解三角形讲义

解三角形一、正余弦定理［知识要点］对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题。一、知识要点 abc1、正弦定理：=^――=^―-=2R。sinAsinBsinC例题1，A=30，jb=V2a,求C2，A=60o,a=J3b,求C3，A=45o,a=2bb,求C正弦定理的推广应用例题：acosA=bcosB,则三角形ABC是三角形C的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A=«2a，则一二a1.ABC中，角A、B、C所对的边分别为2,折如已知恒52。=-(I)求sinC的值；(II)当a=2,2sinA=sinC时，求b及c的长.2、余弦定理：b2+c2-a2cosA= 2bcaa2+c2-b2cosB= 2ac「a2+b2-c2cosC= 2aba2=b2+c2—2bccosA；b2=c2+a2—2cacosB；c2=a2+b2—2abcosC。例题：b2+c2=bc+a2，则UA=b2+c2+J2bc=a2,则a=

3、三角形的面积公式：1 1SAABC=-absinC=—bcsinA=-acsinB；2 2 24、其他相关知识：a2+b2>c2,则C<90。,a2+b2<c2,则C>90。。(2)因为在^ABC中，A+B+C=n，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=—cosC；tan(A+B)=—tanC,课堂训练.若x是三角形的最小角,则y=sinx的值域是A.[-1,1A.[-1,1〕B.(毋D.NJ2.在2.在^ABC中，已知a=<2,b=、运,B=60°,那么角A等于A.135A.135。 B.90。 C.45D.30。.在△ABC中，已知a=1,c=2,B=30。，则S11A.1B.2C.2D.4.在^ABC中，已知a=2,b=v;3,c=3,则cosC5 1A.5 1A.6 B,6C.n_<3~6.在^ABC中，已知a=3,b=4,c=2,则c•cosB+b•cosC=A.2 B.3 C.46.在^A.2 B.3 C.46.在^ABC中，33 33A.16 B,-56D.5cosB=-153,cosC=4,tanA的值为33 63C.56 D.16.在^ABC中,设A（5,3）B（4,5）C（1,1）,则AABC的面积等于A.15b.10C.7.5d.5.在AABC中，若sinA:sinB:sinC=2:3:4，则AABC是A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐三角形 D.等腰直角三角形.在AABC中，若a=4,b=3,c=2，则AABC边BC的中线AD长为10A.v10B.C.v/15 5~TD210.10.在△ABC中有等式：①asinA=bsinB；②asinB=bsinA；③acosB=bcosA；④sinAsinB+sinC.其中恒成立的等式序号为（ ）A.①,④B.②，③C.②,④ D.②，④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上..在4ABC中，若a2+c2—b2=73ac，则角B的值为..△ABC中，a=5,b=6,c=7,则abcosC+bccosA+cacosB▲..在AABC中，如果1ga-1gc=IgsinB=-1gv'2，且B为锐角，则三角形的形状是―一一 a+c.在AABC中，B=30。，C=45。，则 = .b［巩固训练］（06安徽理11文11）如果AA1B1cl的三个内角的余弦值分别等于AA2B2C2的三个内角的正弦值，则（）AABC和AABC都是锐角三角形AAB.C和AABC都是钝角三角形aA1BC1是钝角三角形，AA2B2C2是锐角三角形AA1BC是锐角三角形，AA2B2c2是钝角三角形2。（06山东理4文6）4.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知A=g,a=<3,b=1,则c=（）（A）1（B）2（C）<3-1（D）33.（06四川理11文11）设a,b,c分别是AABC的三个内角A,B,C所对的边，则a2=b（b+c）是A=2B的（ ）（A）充要条件 （B）充分而不必要条件（C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件.（全国1理6文8）AABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c，若a,b,c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A.C4D.A.C4D.5（06北京理12文12）在AABC中，若sinA:sinB:sinC=5:7:8，则/B的大小是（06湖北文11）在AABC中，已知a=4五，b=4，A=30°，则sinB=.3.（2008年山东理15）已知a，b，c为^ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m=（<3，-1），n=（cosA，sinA）.若m±n，且acosB+bcosA=csinC，则角B=2（本小题满分12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，以已知c0sA-2cosc=2c±.cosBb

(I)求sinC的值；sinA1(II)若cosB=,b=2求AABC的面积S.4 ，9(06全国2文17)(12分)在AABC中，/B=45。,AC=<10,cosC= ，求(1)BC=?(2)若点D是AB的中点，求中线CD的长度。11在AABC中，A,B,C的对边分别是a,b,c，已知3acosA=ccosB+bcosC.(1)求cosA(1)求cosA的值;⑵若a=1,cosB+cosC=2v3求边c的值.tanA+tanB12.在AABC中，a、b、c分别为/A、/B、/C的对边，已知1-tanA•tanB……,3<3

三角形面积为一二.⑴求/C的大小；⑵求a+b的值.

三角函数高考题集锦.设向量a=(4cosa,sina),b=(sinB,4cosP),c=(cosP,-4sinP)(1)若a与b-2C垂直，求tan(a+P)的值；(2)求Ib+CI的最大值;—► —►(3)若tanatanP=16，求证：a//b.兀、.已知向量a=(sin0,-2)与b=(1,cosO)互相垂直，其中0g(0,—).(1)求sin0和cos0的值；(2)若sin(0-^)= ,0<?<$,求cos3的值.兀.已知函数f(x)=cos(2x+—)+sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期.1二-二，且1二-二，且C为锐角，求sinA.4(2)设A,B,C为AABC的二个内角，若cosB=",.设函数f(x)=2sinxcos2:■+cosxsin①-sinx(0<p<k)在x=兀处取最小值.⑴求中.的值3(2)在AABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边，已知a=1,b=v2,f(A)=—，求角C..兀.已知函数f(x)=Asin(3x+9),xgR(其中A>0,3>0,0<p<—)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为y，且图象上一个最低点为M弓,-2).八 兀兀 八(1)求f(x)的解析式；(2)当xg［高,万］,求f(x)的值域.,,兀.已知函数f(x)―sm(3x+①),其中①〉0,I^1<—(1)若cos—cos①一sin巳sin①=0,求①的值;4 4(2)在(I)的条件下，若函数f(x)的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于g，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图像象左平移m个单位所对应的函数是偶函数。2兀.设函数f(x)—(sin3x+cos3x)2+2cos23x(3>0)的最小正周期为—.(1)求①的最小正周期.〃 兀(2)若函数y—g(x)的图像是由y—f(x)的图像向右平移不个单位长度得到，求y—g(x)的单调增区间.一 一一 . 一,3 10.在.ABC中，A,B为锐角，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且cos2A―5,sinB=毛-(1)求A+B的值；(2)若a+b—v12—1，求a,b,c的值。9..在锐角^ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且―2csinATOC\o"1-5"\h\z- 3./3（1）确定角C的大小：（2）若。=v7，且AABC的面积为不，求a+b的值。3, 一0..设AABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,cos(A—C)+cosB=-,b2=ac,求B。HY