2023届中考数学一轮复习第22讲相似三角形及其应用导学案

PAGEPAGE4第22讲相似三角形及其应用一、知识梳理相似图形的有关概念相似图形形状相同的图形称为相似图形相似多边形定义如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似相似比相似多边形对应边的比称为相似比k相似三角形两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形相似．当相似比k＝1时，两个三角形全等比例线段定义防错提醒比例线段对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即____________，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段求两条线段的比时，对这两条线段要用同一长度单位黄金分割在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果________，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，黄金比为________一条线段的黄金分割点有______个平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比___________推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段的比________相似三角形的判定判定定理1平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形________判定定理2如果两个三角形的三组对应边的________相等，那么这两个三角形相似判定定理3如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且____________相等，那么这两个三角形相似判定定理4如果一个三角形的两个角与另一个三角形的____________，那么这两个三角形相似拓展直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似相似三角形及相似多边形的性质三角形(1)相似三角形周长的比等于相似比(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方(3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比相似多边形(1)相似多边形周长的比等于相似比(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方位似位似图形定义两个多边形不仅相似，而且对应顶点间连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位形中心位似与相似关系位似是一种特殊的相似，构成位似的两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行位似图形的性质(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于________；(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于________点；(3)位似图形对应边______(或在一条直线上)；(4)位似图形对应角相等以坐标原点为中心的位似变换在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于________位似作图(1)确定位似中心O；(2)连接图形各顶点与位似中心O的线段(或延长线)；(3)按照相似比取点；(4)顺次连接各点，所得图形就是所求的图形相似三角形的应用几何图形的证明与计算常见问题证明线段的数量关系，求线段的长度，图形的面积大小等相似三角形在实际生活中的应用建模思想建立相似三角形模型常见题目类型(1)利用投影，平行线，标杆等构造相似三角形求解；(2)测量底部可以到达的物体的高度；(3)测量底部不可以到达的物体的高度；(4)测量不可以到达的河的宽度二、题型、技巧归纳考点一：比例线段例1直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，那么BF＝()A．7B．7.5C．8D．8.5技巧归纳：此题考查的是平行线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键考点2相似三角形的性质及其应用例2如图△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40cm，AD＝30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.(1)求证：(2)求这个矩形EFGH的周长．技巧归纳：1.利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度；2.利用相似三角形性质探求比值关系．考点3三角形相似的判定方法及其应用例3、如图在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上，且AE＝8，EF⊥BE交CD于F.(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)求EF的长．技巧归纳：判定两个三角形相似的常规思路：①先找两对对应角相等；②假设只能找到一对对应角相等，那么判断相等的角的两夹边是否对应成比例；③假设找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否那么可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性〞．考点4位似例4如图正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，AC＝3√2，假设点A′的坐标为(1，2)，那么正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是()A、B、C、D、技巧归纳：此题考查位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键根据条件求得两个正方形的边长。三、随堂检测1、在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如下图，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.6m，木竿PQ的影子有一局部落在了墙上，PM＝1.2m，MN＝0.8m，那么木竿PQ的长度为____m.2、如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，那么边AC的长为．3、如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应点为D′，点C落在C′处．假设AB＝6，AD′＝2，那么折痕MN的长为．

参考答案例1、因为a∥b∥c，所以eq\f(AC,CE)＝eq\f(BD,DF)，∴eq\f(4,6)＝eq\f(3,DF)，DF＝4.5，BF＝7.5.例2、解：(1)证明：∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH.∴∠AHG＝∠ABC.又∵∠HAG＝∠BAC，∴△AHG∽△ABC，∴eq\f(AM,AD)＝eq\f(HG,BC).(2)由(1)得eq\f(AM,AD)＝eq\f(HG,BC).设HE＝x，那么HG＝2x，AM＝AD－DM＝AD－HE＝30－x.可得eq\f(30－x,30)＝eq\f(2x,40)，解得x＝12，2x＝24.所以矩形EFGH的周长为2×(12＋24)＝72(cm)．例3、解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEB＋∠ABE＝90°.∵EF⊥BE，∴∠AEB＋∠DEF＝90°，∴∠DEF＝∠ABE，∴△ABE∽△DEF；(2)∵△ABE∽△DEF，∴eq\f(BE,EF)＝eq\f(AB,DE).∵AB＝6，AD＝12，AE＝8，∴BE＝eq\r(AB2＋AE2)＝10，DE＝AD－AE＝12－8＝4，∴eq\f(10,EF)＝eq\f(6,4)，解得EF＝eq\f(20,3).例4、延长A′B′交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方