（全国通用）2023高考数学大一轮复习第十二篇坐标系与参数方程第1节坐标系习题理

PAGEPAGE4第十二篇坐标系与参数方程第1节坐标系【选题明细表】知识点、方法题号极坐标与直角坐标的互化1直线和圆的极坐标方程及应用2简单曲线的极坐标方程及应用3,41.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,设☉C的极坐标方程为ρ=2sinθ,点P为☉C上一动点,点M的极坐标为(4,π2)(1)求点Q的轨迹C1的方程;(2)试判定轨迹C1和☉C的位置关系,并说明理由.解:(1)由☉C的极坐标方程为ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ,所以☉C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,又点M的极坐标为(4,π2)所以点M的直角坐标为(0,4).设点P(x0,y0),点Q(x,y),那么有x02+(y0-1)因为点Q为线段PM的中点,所以x代入(*)得轨迹C1的方程为x2+(y-52)2=1(2)因为☉C的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1,圆心为(0,1),半径为1,而轨迹C1是圆心为(0,52),半径为1所以两圆的圆心距为322.在极坐标系中,曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρ=-2cosθ,ρcos(θ+π3)(1)求曲线C1和C2的公共点的个数;(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q,在OQ上取一点P,使|OP|·|OQ|=2,求点P的轨迹,并指出轨迹是什么图形.解:(1)C1的直角坐标方程为(x+1)2+y2=1,它表示圆心为(-1,0),半径为1的圆,C2的直角坐标方程为x-3y-2=0,所以曲线C2为直线,由于圆心到直线的距离为d=|-1-2所以直线与圆相离,即曲线C1和C2没有公共点.(2)设Q(ρ0,θ0),P(ρ,θ),那么ρ即ρ0=因为点Q(ρ0,θ0)在曲线C2上,所以ρ0cos(θ0+π3)=1,将①代入②,得2ρcos(θ+π3即ρ=2cos(θ+π3)为点P的轨迹方程,化为直角坐标方程为(x-12)2+(y+32)2=1,因此点P的轨迹是以(123.导学号49612292在极坐标系中,圆C是以点C(2,-π6)(1)求圆C的极坐标方程;(2)求圆C被直线l:θ=-5π12(解:法一(1)设所求圆上任意一点M(ρ,θ),如图,在Rt△OAM中,∠OMA=90°,∠AOM=2π-θ-π6因为cos∠AOM=|OM所以|OM|=|OA|·cos∠AOM,即ρ=4cos(2π-θ-π6)=4cos(θ+π6验证可知,极点O与A(4,-π6)故ρ=4cos(θ+π6)(2)设l:θ=-5π12(在Rt△OAP中,∠OPA=90°,易得∠AOP=π4所以|OP|=|OA|cos∠AOP=22.法二(1)圆C是将圆ρ=4cosθ绕极点按顺时针方向旋转π6而得到的圆,所以圆C的极坐标方程是ρ=4cos(θ+π6(2)将θ=-5π12代入圆C的极坐标方程ρ=4cos(θ+π6),得ρ=22,所以圆C被直线l:θ=-5π124.曲线C1的极坐标方程为ρcos(θ-π3)=-1,曲线C2的极坐标方程为ρ=22cos(θ-π4(1)求曲线C2的直角坐标方程;(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值.解:(1)依题意得ρ=22cos(θ-π4)=2(cosθ+sinθ即ρ2=2(ρcosθ+ρsinθ),可得x2+y2-2x-2y=0,故C2的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2.(2)曲线C1的极坐标方程为ρcos(θ-π3)即ρ(12cosθ+32sinθ化为直角坐标方程为x+3y+2=0,由