空间向量与立体几何综合练习题

空间向量与立体几何综合练习题一、选择题【共10道小题】1、在4ABC中，AB=AC=5,BC=6,PA,平面ABC,PA=8,贝UP到BC的距离是...（）A.而B.4君 C.3君D.2君参考答案与解析：解析：如图，取BC中点D,连结AD,则ADXBC.2、空间四点A2、空间四点A、小距离为（）A.之B.2a走叵C.2aD.2a，・9，平面ABC,APAXAD.在RtAABD中，AD=4,在RtAPAD中，PD=JX+4=4而答案：B主要考察知识点：空间向量B、C、D每两点的连线长都等于a,动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则点P与Q的最走参考答案与解析：解析：当P、Q为中点时，PQ为AB和CD的公垂线，此时最短，求出得PQ=a.答案：B主要考察知识点：空间向量3、已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）AQM=OA^OB^OC 口OM=2QA-QB-QCTOC\o"1-5"\h\zA. B. h--1-h1-- —•1-h1-hI-"OM=-OB-OC OM=-OAV-OB+-OC\o"CurrentDocument"c 2 3 d ' § 3. .参考答案与解析：思路分析：对空间任一点O和不共线的三点A、B、C,则满足向量关系式:\o"CurrentDocument"OM=y\OA+yOB+zQC/甘晶,, 、,,mJ （其中x+y+z=1）的四点P、A、B、C共面.答案：D主要考察知识点：向量、向量的运算4、已知a=（入+1,0,2入）,b=（6,2比1,2）,若a〃b,则为与/的值分别为…（）11_1_£A.52 B.5,2C.§ 2 D.-5,-2丸十1二6m,$0=讯2*-1）,参考答案与解析：思路分析：a〃b,则存有m£R,使得a=mb.Xa=Q+1,0,2»b=（6,2k1,2）,则有L —一可1得L上答案：A主要考察知识点：向量与向量运算的坐标表示5、在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）_2 2 3屈A.5B.5C.5D.10参考答案与解析：思路分析：建立空间直角坐标系D1—A1C1D（图略），则易知⑷W=（0，^，-1），CN=（1，1 2一— •-~・一0， 2），代入向量的夹角公式，可求得cos〈皿^，CV〉=5.答案：B主要考察知识点：空间向量A5=-（1§+AC+ATi）6、已知ABCD是四面体，O为ABCD内一点，则 3 是O为4BCD的重心的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件参考答案与解析：C主要考察知识点：空间向量87、若向量a=（1入2）,b=（2,-1,2）,a、b夹角的余弦值为9，则为等于（）2 _2_A.2 B.-2 C.-2或子 D.2或55参考答案与解析：C主要考察知识点：空间向量8、在以下命题中，不准确的个数为（）①|a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件；②若a〃b，则存有唯一的实数为，使a=X-b; h k k k③对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若。尸"23—225—2C，则P、A、B、C四点共面;④若｛a,b,c｝为空间的一个基底，则｛a+b,b+c,c+a｝构成空间的另一个基底；⑤|（a/b）c|=|a|，b|・|c|.A.2 B.3 C.4 D.5参考答案与解析：C

主要考察知识点：空间向量9、已知A(-1,0,1),B(0,0,1),C(2,2,2),D(0,0,3)，则sin〈"及‘口〉等于C.3吏_D.-3TOC\o"1-5"\h\z2 2C.3吏_D.-3A.-3 B.3参考答案与解析：答案：C解析：工=(1,0,0),C£)=(-2,-2,1),am_-2_2cos〈荔丸〉=两有一说一百cos, /=7T所以〈工口〉£(万㈤.所以sin〈工丫' ,13 3主要考察知识点：空间向量10、在4ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA，平面ABC,PA=8j则P到BC的距离是A.5 B.45 C.35 D.25参考答案与解析：答案：B解析：取BC的中点D,连结AD,则ADXBC.因为PA,平面ABC,所以PAXAD.在RtAABD中,AD=4,在RtAPAD中阳二梅+1S主要考察知识点：空间向量二、填空题【共4道小题】1、已知a=(cosa,1,sina),b=(sina,1,cosa),则向量a+b与a-b的夹角是 .参考答案与解析：思路分析：由a+b=(cosa+sina,2,sina+cosa),a-b=(cosa-sina,0,sina-cosa),.\(a-b>(a+b)=0.则〈a-b,a+b〉=90°.答案：90°主要考察知识点：向量与向量运算的坐标表示2、在长方体ABCD—A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°,则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为.苴参考答案与解析：4主要考察知识点：空间向量3、已知a=(3,1,5),b=(1,2,-3)，向量c与z轴垂直，且满足c-a=9,c-b=-4，贝Uc=2221 参考答案与解析：答案：($'5,0)事*—.解析：令c=(x,y,z),则鼠乂"02「可=Y'22"亏‘21X-彳2=0,解得］..c=(* )).主要考察知识点：空间向量4、如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1C的中点，则BE与平面B1BD所成角的余弦值为而参考答案与解析：答案：5解析：如图所示建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,B

贝UB(2,2,0)、B1(2,2,2)、E(0,2,1),=(-2,-2,0),册l=(0,0,2),=(-2,0,1).设平面B1BD的法向量为n=(x,y,z),因为n±^且,n，B31,与■BD--2x-2y=0,所以回防产2e=0.x=—y,所以］""再■BE_令y=1,则n=(-1,1,0),cos〈n,因因〉=IIII,设BE与平面B1BD所成角为仇史则cos=sin〈n,M甚、=、而即S区与平面B1BD所成角的余弦值为5主要考察知识点：空间向量三、解答题【共3道小题】1、棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1,E、F、G分别是DD1、BD、BB1的中点.(1)求证：EFXCF；(2)求因尸与布所成角的余弦值;⑶求(2)求因尸与布所成角的余弦值;⑶求CE的长.参考答案与解析:1 11 1(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz,则D(0,0,0)、E(0,0,2)、C(0,1,0)、F(2,2,0)、G(1,1,2),1工1一11一1一1•・E尸=(马B,工),C尸二(之二,0),CG=(1,。/),CE=(0,-1,2).__21111•；EF•CF=2*2+2x（-之）+（-之）x0=0,:.EF±^尸，即EFXCF.一,J111（2）解析：•・,EF. =x1+^x0+（工）x（马）=d,，凡…？=¥1—r—r 4.巴巴73•行Ecos〈丽氏）」函西=VT=~_卜十.1『十占二色(3)解析：陷=" 2 2主要考察知识点：向量与向量运算的坐标表示，空间向量u，使a4=2、设a1=2i-j+k,a2=i+3j-2k,a3=-2i+j-3k,a4=3i+2j+5k,试问是否存有实数晨以、Xa1+ga2+ua3成立？如果存有，求出入、^、uu，使a4=参考答案与解析：解：假设a4=Xa1+ga2+ua3成立，Va1=(2,-1,1),a2=(1,3,-2),a3=(-2,1,-3),a4=(3,2,5),.\(2X+g-2u,-X+3g+u,X-2g-3u)=(3,2,5).2丸十不一2廿二工 A=-21-2+3jU+v=2,《卅二L月一2月一Wk=5?&、/v=-3.・•・I产’解之得L故有a4=-2a1+a2-3a3.综上知，存有且为=-2中=1,u=-3.主要考察知识点：空间向量点F为BD1中点.3、已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1,AB=1,AA1=2,点点F为BD1中点.注(1)证明EF为BD1与CC1的公垂线；注(2)求D1到平面BDE的距离.JJ2,1),C1(0,0,2),E(0,0,1).参考答案与解析：(1)证明：建立如图的坐标系，得B(0,1,0),D1(1,0,2),J2,1),C1(0,0,2),E(0,0,1).*您Z,..嬴元二0函,前二0,,,,即EF±CC1,EFXBD1.故EF是CC1与BD1的公垂线.(2