2021-2022学年福建省漳州市高二上学期期末质量检测数学试题(解析版)

2021-2022学年福建省漳州市高二上学期期末质量检测数学试题一、单选题1．直线3xy40的倾斜角大小为（）A．30B．60C．120D．150【答案】B【分析】将直线方程变为斜截式，根据斜率与倾斜角关系可直接求解.【详解】由直线3xy40可得y3x4，所以k3，设倾斜角为，则ktan3因为0180所以60故选：Bnaaaa452．已知等差数列满足，则aa等于（）45628A．30B．20C．15D．10【答案】Aa5.【分析】利用等差中项求出的值，进而可求得的值aa28aaa3a45a15aa2a30.285【详解】因为故选：A.得，因此，456553．如图所示，用3种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C中，要求相邻的矩形不能使用同一种颜色，则不同的涂法有（）ABCA．3种B．6种C．12种D．27种【答案】C【分析】根据给定信息，按用色多少分成两类，再分类计算作答.【详解】计不算同的涂色方法数有两类办法：用3种颜色，每个矩形涂一种颜色，有A3种方法，用2色，矩形A，C涂同色，有A2种33第1页共14页方法，由分类加法计数原理得A3A212(种)，33所以不同的涂法有12种.故选：C4．在平面几何中，将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆.如线段的最小覆盖圆就是以该线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆就是该三角形的外接圆.若A(2,0)，B(2,0)，C(0,4)，则ABC的最小覆盖圆的半径为（）3A．B．2C．52D．32【答案】C【分析】根据新定义只需求锐角三角形外接圆的方程即可得解.【详解】A(2,0)，B(2,0)，C(0,4)，△ABC为锐角三角形，△ABC的外接圆就是它的最小覆盖圆，设ABC外接圆方程为x2y2DxEyF0，42DF0D0解得42DF0,E3则164EF0F4325△ABC的最小覆盖圆方程为x2y23y40，即x2(y)，224△ABC的最小覆盖圆的半径为5.2故选：C5．已知椭圆x2y2FFPF6，则△PFF的左、右焦点分别为、，点P在椭圆上，若1251612112的面积为（）A．8B．82C．16D．162【答案】B【分析】求出PF，可知△PFF为等腰三角形，取PF的中点M，可得出MFPF，221221MF利用勾股定理求得，利用三角形的面积公式可求得结果.1【详解】在椭圆x2y2b43，所以，FF2c6，b2121中，a5，，则ca22516由椭圆的定义可得PF2aPF4，21取PF的中点M，因为2PFFF1MFPF，则，1212第2页共14页由勾股定理可得MFPF2PM2622242，11所以，S1PFMF144282.22△PFF2112故选：B.naSa1a2a3aSa，则与的6．已知递增等比数列的前n项和为，，且n143220212021关系是（）A．S2a3B．S2a32021202120212021C．2S3a1D．2S3a12021202120212021【答案】Dq【分析】设等比数列的公比为qq0，由已知列式求得，再由等比数列的通项公式与前n项和求解.【详解】设等比数列的公比为qq0，a2a3aq，得22q30，由432q3q10，所以又q0，所以q3，320211，1320211所以a32020，S132220212021所以S3202013a132222202120212S3a1即20212021故选：D7．2020年底以来，我国多次在重要场合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收量可以正负抵消，实现二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一个碳原子和两个氧原子构成的，其结构式为OCO.已知氧有16O、17O、18O三种天然同位素，碳有12C、13C、14C三种天然同位素，则由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有（）A．9种B．12种C．18种D．27种【答案】C【分析】分两种情况讨论：两个氧原子相同、两个氧原子不同，分别计算出两种情况下二氧化碳分子的个数，利用分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：若两个氧原子相同，此时二氧化碳分子共有339种；若两个氧原子不同，此时二氧化碳分子共有C239种.3由分类加法计数原理可知，由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有9918种.故选：C.y28．已知双曲线x21(b0)的左、右焦点分别为，，过点F作直线l交双曲线FFb1222的右支于A，B两点.若|AB|:AF:BF3:3:2，则双曲线的离心率为（）11113333A．B．C．D．112【答案】ABFBF【分析】根据给定条件结合双曲线定义求出，，再借助余弦定理求出半焦距c12即可计算作答.|AB|:|AF|:|BF|3:3:2，令|AB|AF3m，BF2m，而双曲线实半【详解】因1111轴长a1，由双曲线定义知BF2m2，AF3m2，221|BF|1，1|AB|3而|AB|AFBF2ABF1中，cosABF，于是可得m2，在等腰221令双曲线半焦距为c，在△BFF12中，由余弦定理得：|FF|2|BF|2|BF|22|BF||BF|cosFBF，12121212而BF4，BF2，(2c)242222421，解得c33，3312所以双曲线的离心率为ec33.a3故选：A第4页共14页【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率的方法：(1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得a,c得值，根据离心率的定义求解离心率；(2)齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；(3)特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.二、多选题9．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则下列结论正确的是（）A．从六门课程中选两门的不同选法共有20种B．课程“数”不排在最后一天的不同排法共有600种C．课程“礼”、“书”排在相邻两天的不同排法共有240种D．课程“乐”、“射”、“御”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种【答案】BC【分析】根据给定条件利用排列、组合知，识逐项分析计算判断作答.【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有C215种，A不正确；6对于B，前5天中任取1天排“数”，再排其它五门体验课程共有5A5600种，B正确；5对于C，“礼”、“书”排在相邻两天，可将“礼”、“书”视为一个元素，不同排法共有2A52405种，C正确；对于D，先排“礼”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”、“射”、“御”，不同排法共有A3A314434种，D不正确.故选：BC2210．已知圆C:x1y22，圆C:x2y32，M、N分別为圆C、C22121上的动点，P为直线l:xy40上的动点，则下列结论正确的是（）A．圆C与圆C相切12B．圆心C、C到直线l的距离相等12MNC．的最小值为222D．PM的最小值为2【答案】BD【分析】利用几何法判断两圆的位置关系，可判断A选项；利用点到直线的距离公式第5页共14页可判断B选项；计算得出MNCCrr（其中、分别为圆、圆的半径），minrr2CC1212121可判断C选项；计算得出PMdrmin（其中d为圆心C到直线l的距离），可判断D1111选项.，【详解】对于A选项，圆C的圆心为C1,0，半径为r2，圆C的圆心为C2,321121半径为r2，2因为CC120332rr，故两圆外离，A错；2212121432对于B选项，圆心C到直线l的距离为d，221123432圆心C到直线l的距离为d，对；B2222对于C选项，MNCCrr2，C错；1212min，则直线l与圆C相离，则PMdr2，D对.对于D选项，故选：BD.dr111211min11．已知动点P与定点F(2,0)的距离和它到直线l:x1的距离的比是常数2，则下列结论正确的是（）A．动点P的轨迹方程为x2y22B．|PF|22C．直线yx1与动点P的轨迹有两个公共点D．若M(5,1)，则|PM||PF|的最小值为32【答案】ABD【分析】根据给定条件求出动点P的轨迹方程，再逐项分析、计算判断作答.(x2)2y2【详解】设点P(x,y)，依题意，的轨迹是双曲线，2，化简整理得：x2y2，点P2|x1|左焦点F(2,0)，右焦点F(2,0)，实半轴长a2，所以动点P的轨迹方程为x2y22，A正确；F是右焦点，由双曲线的性质知，则当点P是右支的顶点时，|PF|取最小值，此时|PF|22，B正确；第6页共14页3xyx1由x2y22解得21，即直线yx1与动点P的轨迹只有一个公共点(3,1)，22y2C不正确；对于D，因F是右焦点，点M在双曲线右支的含焦点的一侧，要|PM||PF|最小，点P必在双曲线右支上，由双曲线定义知，|PM||PF||PM||PF|22|FM|22(25)212232，当且仅当点P是线段FM与双曲线右支的交点时取“=，”即|PM||PF|的最小值为32，D正确.故选：ABDn12．已知S是数列的前n项和，若，a0(nN*)，aa3S1(nN*)，aa11nnnn1n则下列结论正确的是（）naA．a22B．数列为等差数列C．aa2aD．S30020nn4n2【答案】ACDa【分析】根据给定条件探求出数列的特性，再逐项分析、计算判断作答.naa3S1n2aa3S1，当时，【详解】nN*，，两式相减得：nn1nn1nn1a(aa)3aa0aa3，而，则，nn1n1nnn1n1aa3S13a12，则a2，A正确；2当n1时，1211aa34aa1aa2aaaa，数列不是等差数列，1an因，，，即312132322B不正确；aa3aa3aaaaaa2a因nN*，，则，即有，成n2n2nn4n2n4n2n2nnn4立，C正确；由C选项的判断信息知，数列的奇数项是以为首项，3为公差的等差数列，a1an1a数列的偶数项是以a2为首项，3为公差的等差数列，n2S(aaa)(aaa)(10a453)(10a453)300，D正确.201319242012故选：ACD第7页共14页【点睛】易错点睛：等差数列定义是判断数列是等差数列的重要依据，但易漏掉定义中的“从第2项起”与“同一个常数”的条件.三、填空题13．直线y2x1的一个法向量n________.【答案】(2,1)（答案不唯一）【分析】根据给定直线方程求出其方向向量，再由法向量的意义求解作答.【详解】直线y2x1的方向向量为，而，a(1,2)na0所以直线y2x1的一个法向量n(2,1)故答案为：(2,1).1614．在x的二项展开式中，常数项的值为__________x【答案】153r【分析】写出二项展开式通项，通过60得到r4，从而求得常数项.21rr23rCrx626【详解】二项展开式通项为：Crx6rCrx6rxx663r当60时，r42常数项为：C4156本题正确结果：15【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.n15．已知等比数列的前n项和为S，若，a，则______.S4S28Sn4128【答案】12q【分析】设等比数列an的公比为，根据已知条件求出q4的值，由此得可出4SS1q4.的值8qa【详解】设等比数列的公比为，n159则Saaaaaaaaaaaa122346781011121181aaaaqaaaaqaaaa44234232344S1qq41qq28，4884整理得可q8q460，q40，解得q42，第8页共14页15141因此，Saaaaaaaaaaaaqaaaa8234678234234S1q41212.44故答案为：12.四、双空题16．已知O为坐标原点，A(x,y)，B(x,y)(yy0)是抛物线y24x上的两点，且满112212足OAOB12，则yy______；若OM垂直AB于点M，且|MQ|为定值，则点Q的12坐标为__________.【答案】-24(3,0)【分析】由抛物线的方程及数量积的运算可求出yy，设直线AB的方程为xmyt，12联立抛物线方程，由根与系数的关系可求出t，由圆的定义求出圆心即可.yy22【详解】由OAOBxxyy12，即yy12,1244121212解得yy24或12yy812（舍去）.设直线AB的方程为xmyt.xmyt由y24x，消去x并整理得y24my4t0,yy4m,yy4t.1212yy24t6，，12又直线AB恒过定点N(6,0),OM垂直AB于点M，点M在以ON为直径的圆上.|MQ|为定值，点Q为该圆的圆心，又即Q(3,0).故答案为：24；(3,0)五、解答题17．已知直线l:2xy10，直线l经过点(1,2)且与直线l平行，设直线l分別与x1212轴，y轴交于A，B两点.(1)求点A和B的坐标；(2)若圆C经过点A和B，且圆心C在直线l上，求圆C的方程.1第9页共14页【答案】(1)A(2,0)，B(0,4)；(2)(x1)2(y1)210.【分析】（1）由直线平行及所过的点，应用点斜式写出直线l方程，进而求AB坐标.、2（2）由（1）求出AB垂直平分线方程，并联立直线l求圆心坐标，即可求圆的半径，1进而写出圆C的方程.【详解】(1)由题设，l的斜率为2，又直线l与直线l平行且过(1,2)，121ly22(x1)，即2xy40，所以直线为2令x0，则y4；令y0，则x2.所以A(2,0)，B(0,4).(2)由（1）可得：AB垂直平分线为y21(x1)，即x2y30，2x2y30x1y1联立2xy10，可得，即C(1,1)，故圆的半径为r|AC|10，所以圆C的方程为(x1)2(y1)210.n18．已知等差数列的前n项和为，，且aSa3S10.n34a(1)求数列的通项公式；n2(2)证明：数列的前n项和T3.aan2nn2【答案】(1)ann(2)证明见解析.nadad【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出1a这两个量的值，可得出数列的通项公式；n211（2）求得，利用裂项法可求得T，即可证得原不等式成立.naann2nn2aa2d3nad【详解】(1)解：设等差数列的公差为，则S4a6d10，解得ad1，43111因此，aan1dn.n12211(2)证明：aann2nn2，nn2第10页共14页T111111111111因此，32435nn22n1n2n32n33.2n1n22故原不等式得证.*，其中a60.219．已知12xaaxax2axn，nNn012n00(1)求aaaaaaa1a的值；n12n12n(2)设12a2b（其中a、b为正整数），求a22b2的值.n【答案】(1)729；(2).a2b122【分析】（1）fx12xaaxax2axn，nN*，写出12xn的展开n012n式通项，由a602可得出关于n的方程，解出n的值，再利用赋值法可求得所求代数式的值；6的展开式，求出a、b的值，即可求得a22b2的值.（2）写出12【详解】(1)解：设fx12xaaxax2axn，nN*，n012n12x的展开式通项为TCr2xCr2rxr，nrr1nn所以，aC2222nn160，即n2n300，nN，解得，n62n所以，fx12xaaxax2ax66012600aaaaaaaaf1f1316729.1612626(2)解：1261C2C22C23C24C25C2616263646566699702，a99，b70，因此，a22b299227021.20．已知点F为抛物线的焦点，点A(a,4)在抛物线上，且|AF|5.x22py(0)p(1)求该抛物线的方程；(2)若点A在第一象限，且抛物线在点A处的切线交y轴于点M，求△AFM的面积.【答案】(1)x24y;(2)10.【分析】（1）由|AF|5根据抛物线的定义求出p可得抛物线方程；（2）求出抛物线过点A的切线，得出点M的坐标即可求三角形面积.第11页共14页【详解】(1)由抛物线的定义可知|AF|4p5，2即p2，抛物线的方程为x24y.(2)a24416，且A在第一象限，a4，即A(4,4)，显然切线的斜率存在，故可设其方程为y4k(x4)，y4k(x4)y，消去得x24k(x4)4，即x24kx16k160，由x24y令16k24(16k16)0，解得k2，切线方程为y2x4.令x=0，得y4，即M(0,4),又F(0,1)，|FM|5，S1|MF||x|15410.22△AFMA21．国家助学贷款由国家指定的商业银行面向在校全日制高等学校经济困难学生发放.用于帮助他们支付在校期间的学习和日常生活费.从2021年秋季学期起，全日制普通本专科学生每人每年申请贷款额度由不超过8000元提高至不超过12000元，助学贷款偿还本金的宽限期从3年延长到5年.假如学生甲在本科期间共申请到48000元的助学贷款，在诺毕业后5年内还清，已知该学生毕业后立即参加工作，第一年的月工资为3000元，第13个月开始，每个月工资比前一个月增加5%直到8000元，此后工资不再浮动.(1)学生甲参加工作后第几个月的月工资达到8000元；(2)如果学生甲从参加工作后的第一个月开始，每个月除了偿还应有的利息外，助学贷款的本金按如下规则偿还：前12个月每个月偿还本金100元，第13个月开始到第59个月每个月偿还的本金比前一个月多30元，第60个月偿还剩余的本金.则他第60个月的工资是否足够偿还剩余的本金.（参考数据：1.05102.53；1.05202.65；1.05212.79）【答案】(1)33；(2)不能，理由见解析.【分析】（1）设甲参加工作后第xxN个月的月工资达到8000元，根据已知条件可得出关于x的不等式，结合参考数据可求得结果；（2）分析可知从第13个月开始到第59个月偿还的本金是首项为130为首项，以30为公第12页共14页差的等差数列，计算出甲前59个月偿还的本金，再由甲第60个月的工资可得出结论.【详解】(1)解：设甲参加工作后第xxN个月的月工资达到8000元，80008则300015%8000，可得1.05x12，xN，解得x33，x1230003所以，学生甲参加工作后第33个月的月工资达到8000元.(2)解：因为甲前12个月每个月偿还本金100元，第13个月开始到第59个月每个月偿还的本金比前一个月多30元，所以，从第13个月开始到第59个月偿还的本金是首项为130为首项，以30为公差的等差数列，4746所以，前59个月偿还的本金为12100130473039740，2因为第13个月开始，每个月工资比前一个月增加5%直到8000元，所以，第60个月的工资为8000元，因为80005000039740，因此，甲第60个月的工资不能足够偿还剩余的本金.xy22．已知椭圆1(ab0)的焦距为23，点(3,1)在椭圆上.过点M(1,0)的22ab222直线l交椭圆于A，B两点.(1)求该椭圆的方程；(2)若点P为直线x4上的动点，记直线PA，PM，PB的斜