高考复习专题函数零点的求法及零点的个数

的求法及零点的个数Documentserialnumber【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】函数零点的求法及零点的个数题型1:求函数的零点。［例1］求函数尸"3-2x27+2的零点.［解题思路］求函数丁二姬-2X2—X+2的零点就是求方程X3—2X27+2=0的根［解析］令心_2%2_%+2=0 -X2(x-2)-(x-2)=0(x-2)(x-l)(x+l)=0 .x=-Mx=Mx=27即函数y=x3-2x2-x+2的零点为T,1,2。［反思归纳：函数的零点不是点，而是函数函数 y=fM的图像与x轴交点的横坐标，即零点是一个实数。题型2:确定函数零点的个数。［例2］求函数f(x)=Inx+2x-6的零点个数.［解题思路］求函数f(x)=hix+2x-6的零点个数就是求方程lnx+2x-6=0的解的个数［解析］方法一：易证f(x)=Inx+2x-6在定义域(°，+8)上连续单调递增，又有所以函数f(x)=lnx+2x-6只有一个零点。方法二：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数即是求方程Inx+2x-6=0的解的个数即求= 2x的交点的个数。画图可知只有一个。［反思归纳］求函数了="无)的零点是高考的热点，有两种常用方法：

①（代数法）求方程"劝二°的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f（X）的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。题型3:由函数的零点特征确定参数的取值范围［例3］（2007.广东）已知a是实数，函数/Q）=2“x2+2x-3-a，如果函数y= 在区间L1,1〕上有零点，求a的取值范围。［解题思路］要求参数a的取值范围，就要从函数y= 在区间Lu】上有零点寻找关于参数a的不等式（组），但由于涉及到a作为工2的系数，故要对a进行讨论［解析］若。=°,/（x）=2x-3，显然在Lu】上没有零点，所以_-3±77A=4+8〃(3+〃)=8〃2+24〃+4=0 右刀/曰"o①当"2时，y='G）恰有一个零点在岛"上；0gf（-1）f（l）=（a-1）G-5）<0即1<“<5时，尸/金）在Li"上也恰有—个零③当）= 在［-1,1］上有两个零点时，则a>0a>0A=8a2+24a+4>02a/(1)>O

/(-1)>Oa<0A=8a2+24a+4>02a/(1)<O

/(-1)<O2综上所求实数〃的取值范围是”>1或［反思归纳］①二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，也是高考热点，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键.②二次函数/(x)=QX2+Ax+c的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据。考点3根的分布问题［例5］已知函数/(x)=mx2+(m—3)X+1的图像与X轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数山的取值范围［解题思路］由于二次函数的图象可能与x轴有两个不同的交点，应分情况讨论［解析］⑴若山力，则f(x)=-3x+l,显然满足要求.(2)若mWO,有两种情况：A=(m-3)2-4m>0<1=XX=—<Q原点的两侧各有一个，则〔「机 m<0；/=(m—3)2—4m>0,%%=一>0,都在原点右侧，贝M「m 解得0<mwl,综上可得代(-co,1］［反思归纳］二次方程根的分布是高考的重点和热点，需要熟练掌握有关二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的根的分布有关的结论：①方程f(x)力的两根中一根比r大，另一根比r小=a.f(r)<0.

A=Z?2-4ac>0,

b

o< >r,2aA=Z?2-4ac>0,

b

p<-—<q^

la。•/⑷A=Z?2-4ac>0,

b

p<-—<q^

la。•/⑷>。，a-f(p)>0.③二次方程f(x)二0在区间(p,q)内有两根④二次方程f(x)二0在区间(p,q)内只有一根of(P)-f(q)<0,或f(P)=0,另一根在(P,q)内或f(q)=0,另一根在(P,q)内.,•/(2)<(),oi⑤方程f(x)力的两根中一根大于P,另一根小于q(p<q) C/(q)>0・(二)、强化巩固训练1、函数/')=如2—2x+l有且仅有一个正实数的零点，则实数机的取值范围是()OUr Um>Q<A=(—2)2—4m>0 <［解析］B；依题意得(1)〔"°)<° 或(Ur Um>Q<A=(—2)2—4m>0 <［解析］B；依题意得(1)〔"°)<° 或(2)m<0A=(—2)2—4加>0/(0)>0 T或Im0⑶1八=(一2”-4帆=0显然⑴无解；解⑵得加<0；解⑶得机=1又当m二0时"%)=-21+1,它显然有一个正实数的零点，所以应选Bo2、方程+举=3的实数解的个数为

［解析］2；在同一个坐标系中作函数 2及>=—4+3的图象，发现它们有两个交点故方程+X2=3的实数解的个数为2o3、已知二次函数/(x)=4x2—2(p-2)x-2p2-p+l,若在区间［-1,1］内至少存在TOC\o"1-5"\h\z一个实数c,使f(c)>0,则实数P的取值范围是 o只需/(1)=—2夕2—2夕+9>0或/(—1)=—2P2+夕+1>03 1 3即一3<p<2或一2<p<1./.pF(-3,2)。4、设函数y=%3与y=(!)..2的图象的交点为(x,y),则x所在的区间是( )2 oooA.(0,1) B.(1,2) C.(2,3)D.(3,4) 答案瓦5、若方程%2+(k-2)x+2k-l=Q的两根中，一根在。和1之间，另一根在1和2之间,求实数k的取值范围。[解析]2 3,.令/(x)=x2+(左-2)x+2左-1,则依题意得7(0)>0 [2左-1>0_<k<—解得2 3<f(l)<0 ]1+左一2+2左_<k<—解得2 3/(2)>0nn4+2左一4+2左一1>0I，即I(三)、小结反思：本课主要注意以下几个问题：1.利用函数的图象求方程的解的个数；2.一元二次方程的根的分布；3.利用函数的最值解决不等式恒成立问题补充题：1、定义域和值域均为：-a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中：(1)方程(1)方程f[g(x)kO有且仅有三个解；(2)方程g[f(x)]=0有且仅有三个解；(3)方程(3)方程f[f(x)]=0有且仅有九个解；(4)方程g[g(x)]=O有且仅有一个解。那么，其中正确命题的0数是(B.2;C.3;D.4O[解析]B；由邸静口,2afMegM=A那么，其中正确命题的0数是(B.2;C.3;D.4O[解析]B；由邸静口,2afMegM=A。一奶a,a]g(x)e[-"L由a左阚&f[g(x)]=0得,0]g(九芯「。I0—, 2,由岩却,(x)1=0有且仅有三个解，即(1)正确a f(x)=xe；由右图及g[f(x)]力得0a …%’2 ,由左图知方程g[f(x)]=O有且仅有一个解，故⑵错误；由左图及f[f(x)]=O得/(%)=% fM=xe[—^,0] fM=^1 2, 2 2 , 2,又由左图得到方程f[f(x)]=ogM=x£(2，a)最多有三个解，故⑶错误；由右图及g[g(x)]力得0 2 ,由右图知方程8良仁)]=0有且仅有一个解，即(4)正确，所以应选择B2、已知关于x的二次方程+2m+2机+1=。。⑴若方程有两根，其中一根在区间(-1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围。⑵若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围。［解析］⑴条件说明抛物线fx=X2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内，画出示意图，得f(0)=2m+1<0,f(—1)=2>0,f(1)=4f(1)=4m+2<0,m