概率论与数理统计(茆诗松)第二版第三章课后习题3.2-3.3(部分)习题与讲解

习题3.21．设二维离散随机变量(0,0)，(−1,1)，(−1,2)，(1,0)，概率依次为1/6,1/3,1/12,5/12，试求X与Y各自的解：因X的全部可能值为−1,0,1，且(X,Y)的可能值为且取这些值的边际分布列．P{X=−1}=+=5，P{X=0}=1，P{X=1}=115，12312126故X的边际分布列为X−101515P12612因Y的全部可能值为0,1,2，且P{X=0}=+=7，P{X=1}=1，P{X=2}=151，61212312故Y的边际分布列为Y012711P123122．设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为F(x,y)=⎨⎧1−e−λ1x−e−λ2y−e,x>0,y>0,其他.−λ1x−λ2y−λ12max{x,y}⎩0,试求X与Y各自的边际分布函数．解：当x≤0时，F(x,y)=0，有FX(x)=F(x,+∞)=0，当x>0时，F(x,y)=⎧⎨1−e−λ1x−e−λ2y−e,y>0,有−λ1x−λ2y−λ12max{x,y}⎩0,y≤0.F(x)=F(x,+∞)=lim[1−e−λ−e−λ2y−e−y→+∞λ1x−λ2y−λ12max{x,y}]=1−e−λ1x，1xX故F(x)=⎨⎧1−e,x>0,−λx1⎩0,x≤0.X当y≤0时，F(x,y)=0，有FY(y)=F(+∞,y)=0，当y>0时，F(x,y)=⎧⎨1−e−λ1x−e−λ2y−e,x>0,−λ1x−λ2y−λ12max{x,y}有x≤0.⎩0,F(y)=F(+∞,y)=lim[1−e−λ1x−e−λ2y−e−x→+∞λ1x−λ2y−λ12max{x,y}]=1−e−λ2y，Y故F(y)=⎨⎧1−e−λ2y,y>0,⎩0,y≤0.Y3．试求以下二维均匀分布的边际分布：⎧1p(x,y)=⎪⎨,+≤1,x2y2π⎪0,其他.⎩1解：当x<−1或x>1时，p(x)=0，yX1p(x)=∫+∞p(x,y)dy=∫1−x21πdy=2当−1≤x≤1时，1−x2，πX−∞−1−x2⎧2x−101⎪1−x2,−1≤x≤1,p(x)=故⎨πX⎪⎩0,其他.−1当y<−1或y>1时，p(y)=0，Yp(y)=∫+∞p(x,y)dx=∫1−y21dx=21−y2，当−1≤y≤1时，Y2ππ−∞−1−y⎧2⎪1−y2,−1≤y≤1,其他.p(y)=故⎨πY⎪⎩0,4．设平面区域D由曲线y=1/x及直线(X,Y)在区域y=0，x=1，x=e2所围成，二维随机变量D上服从均匀分布，试求X的边际密度函数．∫e21dx=lnxe2=2，S=解：因平面区域D的面积为yxD11则(X,Y)的联合密度函数为⎧1Dp(x,y)=⎪⎨,(x,y)∈D,e2x012⎪0,(x,y)∉D.⎩当x<1或x>e2时，p(x)=0，Xp(x)=∫+∞p(x,y)dy=11dy=1−∞∫当1≤x≤e2时，，0x22xX⎧1⎪,1≤x≤e2,p(x)=故⎨2x0,X⎪其他.⎩5．求以下给出的(X,Y)的联合密度函数的边际密度函数p(x)和py(y)：x⎧e−y,0<x<y;（1）p(x,y)=⎨0,其他.1⎩⎧5p(x,y)=⎪(+),0<y<1−x2;其他.xy2（2）⎨42⎪0,⎩⎧1⎪,0<y<x<1;（3）p(x,y)=⎨⎩x0,其他.3⎪解：（1）当x≤0时，p(x)=0，X()=∫+∞(,)=∫+∞e−ydy=−ey−+∞=e−x，y当x>0时，pxpxydyX1−∞xx⎧e−x,x>0;p(x)=故⎨0,⎩x≤0.Xx0当y≤0时，p(y)=0，Y()=∫+∞(,)=ye−∞∫−ydx=ye−y，当y>0时，pypxydxY102⎧ye−y,y>0;p(y)=故⎨0,⎩y≤0.Y（2）当x≤−1或x≥1时，pX(x)=0，当−1<x<1时，p(x)=∫+∞p(x,y)dy=∫5(x2+y)dy=54(x2y+12y2)1−x2581x−2=(1−x4)，4X2−∞00⎧⎪5(1−x4),−1<x<1;y1p(x)=故⎨8X⎪0,⎩其他.当y≤0或y≥1时，pY(y)=0，x−1+)1−y=5(1+2y)1−y，01当0<y<1时，p(y)=∫+∞p(x,y)dx=∫1−y−1−y45(+)=(xydxx3xy512436Y−∞−1−y⎪⎧5(1+2y)1−y,0<y<1;p(y)=故⎨6Y⎪0,⎩其他.（3）当x≤0或x≥1时，pX(x)=0，y当0<x<1时，p(x)=∫+∞p(x,y)dy=∫x1dy=x⋅1=1，x0xX3−∞⎧1,0<x<1;p(x)=故⎨⎩0,其他.xX01当y≤0或y≥1时，pY(y)=0，当0<y<1时，p(y)=∫+∞p(x,y)dx=∫11−∞xdx=ln1=ln1−lny=−lny，yyxY⎧−lny,0<y<1;p(y)=故⎨0,⎩其他.Y6．设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为⎧⎨⎩<<<<6,0xyx1,2p(x,y)=0,其他.试求边际密度函数px(x)和py(y)．解：当x≤0或x≥1时，pX(x)=0，y当0<x<1时，p(x)=∫+∞p(x,y)dy=∫x6dy=6(x−x2)，1X−∞x2⎧6(x−x2),0<x<1,p(x)=故⎨0,⎩其他.Xx01当y≤0或y≥1时，pY(y)=0，当0<y<1时，p(y)=∫+∞p(x,y)dx=∫y6dx=6(y−y)，Y−∞y⎪⎧6(y−y),0<y<1,p(y)=故⎨⎪0,其他.Y⎩7．试验证：以下给出的两个不同的联合密度函数，它们有相同的边际密度函数．3⎧x+y,0≤x≤1,0≤y≤1,p(x,y)=⎨0,⎩其他.⎧(0.5+x)(0.5+y),0≤x≤1,0≤y≤1,g(x,y)=⎨0,⎩其他.证：当x<0或x>1时，p(x)=0，Xp(x)=∫+∞p(x,y)dy=∫1(x+y)dy=(xy+12y2)当0≤x≤1时，10=x+0.5，X−∞0⎧x+0.5,0≤x≤1,p(x)=则⎨0,⎩其他.X当y<0或y>1时，p(y)=0，Yp(y)=∫+∞p(x,y)dx=∫1(x+y)dx=(12x2+xy)0当0≤y≤1时，1=y+0.5，Y−∞0⎧y+0.5,0≤y≤1,p(y)=则⎨0,⎩其他.Y并且当x<0或x>1时，g(x)=0，Xg(x)=∫+∞g(x,y)dy=∫1(0.5+x)(0.5+y)dy=(0.5+x)⋅12(0.5+y)21=x+0.5，当0≤x≤1时，X−∞00⎧x+0.5,0≤x≤1,g(x)=则⎨0,⎩其他.X当y<0或y>1时，g(y)=0，Yg(y)=∫+∞g(x,y)dx=∫1(0.5+x)(0.5+y)dx=12(0.5+x)2⋅(0.5+y)0当0≤y≤1时，1=y+0.5，Y−∞0⎧y+0.5,0≤y≤1,g(y)=则⎨0,⎩其他.Y故它们有相同的边际密度函数．8．设随机变量P{X=−1}=P{Y=−1}=P{X=1}=P{Y=1}=1/2，P{X=Y}．X和Y独立同分布，且试求解：因X和Y独立同分布，且P{X=−1}=P{Y=−1}=P{X=1}=P{Y=1}=1/2，则(X,Y)的联合概率分布Y−11pXi⋅111−1442111144211p22⋅j故P{X=Y}=P{X=−1,Y=−1}+P{X=1,Y=1}=1/2．9．甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X和Y分别表示甲4P{X≤Y}．X的全部可能取值为0,1,2，和乙的命中次数，试求解：因⎛2⎞且P{X=0}=0.82=0.64，P{X=1}=⎜⎟×0.2×0.8=0.32，P{X=2}=0.22=0.04，⎜⎟1⎝⎠又因Y的全部可能取值为0,1,2，⎛2⎞且P{Y=0}=0.52=0.25，P{Y=1}=⎜⎟×0.5×0.5=0.5，P{Y=2}=0.52=0.25，⎜⎟1⎝⎠则(X,Y)的联合概率分布Y012pXi⋅0120.160.320.160.640.080.160.080.320.010.020.010.040.250.50.25p⋅j故P{X≤Y}=1−P{X>Y}=1−P{X=1,Y=0}−P{X=2,Y=0}−P{X=2,Y=1}=0.89．10．设随机变量X和Y相互独立，其联合分布列为Yy1y2y3Xxa1/9c1x21/9b1/3试求联合分布列中的a,b,c．=+1+ac，p=+b+1=b+149p=a+1p=+bp=+c，11解：因p，，，9939931⋅2⋅⋅1⋅2⋅3p=b=p⋅p=⎜b+⎟⎜+b⎟=b2+95b+4，⎛4⎞⎛1⎞9⎠⎝9⎠根据独立性，知81222⋅⋅2⎝b−b+4=0，即4⎛2⎞2可得29812b=；故91⎛4⎞⎛1⎞6⎛1⎞9⎠11a+=96p==p⋅p=⎜b+⎟⎜a+⎟=⎜a+⎟，可得再根据独立性，知，9⎝9⎠⎝9⎠9⎝212⋅⋅11；a=故18∑∑p=a+1+c+1+b+1=a+b+c+5=1，可得4a+b+c=，923由正则性，知9939iji=1j=1431c=−a−b==．故918611．设X和Y是两个相互独立的随机变量，X~U(0,1)，Y~Exp(1)．试求（1）X与Y的联合密度函数；（2）P{Y≤X}；（3）P{X+Y≤1}．5解：（1）因X与Y相互独立，且边际密度函数分别为p(x)=⎧1,0<x<1,⎧e−y,y≥0,p(y)=⎨0,⎨yy0,其他.y<0.X⎩Y⎩1故X与Y的联合密度函数为⎧⎨⎩e−y,0<x<1,y≥0,p(x,y)=p(x)p(y)=xx0,其他.0101XY（2）P{Y≤X}=∫1dx∫xe−ydy=∫1dx⋅(−e−y)∫1(1−e−x)dx=(x+e−x)=1+e−1−1=e−1；x=1000000（3）P{X+Y≤1}=∫1dx∫1−xe−ydy=∫1dx⋅(−e−y)1−x∫1(1−e)dx=(x−e)10==e−1．−x1−x10000012．设随机变量(X,Y)的联合密度函数为p(x,y)=⎧⎨⎩30,x,其0<他x.<1,0<y<x,试求（1）边际密度函数px(x)和py(y)；（2）X与Y是否独立．（1）当x≤0或x≥1时，pX(x)=0，y解：1当0<x<1时，p(x)=∫−∞+∞p(x,y)dy=∫3xdy=3x2，xX0故p(x)=⎧⎨3x2,0<x<1,0,其他.⎩x01X当y≤0或y≥1时，pY(y)=0，当0<y<1时，p(y)=∫+∞p(x,y)dx=∫13xdx=x21=(1−y2)，3322Y−∞yy⎧3p(y)=⎪(1−y2),0<y<1,故⎨2Y⎪⎩0,其他.⎧9x2(1−y2),0<x<1,0<y<1,⎪（2）因p(x)p(y)=即px(x)py(y)≠p(x,y)，⎨2XY⎪0,⎩其他.故X与Y不独立．13．设随机变量(X,Y)的联合密度函数为p(x,y)=⎧⎨⎩10,,|其x他|<.y,0<y<1,试求（1）边际密度函数px(x)和py(y)；（2）X与Y是否独立．（1）当x≤−1或x≥1时，pX(x)=0，解：y1当−1<x<0时，p(x)=∫+∞p(x,y)dy=∫11dy=1+x，−x1dy=1−x，X−∞当0≤x<1时，p(x)=∫+∞p(x,y)dy=∫1x1−10X−∞x⎧1+x,−1<x<0,⎪故p(x)=1−x,0≤x<1,⎨X⎪0,其他.⎩6当y≤0或y≥1时，p(y)=0，Y()=∫+∞当0<y<1时，pyp(x,y)dx=∫y1dx=2y，−yY−∞p(y)=⎧2y,0<y<1,故⎨⎩0,其他.Y⎧2y(1+x),−1<x<0,0<y<1,⎪（2）因p(x)p(y)=2y(1−x),0≤x<1,0<y<1,即px(x)py(y)≠p(x,y)，⎨⎪0,⎩XY其他.故X与Y不独立．14．设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数如下，试问X与Y是否相互独立？⎧xe−(x+y),x>0,y>0;（1）p(x,y)=⎩⎨0,其他.1π2(1+x2)(1+y2),−∞<x,y<+∞；（2）p(x,y)=⎧2,0<x<y<1;p(x,y)=⎩⎨0,其他.（3）⎧24xy,0<x<1,0<y<1,0<x+y<1;（4）p(x,y)=⎩⎨0,其他.⎧12xy(1−x),0<x<1,0<y<1;（5）p(x,y)=⎩⎨0,其他.⎧21（6）p(x,y)=⎪⎨,<<1;xyxy224⎪0,⎩其他.解：（1）因xe−(x+y)=xe−x⋅e−y可分离变量，x>0,y>0是广义矩形区域，故X与Y相互独立；111（2）因π2(1+x2)(1+y2)=π(1+x2)⋅π(1+y2)可分离变量，−∞<x,y<+∞是广义矩形区域，故X与Y相互独立；（3）因0<x<y<1不是矩形区域，故（4）因0<x<1,0<y<1,0<x+y<1不是矩形区域，故（5）因12xy(1−x)=12x(1−x)⋅y可分离变量，0<x<1,0<y<1是矩形区域，故（6）因x2<y<1不是矩形区域，故X与Y不独立．15．在长为a的线段的中点的两边随机地各取一点，求两点间的距离小于a/3的概率．有X和Y相互独立且都服从[0,a/2]的均匀分布，X与Y不独立；X与Y不独立；X与Y相互独立；解：设X和Y分别表示这两个点与线段中点的距离，则(X,Y)的联合密度函数为ya/2⎪,0<x<a,0<y<a,Dp(x,y)=⎨22a/3a2⎪0,⎩其他.Ga/3a/2x071⎛a⎞×⎜⎟2故所求概率为P{X+Y<a}=SSG=2⎝3⎠2=．39⎛a⎞2⎜⎟D⎝2⎠16．设二维随机变量D={(x,y):a≤x≤b,c≤y≤d}X与Y相互独立．(X,Y)的联合密度函数为(X,Y)服从区域上的均匀分布，试证证：因⎧1⎪p(x,y)=⎪0,其他.⎩当x<a或x>b时，p(x)=0，X∫+∞p(x,y)dy=∫d11当a≤x≤b时，px()=c(b−a)(d−c)dy=b−a，X−∞⎧1⎪,a≤x≤b;其他.p(x)=则⎨−ba0,X⎪⎩当y<c或y>d时，p(y)=0，Y∫+∞p(x,y)dx=∫b11当c≤y≤d时，py()=a(b−a)(d−c)dx=d−c，Y−∞⎧1⎪,c≤y≤d;其他.p(y)=则⎨−dc0,Y⎪⎩因px(x)py(y)=p(x,y)，故X与Y相互独立．17．设X,X,…,Xn是独立同分布的正值随机变量．证明12⎛+L+X⎞X=k,k≤n．⎜⎜⎟E1k⎟X+L+Xn⎝n⎠1证：因同分布的正值随机变量，X,X,…,Xn是独立12XX++XLXX++XL(i=1,2,L,n)同分布，且满足0<<1，则由对称性知ii1n1n⎛⎞⎛⎞⎛⎟=⎜⎞⎛⎞XXX++Xn⎠XXn可得E⎜⎟且E⎜E⎟=L=E⎜⎟⎟存在，，⎜i⎟⎜1⎟⎜2⎟⎜X++Xn⎠X++XX++X⎝Ln⎝L⎝L⎝L⎠⎠111n1⎛⎞⎛⎟+⎜⎞⎛⎞⎛+L+X⎞XX++Xn⎠XXX++XX⎟=E⎜1⎜⎜⎟+L+E⎜⎟=1，因EE⎜1⎟⎜2⎟⎜n⎟n⎟X++Xn⎠X++X⎝L⎝L⎝L⎠⎝L⎠111n1n⎛⎞⎛⎞⎛⎞XXXX+L+X⎟=1⎜⎟=E⎜⎟=L=E⎜则E，⎜1⎟⎜2⎟⎜n⎟X++Xn⎠X++Xn⎠n⎠⎝L⎝L⎝111n⎛+L+X⎞X⎟=k,⎟n⎜k≤n．故E⎜1kX++X⎝Ln⎠18习题3.31．设二维随机变量(X,Y)的联合分布列为Y123X0120.050.150.200.070.110.220.040.070.09试分布求U=max{X,Y}和V=min{X,Y}的分布列．解：因P{U=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=1}=0.05+0.07=0.12；P{U=2}=P{X=0,Y=2}+P{X=1,Y=2}+P{X=2,Y=2}+P{X=2,Y=1}=0.15+0.11+0.07+0.04=0.37；P{U=3}=P{X=0,Y=3}+P{X=1,Y=3}+P{X=2,Y=3}=0.20+0.22+0.09=0.51；故U的分布列为U123P0.120.370.51因P{V=0}=P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=2}+P{X=0,Y=3}=0.05+0.15+0.20=0.40；P{V=1}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}+P{X=2,Y=1}=0.07+0.11+0.22+0.04=0.44；P{V=2}=P{X=2,Y=2}+P{X=2,Y=3}=0.07+0.09=0.16；故V的分布列为V012P0.400.440.16λµ2．设X和Y是相互独立的随机变量，且X~Exp()，Y~Exp()．如果定义随机变量Z如下⎧1,⎩0,当X>Y.当X≤Y,Z=⎨求Z的分布列．(X,Y)的联合解：因密度函数为⎧λµe−(λx+µy)p(x,y)=p(x)p(y)=⎨0,⎩,x>0,y>0,其他.yXYX<Y则P{Z=1}=P{X≤Y}=∫+∞∫y)dy=∫+∞dx⋅(−)e−(λx+µy)+∞λ−(λx+µ+∞λµdxeX>Y0x0xxλλ0∫+∞λ=e−(λ+µ)xdx=−λ+µe−(λ+µ)x+∞0=λ+µ，0µP{Z=0}=1−P{Z=1}=λ+µ，故Z的分布列为ZP01λµλ+µλ+µ93．设随机变量X和Y的分布列分别为X−10101YP1/41/21/4P1/21/2已知P{XY=0}=1，试求Z=max{X,Y}的分布列．P{XX≠0}=0，解：因P{XX2=0}=1，有112−1,X2=1}=P{X1=1,X2=1}=0，可得(X,Y)的联合分布列为即P{X1=YY01p01pi⋅XX−11/401/4i⋅−11/41/21/4010101/21/21/401/41/21/2p1/21/2p⋅j⋅j因P{Z=0}=P{X=−1,Y=0}+P{X=0,Y=0}=1+0=1；44P{Z=1}=1−P{Z=0}=3；4故Z的分布列为Z0113P444．设随机变量X、Y独立同分布，在以下情况下求随机变量Z=max{X,Y}的分布列．（1）X服从p=0.5的(0-1)分布；P{X=k}=(1−p)k−1p，k=1,2,…．（2）X服从几何分布，即1）(X,Y)的联合分布列为解：（Y01pi⋅X010.250.250.50.250.250.50.50.5p⋅j因P{Z=0}=P{X=0,Y=0}=0.25；P{Z=1}=1−P{Z=0}=0.75；故Z的分布列为Z01P0.250.75（2）因P{Z=k}=P{X=k,Y≤k}+P{X<k,Y=k}=P{X=k}P{Y≤k}+P{X<k}P{Y=k}∑∑k−1k=(1−p)k−1p⋅(1−p)j−1p+(1−p)i−1p⋅(1−p)k−1pj=1i=1=(1−p)p⋅1−(1−p)kp+1−(1−p)k−1p⋅(1−p)k−1p1−(1−p)k−11−(1−p)=(1−p)k−1p⋅[2−(1−p)k−1−(1−p)k]故Z=max{X,Y}的概率函数为p(k)=(1−p)k−1p⋅[2−(1−p)k−1−(1−p)k]，k=1,2,…．z105．设X和Y为两个随机变量，且34P{X≥0,Y≥0}=，P{X≥0}=P{Y≥0}=，77试求P{max{X,Y}≥0}．34P(AB)=，P(A)=P(B)=，解：设A表示事件“X≥0”，B表示事件“Y≥0”，有774435故P{max{X,Y}≥0}=P(AUB)=P(A)+P(B)−P(AB)=+−=．77776．设X与Y的联合密度函数为⎧⎨⎩e−(x+y),x>0,y>0,p(x,y)=0,其他.的密度函数（1）Z=(X+Y)/2；（2）Z=Y−X．试求以下随机变量解：方法一：分布函数法y（1）作曲线簇x+y=z，得z的分段点为0，2当z≤0时，F(z)=0，Z∫2zdx∫2z−xe−(x+y)dy=∫2zdx⋅[−e−(x+y)F(z)=]2z−x当z>0时，xZ000002z∫2z(−e−2z+e−x)dx=(−e−2zx−e−x)2z=1−(2z+1)e−2z=，00因分布函数FZ(z)连续，有Z=(X+Y)/2为连续随机变量，故Z=(X+Y)/2的密度函数为⎧⎨⎩4ze−2z,z>0,p(z)=F′(z)=0,z≤0.ZZ（2）作曲线簇y−x=z，得z的分段点为0，∫+∞dx∫x+ze−(x+y)dy=∫+∞dx⋅[−e−(x+y)−z∫+∞当z≤0时，F(z)=]x+z=[−e−(2x+z)+e−x]dxyZ−z00−z⎡1e−(2x+z)⎤+∞⎡1⎤1z，=−e−x=−ez−ez⎥=e⎢⎥⎦⎢⎣2⎣2⎦2−zxx−z[−e−(2x+z)+e−x]dx0∫+∞dx∫x+ze−(x+y)dy=∫+∞dx⋅[−e−(x+y)∫+∞F(z)=]x+z=当z>0时，Z00000y⎡1e−(2x+z)−e−x⎤+∞=−e−z−1=1−1e⎡1⎤=−z，2⎢⎥⎢⎥⎣2⎦⎣2⎦0z因分布函数FZ(z)连续，故Z=Y−X的密度函数为有Z=Y−X为连续随机变量，0⎧1ez,z≤0,⎪2p(z)=F′(z)=⎨1ZZ⎪e−z,z>0.⎩2方法二：增补变量法x+y对任意固定的y关于x严格单调增加，（1）函数z=增补变量v=y，211⎧可得⎨⎩x+y,⎧x=2z−v,′x′′=2−1=2，⎪=xz有反函数⎨且J=2zvy=v,′z01yy⎩⎪=vy,vp(z)=∫+∞p(2z−v,v)⋅2dv=∫+∞2p(2z−v,v)dv，则yZ−∞−∞x+y作曲线簇=z，得z的分段点为0，2z2当z≤0时，p(z)=0，Zp(z)=∫2z2edv=4ze−2z，当z>0时，x−2z0Z0故Z=(X+Y)/2的密度函数为p(z)=⎧⎨4ze−2z,z>0,0,⎩z≤0.Z（2）函数y关于x严格单调增加，增补变量v=y，z=y−x对任意固定的y01=−1，⎧z=y−x,⎧x=v−z,′x′−11x可得⎨有反函数⎨且J=′=zvv=y,y=v,′zyy⎩⎩vp(z)=∫+∞p(v−z,v)dv，则Z−∞xx−z0作曲线簇y−x=z，得z的分段点为0，()=∫+∞edv=−1e=1e当z≤0时，pz2v+z+∞−2v+z−z，y22Z00()=∫+∞当z>0时，pze2v+zdv=−1e2v+z+∞=1e−−−z，22Zzzz故Z=Y−X的密度函数为⎧12ez,z≤0,0p(z)=⎪⎨1Z⎪e−z,z>0.⎩27．设X与Y的联合密度函数为p(x,y)=⎧⎨⎩30,x,其0<他x.<1,0<y<x,试求Z=X−Y的密度函数．解：方法一：分布函数法作曲线簇x−y=z，得z的分段点为0,1，当z<0时，F(z)=0，Z=∫zdx∫x3xdy+∫1dx∫x3xdy=∫z3x2dx+∫13232z−1z3，2当0≤z<1时，F(z)3xzdx=x3z0+x2z1=zZ00zx−z0z当z≥1时，F(z)=1，yZ因分布函数F(z)连续，有Z=X−Y为连续随机变量，1Z故Z=X−Y的密度函数为⎧3⎪(1−z2),0<z<1,p(z)=F′(z)=⎨20,ZZ⎪x其他.z⎩0112方法二：增补变量法函数y关于x严格单调增加，增补变量v=y，z=x−y对任意固定的⎧z=x−y,⎧x=z+v,′x′11xv=y,y=v,′z′=01=1，可得⎨有反函数⎨且J=zvyy⎩⎩vp(z)=∫+∞p(z+v,v)dv，则Z−∞作曲线簇x−y=z，得z的分段点为0,1，y当z≤0或z≥1时，p(z)=0，Zp(z)=1−z3(z+v)dv=23(z+v)21−z=32(1−z2)，1−z∫当0<z<1时，Z00故Z=X−Y的密度函数为x01⎧3p(z)=⎪(1−z2),0<z<1,⎨20,Z⎪⎩其他.8．某种商品一周的需要量是一个随机变量，其密度函数为p(t)=⎧⎨te−t,t>0,0,⎩t≤0.1设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周需要量的密度函数p(x)；（2）三周需要量的密度函数p(x)．23解：方法一：根据独立伽玛变量之和仍为伽玛变量设Ti表示“该种商品第i周的需要量”，因T的密度函数为i⎧1⎪t2−1e−t,t>0,t≤0.p(t)=1⎨Γ(2)⎪0,⎩可知Ti服从伽玛分（1）两周需要量为T+T2，因T1与T2相互独立且布Ga(2,1)，都服从伽玛分布Ga(2,1)，1故T1+T2服从伽玛分布Ga(4,1)，密度函数为⎧1x4−1e−x,x>0,=⎪⎧⎨1p(x)=⎪⎨Γ(4)x3e−x,x>0,62⎪0,⎪⎩x≤0.0,x≤0.⎩T+T2+T3，因T1,T2,T3相互独立且布Ga(2,1)，（2）三周需要量为都服从伽玛分1故T1+T2+T3服从伽玛分布Ga(6,1)，密度函数为⎧1x6−1e−x,x>0,=⎪⎧⎨1p(x)=⎪x5e−x,x>0,⎨Γ(6)120⎪⎩3⎪x≤0.0,x≤0.0,⎩方法二：分布函数法（1）两周需要量为X=T1+T2，作曲线簇t+t=x，得x的分段点为0，212当x≤0时，F(x)=0，2∫xdt∫x−t1te⋅tedt=∫xdt⋅te(−te−e)x−t1F(x)=当x>0时，−t−t−t−t−tt212122211221120000∫x[(t2−xt−t)e−x+te]dt=−t1111110⎡1⎤=⎜t3−12t2x−1t⎟e−x−te−e⎛⎞x⎢22⎠1−t−t⎥⎦t1110x⎝31⎣11013=⎜x3−12x3−x⎟e−x−xe−x−e−x−(−1)⎛1⎝31⎞2⎠2=1−e−x−xe−x−12x2e−x−16x3e−x，因分布函数F(x)连续，有X=T1+T2为连续随机变量，22故X2=T1+T2的密度函数为⎧1⎪⎨x3e−x,x>0,x≤0.p(x)=F′(x)=622⎪0,⎩（2）三周需要量为X=T1+T2+T3=X2+T3，作曲线簇x2+t3=x，得x的分段点为0，3当x≤0时，F(x)=0，3∫xdx∫x−x1xe⋅tedt=∫xdx⋅xe(−te−e)x−x21F(x)=当x>0时，232−x−t32−x−t−t232336632332300001`∫x=[(x4−x3x−x3)e−x+xe]dx32−x2622220=⎜x5−14x4x−1x⎞⎟e−x−xe−3xe−6xe−6e⎡⎛116⎝5⎣⎤x⎢44⎠232−x22−x−x−x⎥⎦22222220=⎜x5−14x5−x⎟e−x−16x3e−x−12x2e−x−xe−x−e−x−(−1)1⎛16⎝51⎞4⎠4=1−e−x−xe−x−12x2e−x−16x3e−x−214x4e−x−1x5e−x，120t3因分布函数F(x)连续，有X=T1+T2+T3为连续随机变量，33故X3=T1+T2+T3的密度函数为⎧1⎪⎨x5e−x,x>0,x≤0.p(x)=F′(x)=1200,33⎪⎩x02x2t方法三：卷积公式（增补变量法）p(x)=∫+∞p(x−t)p(t)dt，x（1）两周需要量为X=T1+T2，卷积公式22T2T222−∞1作曲线簇t1+t2=x，得x的分段点为0，当x≤0时，p(x)=0，t120当x>0时，p(x)=∫x(x−t)e⋅tedt=∫x(xt−t2)e−xdt=⎜t2x−t⎟e=16x3e−x，⎛1⎝21⎞3⎠2x−(x−t2)−t3−x222222222000故X2=T1+T2的密度函数为⎧1p(x)=⎪⎨x3e−x,x>0,62⎪0,x≤0.⎩p(x)=∫+∞p(x−t)p(t)dt，X=T1+T2+T3=X2+T3，卷积公式3（2）三周需要量为3X3T333−∞2作曲线簇x2+t3=x，得x的分段点为0，当x≤0时，p(x)=0，314∫x106∫x106p(x)=(x−t)3e3te−t3dt=(x3t−3xt+3xt3−t4)e−xdt当x>0时，−(x−t3)2233333333t3=⎜t2x3−t3x2+43t4x−t⎟e−x1⎛16⎝231⎞5⎠3x1=x5e−x，x5120330故X3=T1+T2+T3的密度函数为x2⎧1120⎪0,⎩0p(x)=⎪⎨x5e−x,x>0,3x≤0.9．设随机变量X与Y相互独立，试在以下情况下求Z=X+Y的密度函数：（1）X~U(0,1)，Y~U(0,1)；（2）X~U(0,1)，Y~Exp(1)．解：方法一：分布函数法y（1）作曲线簇x+y=z，得z的分段点为0,1,2，当z<0时，F(z)=0，Z=∫zdx∫=∫z⎛1⎞⎟=1z2，20(z−x)dx=z−1−12(z−x)21z当0≤z<1时，F(z)zx1dy0−=⎜−(z−x)dxzxx2⎝2⎠Z000xz1∫z−1dx∫11dy+∫1dx∫z−x1dy=∫z−11dx+∫1当1≤z<2时，F(z)=Z00z−100z−1z−1=z−1−12(z−1)2+1=2z−12z2−1，2y当z≥2时，F(z)=1，Z因分布函数F(z)连续，有Z=X+Y为连续随机变量，Z故Z=X+Y的密度函数为x0z−11⎧z,0≤z<1,⎪yp(z)=F′(z)=2−z,1≤z<2,⎨ZZ⎪y0,⎩其他.（2）作曲线簇x+y=z，得z的分段点为0,1，当z<0时，F(z)=0，Z当0≤z<1时，xxz1100∫dx∫z−x−ydy=∫zdx∫⋅(−e−y)z−x=z(1−e−z+x)dx=(x−e−z+x)z=z−1+e−z，()=FzZze000000当z≥1时，∫1dx∫∫1dx⋅(−e−y)z−x∫1(1−e−z+x)dx=(x−e−z+x)()=FzZz−x−ydy=0e=10=1−e1−z+e−z，0000因分布函数F(z)连续，有Z=X+Y为连续随机变量，Z故Z=X+Y的密度函数为⎧−1e−z,0≤z<1,⎪p(z)=F′(z)=(e−1)e−z,z≥1,⎨ZZ⎪⎩0,z<0.y方法二：卷积公式（增补变量法）z卷积公式p(z)=∫+∞p(z−y)p(y)dy，ZXY−∞（1）作曲线簇x+y=z，得z的分段点为0,1,2，x0115当z≤0或z≥2时，p(z)=0，Zy1当0<z<1时，pz()=∫z1dy=z，Z0()=∫11dy=2−z，z−1当1≤z<2时，pzZz−1故Z=X+Y的密度函数为x01⎧z,0≤z<1,⎪p(z)=2−z,1≤z<2,⎨Z⎪0,其他.⎩y（2）作曲线簇x+y=z，得z的分段点为0,1，当z≤0时，p(z)=0，Zz∫p(z)=zedy=(−e−y)z=1−e−z，当0<z<1时，−yZ00x1p(z)=∫ze−ydy=(−e−y)z−1=−e−z+e=(e−1)e−z，z1−+0当z≥1时，zyZz−1z故Z=X+Y的密度函数为⎧−0≤z<1,1e−z,⎪p(z)=(e−1)e−z,z≥1,⎨z−1Z⎪x0,z<0.1⎩010．设随机变量X与Y相互独立，试在以下情况下求Z=X/Y的密度函数：λλy（1）X~U(0,1)，Y~Exp(1)；（2）X~Exp(1)，Y~Exp(2)．解：方法一：分布函数法1/z（1）作曲线簇x=z，即直线簇y=x，得z的分段点为0，yzx1当z≤0时，F(z)=0，0Z1=∫1∫dx+∞e−ydy=∫=∫e−zdx=(−z)e−xz=z(1−e−z)，x11dx⋅(−e−y)+∞x1当z>0时，F(z)Zx000zz0因分布函数F(z)连续，有Z=X/Y为连续随机变量，Z故Z=X/Y的密度函数为⎧⎪1−e−1z−1e−1z,z>0;yp(z)=F′(z)=⎨zZZ⎪⎩0,z≤0.（2）作曲线簇x=z，即直线簇y=x，得z的分段点为0，yz当z≤0时，F(z)=0，x0Z∫+∞∫e−λ1x⋅e−λydy=∫+∞dx⋅e−λ1x⋅(−e−λ2y)+∞∫+∞λx+∞λλ2λ1λ1e−λ1x⋅e−2F(z)=dx=dx当z>0时，z2Zx1x000zzλ+∞λz1=∫+∞λλλe−(λ1+z2)xdx=−e−(λ1+2)x=λλ，1λzz+1λ12+0120z因分布函数F(z)连续，有Z=X/Y为连续随机变量，Z16故Z=X/Y的密度函数为λλλλ⎨(z+)2⎧⎪,z>0;z≤0.12p(z)=F′(z)=ZZ⎪0,12⎩方法二：增补变量法（1）函数y关于x严格单调增加，增补变量v=y，z=x/y对任意固定的⎧z=x/y,⎧x=zv,′′xxvz=v，v=01可得⎩⎨v=y,有反函数⎨y=v,且J=zy′′yyz⎩v1/z则p(z)=∫+∞p(zv,v)⋅|v|dv，Z−∞x作曲线簇x/y=z，得z的分段点为0，当z≤0时，pZ(z)=0，10∫⎛1⎞⎝z⎠−111−vz0−111当z>0时，p(z)=ze−v⋅vdv=−(v+1)e=−+⎜1⎟e+1=1−e−e−zzzz，Z0故Z=X/Y的密度函数为⎧1−e−1z−1e−1z,z>0;⎪p(z)=Z⎨0,z⎪⎩z≤0.（2）作曲线簇x/y=z，得z的分段点为0，当z≤0时，pZ(z)=0，⎡⎤+∞∫+∞v1λz+λλλ(z+)2λ1λλλ当z>0时，p(z)=Ze−λzv⋅e−λ2v⋅vdv=−+e⎢⎣⎥⎦−λ+λ2)v(z11212012120yλλλλ(z+)2=，1212故Z=X/Y的密度函数为λλλλ⎧⎪x12p(z)=Z0⎪0,12z≤0.⎩11．设X1,X2,X3为相互独立的和的概率．设A分别表示Xi大于其他两者之和，i=1,2,3，随机变量，且都服从(0,1)上的均匀分布，求三者中最大者大于其他两者之x3解：i显然A1,A2,A3两两互不相容，且P(A1)=P(A2)=P(A3)，则P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=3P(A3)=3P{X3>X1+X2}x21因X1,X2,X3相互独立且都服从(0,1)上的均匀分布，1x101113×1×2=16，则由几何概型知P{X>X+X}=1312P(AUAUA)=3P{X>X+X}=1．故122331212．设随机变量X与