由于函数f(x)=e^^mx-m在［。,1］上为减函数，则不等式f'G)<0在区间［。,1］上恒成立，且函数>=rG)在区间［。,i］上单调递增，所以，f'G)=f，(l)=2e2+m<0,解得m<-2e2.max因此，实数秫的取值范围是•故选：D.3.（2020-青海西宁•高三三模）若不等式2xlnxN—x2+ax—3对xE（0,+8）恒成立，则实数a的取值范围是（）A.（一8,0）B.（一8,4］C.（0,+°°）D.［4,+°°）【答案】B【解析】由题意2xlnx>-%2+ax-3对尤e（0,+co）上恒成立匚所以］<x+21nx+—,x>0在尤c（0,+co）上恒成立匚Xci3八123+2x—3设y=x2lnx+_则y=l+__—=□.XX尤2X2由矿=°,得气=—3,气=I口当XG(0,l)时，矿<0,当xg(I,+00)时，yf>0n所以X=l时，>min=l+0+3=4,所以。<4匚即实数。的取值范围是(一8,4］.4.(2020-河南三模)已知函数f(x)=2x-lnx-er-i,若不等式f(x)<m-l对任意xe(l,+oo)恒成立,则实数秫的取值范围是()D.（2,+8）A.［g,+8)D.（2,+8）【答案】C

【解析】因为不等式f（x）<m-1对任意x£（L+8）恒成立，所以m>2x+1-lnx一ex-1对任意x£（L+8）恒成立，设g(x)=2x+1-Inx-ex-1,x>1则g'(x)=2--一ex-1.x设h(x)=2-L-ex-1x则hf(x)=-!--ex-1x2因为h'(x)在x£(1，+8)上单调递减，所以h(x)<h(1)=0则g'(x)在x£(1,+8)上单调递减，所以g'(x)<g'(1)=0所以g(x)在x£(1,+8)上单调递减，所以g(x)<g(1)=2解得m>2所以m的取值范围是［2,+8）.故选：C则a的取值5.（2020-四川省泸县第四中学高三三模）若对任意x£（0,+8）,xex一2lnx>2x+a恒成立,范围是()A.(-8,-2ln2)b.(-8,ln2)C.(-8,2—2ln2)d.(-8,2+2ln2)【答案】C【解析】设f(x)=xex一2lnx-2x则f（x）>a对任意x£（0,+8）恒成立，设t=lnx+x，则t£R，且f(x)=et-2t设g(t)=0-2t，则g'(t)=0-2所以g(t)在(—gln2)上是减函数，在(ln2,+3)上是增函数，所以g(t)>g(ln2)=2—2ln2所以g(t)的最小值为2—2ln2，即f则a的取值【解析】设f(x)=xex一2lnx-2x则f（x）>a对任意x£（0,+8）恒成立，(2020-江苏泰州中学高三三模)若关于x的不等式x3—3x2+ax+b<0对任意的实数xe［1,3］及任意的实数be［2,4］恒成立，则实数a的取值范围是【答案】(—3,—2)【解析】关于x的不等式x3—3x2+ax+b<0对任意的实数xe［1,3］及任意的实数be［2,4］恒成立，等价于4x3—3x2+ax<—4对任意的实数xe［1,3］恒成立，即a<—x2+3x—在xe［1,3］恒成立，设x44(2—x)(2x2+x+2)g(x)=—x2+3x—一，贝Igf(x)=—2x+3+一=xx2x2令g'(x)>0，得1<x<2，令g'(x)<0，得2<x<34所以g⑴在(1,2)递增，在(2,3)递减，又g⑴=—2,g⑶=一衣所以g(x)min=g(1)=—2，所以a<—2，即a的取值范围是(-3,—2)故答案为：(—3,—2)(2020-广东佛山一中高三三模)已知函数f(x)=lnx―x，若f(x)—m+1<0恒成立，则m的取值范围为.【答案】［0,+3)【解析】f(x)=lnx―x，则f(x)—m+1<0恒成立，等价于m>lnx—x+1一一11—x.一令g(x)=lnx—x+1(x>0),g(x)=—1=(x>0)xx因此g(x)在(0,1)单调递增，在(1，+3)单调递减，故g(x)max=g(1)=0二m>0

故答案为：［0,+8)，其中e为自然对数的底数.8.(2020•河南南阳中学高三三模)已知函数f(x)=ln(e一x)+ax一b(a>0)若不等式f(x)<0恒成立，则b，其中e为自然对数的底数.a【答案】e-1【解析】首先a>0由ff(x)=0，得x=ae一1—1ae—【解析】首先a>0由ff(x)=0，得x=ae一1—1ae—1—ax+a=,x<ee—x1r1、r1\f(x)在—8,e一一上单调递增，在e一―，e<aj1aj上单调递减，一=e一一aa所以当x=e―1时，af(x)取最大值f\e一1.=ln(e-e+-1)+ar1)e——ajalaJ一b=一lna+ae一1一b即b>一lna+ae一1b—lna+ae—1则一>(a>0)有解，alna+1令F(a)=—aalna+e，F-(a)=——a2令F'(a)=0,得a=1F(a)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，故F(。)的最小值为F⑴=e-1bb••—>e一】，即的最小值为e-1.aa故答案为：e-1.9.(2020•江苏盐城•高三三模)若对任意实数xe(-8,1］，都有x2—2ax+1<1成立，则实数a的值为1【答案】—^ex【解析】设f(x)=——-——-x2—2ax+1若x2一2ax+1判别式4a2—4>0，则x2-2ax+1=0有解，设一解为气则x—%时|f(x)It+8，不满足I/(x)IV1恒成立，则一1<a<1，此时x2-2ax+1>0,ex「x2-(2a+2)x+1+2a]ex(x-1)(x-2a-1)因为f(x)9.(2020•江苏盐城•高三三模)若对任意实数xe(-8,1］，都有x2—2ax+1<1成立，则实数a的值为--八12a+1<0即a〈一^时，函数f(x)在(2a+1,1)单调递减，f(0)=1，则f(2a+1)>1，即If(2a+1)>1不满足题意；2a+1>0即a>-2时，记1,2a+1较小值为x0，则f(x)在(一8,x°)单调递增，由f(。)=1可得f(x0)>f(0)=M即|f(x0)|>1，不满足题意；2a+1=0即a=-1时，f(x)在(-8,0)，(0,1)递减，ex1则f⑴〈f(0)=1，f(x)=>0，则1f(x)|V1成立，综上a=一二.x2+x+12故答案为：-1.10.(2020.安徽淮北.三模)已知函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，对于任意xeR均有f(x)+2g(x)=mx一4，若f(x)-3-Inx>0对任意xe(0,+8)都成立，则实数m的取值范围是.［答案］「e2,+8)【解析】由已知得f(x)+2g(x)=mx—4……①，所以f(-x)+2g(-x)=m(-x)一4，又因为f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以-f(x)+2g(x)=-mx-4……②，①②联立解得g(x)=-2，f(x)=mx将f(x)=mx代入不等式得mx-3-Inx>0，对任意xe(0,+8)都成立，即m>3+炬，对任意xe(0,+8)都成立，xx，x2设h(x)=3+四(x>0)，则h(x)=-旦+1-lnx2+lnxxxx2x2令h(x)=0，解得x=—e2

所以hG)在区间|0,—］上单调递增，在区间I。2)上单调递减，\，/1\所以h\x)的最大值为h，x2所以hG)在区间|0,—］上单调递增，在区间I。2)上单调递减，\，/1\所以h\x)的最大值为h—3ln==—+—e—3e2-2e2=s，即m>e2ke；e2e2所以实数m的取值范围是［e2,+3).11.(2020•南开•天津二十五中三模)f(x)—ax3-3x+1对于x^［―1,1］总有f(x)>0成立，则a【答案】4【解析】要使f(x)>0恒成立，只要f(x)>0在xe[-1,1]上恒成立.mi