（全国通用）2023高考数学大一轮复习第二篇函数导数及其应用第9节函数模型及其应用习题理

PAGEPAGE10第9节函数模型及其应用【选题明细表】知识点、方法题号一次、二次函数模型1,3,4,6,7,8,14指、对数函数模型2,9根本不等式模型及函数模型综合应用5,10,11,12,13,15根底对点练(时间:30分钟)1.如表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据,判断它最可能的函数模型是(A)x45678910y15171921232527(A)一次函数 (B)二次函数(C)指数函数 (D)对数函数解析:由表可知,自变量x每增加1个单位,y的值增加2个单位,因此是一次函数模型.应选A.2.导学号18702093一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,剩余的物质为原来的45,当剩余的物质为原来的64(A)5年 (B)4年 (C)3年 (D)2年解析:由指数函数模型知(45)x=64解得x=3.3.A,B两城相距100km,在两地之间距A城xkm处的D地建一座核电站给A,B两城供电,为保证城市平安,核电站距城市的距离不得少于10km.供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数为0.25,且A城供电量为20亿度/月,B城为10亿度/月,要使供电费用最小,那么x等于(B)(A)50km (B)1003km (C)25km (D)解析:由题意知供电费用y=5x2+52(100-x)2(10≤x≤那么y=152x2-500x+25000=152(x-1003)故x=10034.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙的距离分别是am(0<a<12),4m,不考虑树的粗细,现在用16m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为Sm2,S的最大值为f(a),假设将这棵树围在花圃内,那么函数u=f(a)的图象大致是(C)解析:设CD=x,那么S=x(16-x)(4<x<16-a),u=Smax=f(a)=645.某学校拟建一块周长为400米的操场,如下图.操场的两头是半圆形,中间区域是矩形,学生做操一般安排在矩形区域,为了能让学生的做操区域尽可能大,矩形的长应该设计成(B)(A)50米 (B)100米 (C)125米 (D)150米解析:设矩形的长为x米,半圆的直径为d米,中间矩形的面积为S平方米,依题意可得,2x+πd=400,d=400-S=dx=400-2=12π(400-2x)·2x≤12π=20当且仅当400-2x=2x,即x=100时,学生的做操区域最大.即矩形的长应该设计成100米.选B.6.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率〞.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最正确加工时间为(B)(A)3.50分钟 (B)3.75分钟(C)4.00分钟 (D)4.25分钟解析:由实验数据和函数模型知,二次函数p=at2+bt+c的图象过点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5),分别代入解析式,得0解得a所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-3.75)2+0.8125,所以当t=3.75分钟时,可食用率p最大.7.某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克,如下图为函数y=f(x)的图象,当血液中药物残留量不小于240毫克时,治疗有效.设某人上午8:00第一次服药,为保证疗效,那么第二次服药最迟的时间应为(C)(A)上午10:00 (B)中午12:00(C)下午4:00 (D)下午6:00解析:当x∈[0,4]时,设y=k1x,把(4,320)代入,得k1=80,所以y=80x,当x∈[4,20]时,设y=k2x+b.把(4,320),(20,0)代入得4解得k所以y=400-20x.所以y=f(x)=80由y≥240,得0≤x所以3≤x≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4:00.8.某商场出售一种商品,每天可卖1000件,每件可获利4元.据经验,假设这种商品每件每降价0.1元,那么比降价前每天可多卖出100件,为获得最好的经济效益每件单价应降低元.

解析:设降低x元,总利润为y元,由题意得y=(1000+x0.1×100)化简得y=-1000x2+3000x+4000,对应的二次函数图象对称轴为x=32因为32∈所以x=32答案:1.59.有某种细胞100个,其中占总数12的细胞每小时分裂一次,即由1个细胞分裂成2个细胞,按这种规律开展下去,经过小时,细胞总数可以超过1010个.(参考数据:lg3≈0.477,lg2≈0.301)解析:现有细胞100个,先考虑经过1,2,3,4小时后的细胞总数,1小时后细胞总数为12×100+12×100×2=32小时后细胞总数为12×32×100+12×32×100×3小时后细胞总数为12×94×100+12×94×100×4小时后细胞总数为12×278×100+12×278×100×可见,细胞总数y(个)与时间x(时)之间的函数关系为y=100×(32)x,x∈N+由100×(32)x>1010,得(32)x>10两边取以10为底的对数,得xlg32所以x>8lg3因为8lg3-lg2≈所以x>45.45,故经过46小时,细胞总数可以超过1010个.答案:4610.为了优化城市环境,方便民众出行,某市在某路段开设了一条仅供车身长为10m的BRT行驶的专用车道.据数据分析发现,该车道上行驶中前、后两辆BRT公交车间的平安距离d(m)与车速v(km/h)之间满足二次函数关系d=f(v).现车速为15km/h时,平安距离为8m;车速为45km/h时,平安距离为38m;出行堵车状况时,两车平安距离为2m.(1)试确定d关于v的函数关系d=f(v);(2)车速v(km/h)为多少时,单位时间内通过这条车道的公共汽车数量最多,最多是多少辆?解:(1)设d=f(v)=av2+bv+c(a≠0),将点(0,2),(15,8),(45,38)分别代入得c=2,225a+15b所以d=f(v)=175v2+1(2)设单位时间内通过的汽车数量为Q,那么Q=1000vd+10当且仅当v75=12答:当v为30km/h时通过的汽车数量最多,最多为1000辆.能力提升练(时间:15分钟)11.我们定义函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数〞;定义y={x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数〞;例如[4.3]=4,[5]=5;{4.3}=5,{5}=5.某停车场收费标准为每小时2元,即不超过1小时(包括1小时)收费2元,超过一小时,不超过2小时(包括2小时)收费4元,以此类推.假设李刚停车时间为x小时,那么李刚应付费为(单位:元)(C)(A)2[x+1] (B)2([x]+1)(C)2{x} (D){2x}解析:如x=1时,应付费2元,此时2[x+1]=4,2([x]+1)=4,排除A,B;当x=0.5时,付费为2元,此时{2x}=1排除D,应选C.12.(2022·北京东城区二模)一名顾客方案到商场购物,他有三张优惠券,每张优惠券只能购置一件商品,根据购置商品的标价,三张优惠券的优惠方式不同,具体如下:优惠券1:假设标价超过50元,那么付款时减免标价的10%;优惠券2:假设标价超过100元,那么付款时减免20元;优惠券3:假设标价超过100元,那么超过100元的局部减免18%.假设顾客购置某商品后,使用优惠券1比优惠券2、优惠券3减免的都多,那么他购置的商品的标价可能为(C)(A)179元 (B)199元 (C)219元 (D)239元解析:由题意,优惠券1比优惠券2减免的多,所以他购置的商品的标价超过200元.他购置的商品的标价为219元,优惠券1减免21.9元;优惠券2减免20元;优惠券3减免21.42元;标价为239元,优惠券1减免23.9元;优惠券2减免20元;优惠券3减免25.02元.应选C.13.汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车,这一过程中,由于人的反响需要时间,以及汽车惯性有一个刹车距离,设停车平安距离为s,驾驶员反响时间内汽车所行距离为s1,刹车距离为s2,那么s=s1+s2,而s1与反响时间t有关,s1=10ln(t+1),s2与车速v有关,s2=bv2.某人刹车反响时间为(e-1)秒.当车速为60km/h时,紧急刹车后滑行的距离为20米,假设在限速100km/h的高速公路上,那么该汽车的平安距离为米.(精确到米)

解析:因为刹车反响时间为(e-1)秒,所以s1=10ln(e-1+1)=10lne=5,当车速为60km/h时,紧急刹车后滑行的距离为20米,那么s2=b·602=20,解得b=1180即s2=1180v2假设v=100,那么s2=1180×1002≈56,s1那么该汽车的平安距离s=s1+s2≈5+56=61(米).答案:6114.某工厂的固定本钱为3万元,该工厂每生产100台某产品的生产本钱为1万元,设生产该产品x(百台),其总本钱为g(x)万元(总本钱=固定本钱+生产本钱),并且销售收入r(x)满足r(x)=-0(1)要使工厂有盈利,产品数量x应控制在什么范围?(2)工厂生产多少台产品时盈利最大?解:依题意得g(x)=x+3,设利润函数为f(x),那么f(x)=r(x)-g(x),所以f(x)=-(1)要使工厂有盈利,那么有f(x)>0,因为f(x)>0⇔0≤x⇒0≤x⇒0≤⇒3<x≤7或7<x<10.5,即3<x<10.5.所以要使工厂盈利,产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内.(2)当3<x≤7时,f(x)=-0.5(x-6)2+4.5,故当x=6时,f(x)有最大值4.5.而当x>7时,f(x)<10.5-7=3.5.所以当工厂生产600台产品时,盈利最大.15.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得10万元到1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过9万元,同时奖金不超过投资收益的20%.(1)假设建立函数y=f(x)模型制定奖励方案,试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的根本要求,并分析函数y=x150(2)假设该公司采用函数y=10x解:(1)设奖励函数模型为y=f(x),那么公司对函数模型的根本要求是:当x∈[10,1000]时,①f(x)是增函数;②f(x)≤9恒成立;③f(x)≤x5函数模型f(x)=x150当x∈[10,1000]时,f(x)是增函数,那么f(x)max=f(1000)=1000150所以f(x)≤9恒成立.因为x=10时,f(10)=115+2>10所以f(x)≤x5故该函数模型不符合公司要求.(2)对于函数模型f(x)=10x即f(x)=10-3a当3a+20>0,即a>-203要使f(x)≤9对x∈[10,1000]时恒成立,即f(1000)≤9,所以3a+18≥1000,所以a≥9823要使f(x)≤x5对x∈即10x-3所以x2-48x+15a≥0恒成立,所以a≥1925综上,a≥9823好题天天练(2022·江苏苏北三市高三最后一次模拟)经市场调查,某商品每吨的价格为x(1<x<14)百元时,该商品的月供应量为y1万吨且y1=ax+72a2a(a>0);月需求量为y2万吨且y2=-1224x2-1(1)假设a=17(2)记需求量与供应量相等时的价格为均衡价格,假设该商品的均衡价格不低于每吨6百元,求实数a的取值范围.解:(1)假设a=17,由y2>y1-1224x2-1112x+1>17x+72×(17解得-40<x<6.因为1<x<14,所以1<x<6.设该商品的月销售额为g(x),那么g(x)=y当1<x<6时,g(x)=17(x-12)x<